18.5 分式方程 教学设计 　2025-2026学年人教版数学八年级上册

本文围绕人教版八年级上册分式方程展开，涵盖分式方程定义、解法及应用。承接整式方程背景，为后续复杂方程学习奠基。通过实际情境引入、合作探究等环节，培养学生抽象、运算、模型等核心素养，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于以问题驱动探究，特色教法凸显学生主体。从学生层面看，提升分析解决问题能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破解分式方程及检验这一教学难点。

第十八章 分式 18.5 分式方程 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容：本节课是人教版初中数学八年级上册第十八章分式的18.5分式方程，主要内容包括分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程；分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，以及解分式方程时必须进行检验的步骤；同时还涉及分式方程在实际问题中的应用，包括根据实际情境列出分式方程并求解。 1. 内容解析：分式方程是在整式方程的基础上发展而来的，它与整式方程的主要区别在于分母中含有未知数，这使得分式方程的求解需要运用转化的思想，通过去分母将其转化为整式方程，而这一转化过程可能会引入增根，因此检验步骤至关重要。分式方程的学习不仅拓展了方程的类型，也为解决更复杂的实际问题提供了新的工具，同时加深了学生对方程思想和转化思想的理解与运用。 二、目标和目标解析 1. 目标： 2. 能够准确识别分式方程，理解分式方程的概念。 2. 掌握分式方程的解法，能正确运用去分母的方法将分式方程转化为整式方程并求解，同时能熟练进行检验。 2. 能够运用分式方程解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系。 1. 目标解析：通过本节课的学习，学生在知识层面上，能够清晰区分分式方程与整式方程，熟练掌握分式方程的求解流程，包括去分母、解整式方程、检验等环节，提升运算能力；在能力层面上，经历将分式方程转化为整式方程的过程，加深对转化思想的理解和运用，培养分析问题和解决问题的能力，为后续学习更复杂的方程以及函数等知识打下坚实的基础，同时在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识，体会数学的实用性。 三、教学问题诊断分析 1. 学生在学习分式方程时，可能会对分式方程与整式方程的区分存在困难，容易混淆两者的概念，特别是在一些形式较为复杂的方程中，难以准确判断是否为分式方程。 1. 在解分式方程去分母的过程中，学生可能会出现找错最简公分母的情况，或者在方程两边同乘最简公分母时，漏乘不含分母的项，导致转化后的整式方程出错，影响最终的求解结果。 1. 学生对检验步骤的重要性认识不足，容易忽略检验环节，或者在检验时仅仅将解代入整式方程进行验证，而没有代入最简公分母检查是否为零，从而无法发现增根，得出错误的结论。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1：章引言中提到，一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它顺水航行90km所用的时间与逆水航行60km所用的时间相等，你能根据这个条件列出方程吗？ 问题2：观察你所列出的方程，它与我们之前学习的整式方程有什么不同呢？ 问题3：像这样分母中含有未知数的方程，我们可以给它起个什么名字呢？ 设计意图：通过实际情境中的问题引导学生列出方程，让学生在具体的问题中感受新方程的特点，从而自然地引出分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。这一过程能够培养学生根据实际问题中的等量关系列方程的能力，对应目标3中运用分式方程解决实际问题的初步感知，同时也为目标1中识别分式方程奠定基础。 （二）合作探究1 探究1：我们已经知道了什么是分式方程，那如何解分式方程呢？ 答：可以尝试将分式方程转化为整式方程来解。 追问：那怎样才能将分式方程转化为整式方程呢？ 答：可以在方程两边同乘各分母的最简公分母。 追问：这个方程中各分母的最简公分母是什么呢？ 答：是。 追问：在方程两边同乘最简公分母后，得到的整式方程是什么？ 答：。 追问：解这个整式方程，求出的解是多少？ 答：解得。 （三）巩固练习1 1. 解方程 解：方程两边同乘，得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 检验：当时，，所以是原分式方程的解。 1. 解方程 解：方程两边同乘，得，展开括号得，移项得，解得。 检验：当时，，所以是原分式方程的解。 （四）合作探究2 探究2：我们再尝试解分式方程，看看会有什么情况发生？ 问题：这个方程的最简公分母是什么？ 答：。 问题：方程两边同乘最简公分母后得到的整式方程是什么？ 答：。 问题：解这个整式方程，结果是多少？ 答：。 追问：这个解是不是原分式方程的解呢？ 答：把代入原分式方程，分母，，分式无意义，所以不是原分式方程的解。 猜想：为什么会出现这种情况呢？是不是去分母的过程中出现了什么问题？ 验证：当时，最简公分母，也就是说方程两边乘了一个等于0的式子，导致整式方程的解不是原分式方程的解。 研究3：根据以上探究，我们可以总结出解分式方程时需要检验的原因：解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的最简公分母，当这个最简公分母的值不为0时，所得整式方程的解与原分式方程的解相同；当最简公分母的值为0时，所得整式方程的解会使原分式方程的分母为0，这样的解不是原分式方程的解。因此，解分式方程必须进行检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则是原分式方程的解，否则不是。 设计意图：通过具体的分式方程求解过程，让学生发现增根的存在，引导学生探究出现增根的原因，从而理解检验步骤的必要性。这一过程能够培养学生的探究精神和逻辑思维能力，使学生掌握解分式方程必须检验的要点，对应目标2中熟练进行检验的要求，同时加深对分式方程解法的理解。 （五）典例分析 例1：解方程 解：方程两边乘，得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 检验：当时，，所以原分式方程的解为。 设计意图：通过典型例题的详细讲解，让学生进一步熟悉分式方程的解法步骤，包括去分母、解整式方程、检验等环节，规范学生的解题过程。这一例题能够巩固学生对分式方程解法的掌握，提升学生的运算能力，对应目标2中正确求解分式方程并检验的要求。 （六）巩固练习 例1：解方程 解：方程两边乘，得，移项得，合并同类项得，解得。 检验：当时，，所以是原分式方程的解。 例2：解方程 解：方程两边乘，得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 检验：当时，，所以是原分式方程的解。 例3：解方程 解：方程两边乘，得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。 检验：当时，，所以不是原分式方程的解，原分式方程无解。 设计意图：通过不同类型的练习题，让学生巩固分式方程的解法，包括有解和无解的情况，进一步熟练检验步骤。这些练习能够提升学生解分式方程的运算能力，检验学生对知识点的掌握程度，对应目标2中正确求解并检验分式方程的要求。 （七）归纳总结 知识点 具体内容 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程 解分式方程的步骤 1. 去分母，方程两边乘最简公分母，转化为整式方程；2. 解整式方程；3. 检验，将整式方程的解代入最简公分母，若不为0则是原方程的解，否则不是 检验的必要性 去分母时可能乘了等于0的式子，导致整式方程的解不是原分式方程的解 （八）感受中考 1. （2023·北京）方程的解为（ ） A. B. C. D. 解：方程两边乘，得，展开括号得，移项得，解得。检验：当时，，所以解为，答案选A。 1. （2024·上海）解方程 解：方程两边乘，得，展开括号得，移项得，合并同类项得，解得。检验：当时，，所以原方程的解为。 1. （2023·广州）分式方程的解的情况是（ ） A. 有解 B. 有解 C. 无解 D. 有解 解：方程两边乘，得，解得。检验：当时，，所以不是原方程的解，原方程无解，答案选C。 1. （2024·深圳）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 解：现在平均每天生产台机器，根据现在生产600台与原计划生产450台时间相同，可列方程，答案选A。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. （九）小结梳理 （十）布置作业 必做题： 1. 解下列方程： 1. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？ 选做题： 1. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量at，原来产mt玉米的一块土地，现在的总产量增加了20t，求原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少？ 1. 两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的平均登高速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求两个小组的平均登高速度各是多少？ 五、教学反思 （空白，课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$