第07讲 讲基本不等式—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第07讲 基本不等式 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：基本不等式的概念理解 考点2：用基本不等式比较大小 考点3：用基本不等式求最值 考点4：用基本不等式证明不等式 考点5：利用基本不等式求参数 考点6：基本不等式在实际中的应用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立. 【说明】，当且仅当时，等号成立. （2）常见变形：、、. 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立. 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常见变形：； （3）常用结论： ① （同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号. ② （），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号. 【知识点2】最值定理 1．最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大. 2．在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ① 一正：各项均为正数； ② 二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 【知识点3】基本不等式的变式与拓展 1．基本不等式链 或. 当且仅当时等号成立. 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2．基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. 模块二 考点讲解举一反三 考点1：基本不等式的概念理解 【例1】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2：用基本不等式比较大小 【例2】）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点3：用基本不等式求最值 【例3】（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【例4】（24-25高二下·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例5】（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【变式1】（多选）（贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 【变式2】（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【变式3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 考点4：用基本不等式证明不等式 【例6】（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． （1）求证：； （2）若，求证：． 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． （1）若，证明：； （2）若，证明：； （3）若，证明． 考点5：利用基本不等式求参数 【例7】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【变式1】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【变式3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 考点6：基本不等式在实际中的应用 【例8】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【变式1】如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ． 【变式2】某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【变式3】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 模块三 知识检测 考点1：基本不等式的概念理解 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 考点2：用基本不等式比较大小 5．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 考点3：用基本不等式求最值 8．（广西壮族自治区贵港市、贺州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题）的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 12．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 13．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 14．（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 考点4：用基本不等式证明不等式 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 16．已知，都是正数，求证：. 17．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 考点5：利用基本不等式求参数 18．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 19．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 20．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 21．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 考点6：基本不等式在实际中的应用 22．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 23．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      24．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 1．（24-25高一上·上海金山·期末）（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 3．（24-25高一上·北京·期中）对于正数，，，，求证 (1) (2) 4．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 5．求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 6．已知，求的最大值； 7．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 8．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）（1）已知：，．若，求的最大值； （2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值． 10．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）已知：．若，求的最大值； （2）已知，且，若恒或立，求的最大值． 11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第07讲 基本不等式 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：基本不等式的概念理解 考点2：用基本不等式比较大小 考点3：用基本不等式求最值 考点4：用基本不等式证明不等式 考点5：利用基本不等式求参数 考点6：基本不等式在实际中的应用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立. 【说明】，当且仅当时，等号成立. （2）常见变形：、、. 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立. 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常见变形：； （3）常用结论： ① （同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号. ② （），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号. 【知识点2】最值定理 1．最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大. 2．在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ① 一正：各项均为正数； ② 二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 【知识点3】基本不等式的变式与拓展 1．基本不等式链 或. 当且仅当时等号成立. 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2．基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. 模块二 考点讲解举一反三 考点1：基本不等式的概念理解 【例1】（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 考点2：用基本不等式比较大小 【例2】）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 【变式2】（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 【变式3】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 考点3：用基本不等式求最值 【例3】（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 【例4】（24-25高二下·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，再利用基本不等求最小值即可. 【详解】由（当且仅当时取等号）， 故选：C． 【例5】．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 【变式1】（多选）（贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可对A项判断求解；利用再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得，再结合单位“1”的应用可得，即可对D项判断求解. 【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误； B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确； C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确； D：由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确. 故选：BCD. 【变式2】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断A，根据“1”的变形，结合基本不等式判断B，根据A的判断，变形判断CD. 【详解】A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 【变式3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 考点4：用基本不等式证明不等式 【例6】（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的基本性质，转化求解证明即可； （2）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． （1）若，证明：； （2）若，证明：； （3）若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）通过对进行展开，结合已知条件以及基本不等式来证明. （3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 考点5：利用基本不等式求参数 【例7】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 【变式1】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 考点6：基本不等式在实际中的应用 【例8】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【分析】先设鱼池的一边长为，则另一边唱为，则鱼池与路的占地面积，再根据均值不等式可得总面积最小值. 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 【变式1】如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ． 【答案】37.5/70/2 【详解】设矩形广场的长为，宽为，且，，由三角形相似得，化简得，而，当且仅当，即时，等号成立，故，故健身广场的最大面积为． 【变式2】某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 模块三 知识检测 考点1：基本不等式的概念理解 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 考点2：用基本不等式比较大小 5．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论． 【详解】、为互不相等的正实数，则， 所以， ，时，， 所以． 故选：A． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 7．（多选）（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，可得判定A错误，B正确；利用基本不等式，可得判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】因为实数满足， 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D正确. 故选：BCD. 考点3：用基本不等式求最值 8．（广西壮族自治区贵港市、贺州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 9．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 11．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 12．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 13．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 14．（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知，求函数的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)已知正数a，b满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式求函数最小值； （2）（3）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】（1）由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. （3）因为，，，所以， 则， 又， 当且仅当且，即，时取等号， 则， 所以当，时，的最小值是. 考点4：用基本不等式证明不等式 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 16．已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 17．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 考点5：利用基本不等式求参数 18．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 19．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 20．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分离变量可得恒成立，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以. 则的最小值是. 故答案为：. 21．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 考点6：基本不等式在实际中的应用 22．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 23．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 24．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 1．（24-25高一上·上海金山·期末）（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当，；（2）， 【分析】（1）通过作差法将式子变形为完全平方的形式，利用完全平方的非负性来证明不等式；（2）根据已知条件，利用均值不等式来求解最大值。 【详解】（1）因为， 所以，     当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 所以的最大值为. 当且仅当，即时，不等式中等号成立. 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 3．（24-25高一上·北京·期中）对于正数，，，，求证 (1) (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）变形，利用基本不等式证明； （2）解法一：利用作差法证明，得，令，即得结论； 解法二：利用第一问结论证明，令，即得结论； 解法三：不妨设，取，分为，两种情况讨论证明. 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， （2）解法一：注意到因式分解 ， 当且仅当时取到， 所以， 令，则有. 解法二：由第一问可知， ， 不等式两边同除可得， 两边同时取次方即可得， 令，则有. 方法3：不妨设，取， ①若，则（将其设为）， 因此有， ②若，不妨设，则有， 否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾. 下面证明，只需证. 显然. 不妨设，则， ， 由于，所以，即. 因此有，所以. 而， 所以由①可得.证毕. 4．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 5．求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 6．已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 7．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，求得，进而求得的最大值； （2）令，取得，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】（1）由正数满足， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即，所以，即的最大值为； （2）令，即， 所以，解得，所以， 因为，，可得， 所以，所以，即的取值范围为. 8．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【详解】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为 9．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）（1）已知：，．若，求的最大值； （2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）依题意利用基本不等式可得，令，再解关于的一元二次不等式，即可求出的最大值，即可得解； （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即，解得， 又，所以，即，从而， 由及，，解得，， 故当，时，的最大值为，所以的最大值为． （2）因为（）恒成立，且， 所以恒成立， 所以恒成立， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 10．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）已知：．若，求的最大值； （2）已知，且，若恒或立，求的最大值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）结合基本不等式再设解一元二次不等式求得结果即可； （2）问题转化为恒成立，结合基本不等式求解即可； 【详解】（1）由题意可得，当且仅当时取等号， 设，则，解得， 又，所以，即， 由，解得， 所以的最大值为1， （2）因为，且，若恒或立， 所以恒成立， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：对于任意的实数 ,a b，有 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时，等号成立. 【说明】 2 2 2 2 2( ) 0 2 0 2a b a b ab a b ab         ，当且仅当 a b 时，等号成立. （2）常见变形： 2 2 2( ) ( )2 a b a b   、 2 2 2 a bab  、 2 24 2ab a b ab   . 2．基本不等式 （1）公式：如果 0a  ， 0b  ，那么 2 a bab  ，当且仅当 a b 时，等号成立. 【说明】 2 a b 叫做正数 ,a b的算术平均数， ab叫做正数 ,a b的几何平均数. 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常见变形： 2a b ab  ； 2 . 2 a ba b       （3）常用结论： ① 2 b a a b   （ ,a b同号），当且仅当 a b 时取等号； 2 b a a b    （ ,a b异号），当且仅当 a b  时取等号. ② 1 2a a  ≥ （ 0a  ），当且仅当 1a  时取等号； 1 2a a    （ 0a  ），当且仅当 1a   时取等号. 【知识点 2】最值定理 1．最值定理：已知 ,x y都是正数， （1）若 x＋y＝s(和 s为定值)，则当 x=y时，积 xy有最大值，且这个值为 2 4 s . （2）若 xy＝p(积 p为定值)，则当 x=y时，和 x＋y有最小值，且这个值为 2 p . 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大. 2．在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ① 一正：各项均为正数； ② 二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 【知识点 3】基本不等式的变式与拓展 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 1．基本不等式链 2 22 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b         或 2 2 2( ) ( 0, 0) 2 2 a b a bab a b     . 当且仅当 a b 时等号成立. 其中， 2 2 1 1 ab a b a b   为 ,a b的调和平均值， 2 2 2 a b 为 ,a b的平方平均值 2．基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式： 3 3 a b c abc+ + ³ （ , ,a b c均为正实数），当且仅当 a b c  时等号成立. （2） n元基本不等式： 1 2 1 2n n n a a a a a a n       （ 1 2, , na a aL 均为正实数），当且仅当 1 2 na a a   时 等号成立. 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：基本不等式的概念理解 【例 1】（24-25高一上·上海·期末）若 ,a b满足 0ab  ，则下列不等式正确的是（ ） A． 2a b ab  B． 1 1 2 a b ab   C． 2 a b b a   D． 2 2 a b ab a b    【变式 1】（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．若 a b 且c d ，则 ac bd B．若 0a  ，则 1a a  的最小值为 2 C．对任意的实数 a和b，总有 2 a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立 D．对任意的实数 a和b，总有 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立 【变式 2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，AB是圆的直径，点C是 AB上一点， ,AC a BC b  ．过 点C作垂直于 AB的弦DE，连接 ,AD BD．可证 ~ACD DCB  ，因而CD ab ．由于CD小于或等于圆的 半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - A．如果 0a b  ，那么 a b B．如果 0a b  ，那么 2 2a b C．对 0, 0a b   ，都有 2 a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立 D．对 0, 0a b   ，都有 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立 【变式 3】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（ ） A． 4 4a a   B． 2 2 4a b ab  C． 2 a b ab  D． 2 2 3 2 3x x   考点 2：用基本不等式比较大小 【例 2】）设 a、b为正数，且 2 1a b  ，比较 ab的值与 1 8 的大小（ ） A． 1 8 ab  B． 1 8 ab  C． 1 8 ab  D． 1 8 ab  【变式 1】已知 aR ，设  2 2 14 4P a a        ， 24Q  ，则 P与Q的大小关系是（ ） A． P Q B． P Q C．P Q D．不确定 【变式 2】（多选）（24-25高一上·四川眉山·期末）设 0a b  ，则下列不等式中不成立的是（ ） A． 2 2 ab a b ab a b     B． 2 2 a b abab a b     C． 2 2 a b ab ab a b     D． 2 2 ab a bab a b     【变式 3】已知实数 a，b，c满足 2 2c b a a     ， 2 22 2c b a a a     ，且 0a  ，则 a，b，c的大小关系是 （ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - A．b c a  B． c b a  C． a c b  D． c a b  考点 3：用基本不等式求最值 【例 3】（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是 6的有（ ） A． 9x x  B． 2 2 82 1 x x   C． 2 2 4x y xy xy   D． 10 1 x x   【例 4】（24-25高二下·广西北海·期末）已知正数 ,x y满足 1xy  ，则 2 2 6x y x y    的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例 5】（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知 ,a b为正数， 1 2 1 a b   ，则ab a b  的最小值为（ ） A． 4 3 B．8 C．7 4 3 D．8 4 3 【变式 1】（多选）（贵州省遵义市 2024-2025学年高一下学期 7月期末学业水平监测数学试题）若正实数 a，b满足 1a b  ，则（ ） A． ab有最大值 12 B． a b 有最大值 2 C． 1 2 a b  的最小值是3 2 2 D． 2 2 2 1 a b a b    的最小值是 1 4 【变式 2】（多选）（24-25高二下·江苏南京·期末）已知 0a  ， 0b  ， 1 2 1 a b   ，则下列说法正确的是（ ） A．ab的最小值为 8 B． a b 的最小值为3 2 2 C． 2 2a b 的最小值为 16 D． 1 2 1 2a b    的最小值为 2 【变式 3】（24-25高一上·广东江门·期末）若 0x  ，则 22 3 1 x x x 的最小值是 . 考点 4：用基本不等式证明不等式 【例 6】（1）已知 0, 0a b c d    ，证明： a b d c  （2）已知 0, 0, 0x y z   ，证明：     8x y y z z x xyz    暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知 , Ra b ． （1）求证：  2 2 2 1a b a b    ； （2）若 0, 0, 1a b a b    ，求证： 1 4 9 a b   ． 【变式 2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知 0a b  ， 0c d  ， 0e  ，求证： e e a c b d    ． （2）已知 0a  ， 0b  ， 0c  ， 1a b c   ，求证： 1 1 1 9 a b c    ． 【变式 3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知  , , 0,x y z  ． （1）若 1x y  ，证明： 2x y  ； （2）若 1x y  ，证明： 4 44 8x y  ； （3）若 1x y z   ，证明 1 y z x z z x y z      ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 考点 5：利用基本不等式求参数 【例 7】（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知 ,x y都是正数， 1x y  且 1 1 m x xy   恒成立，求 m的取 值范围. 【变式 1】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式  22 0 1 1 x m x x       恒成立，则实数m的 取值范围是（ ） A． 2m   B． 4m   C． 2m   D． 4m   【变式 2】（24-25高二下·上海·期末）若对任意的 0x  ，使得 2 1ax x  均成立，则实数 a的取值范围 ． 【变式 3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知 0a  ， 0b  ，且 2 1a b  ，若不等式 2 1 m a b   恒成 立，则m的最大值为 . 考点 6：基本不等式在实际中的应用 【例 8】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）如图，要挖一个面积为 2800m 的矩形鱼池，并在四周修出宽1m,2m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【变式 1】如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 影部分），则健身广场的最大面积为 2m ． 【变式 2】某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面 分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 21440cm ．为了美 观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 2cm．当直角梯形的高为 cm时，用纸 量最少（即矩形 ABCD的面积最小）． 【变式 3】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟 2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该 产品的年销售量（即该厂的年产量） x万件与年促销费用m万元  0m  满足 4 1 kx m    ( k为常数)，如果不 搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2万件.已知生产该产品的固定投入为 8万元，每生产一万件该产 品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（此处每件产品年平 均成本按 8 16x x  元来计算）. （1）求 k的值； （2）将 2024年该产品的利润 y万元表示为年促销费用m万元的函数； （3）该厂家 2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 模块三 知识检测 考点 1：基本不等式的概念理解 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果 0m  ，那么当 16m m  取得最小值时 m的值为（ ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ） A．若 xR ，且 0x  ，则 4 4x x   B．当 0x  时， 1 2x x   暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - C．当 2x  时， 1x x  的最小值为 2 D．当0 2x  时， 1 2x x    3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设 0 a b  ，则下列不等式中正确的是（ ） A． 2 a bab a b   B． 2 a ba ab b   C． 2 a ba ab b    D． 2 a bab a b   4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（ ） A． 2 2 2a b ab   B． 2 2 2a b ab  C． 2a b ab   D． 2a b ab  考点 2：用基本不等式比较大小 5．设 n mA m n   （m、n为互不相等的正实数）， 2 4 2B x x    ，则A与 B的大小关系是（ ） A． A B B． A B C． A B D． A B 6．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知 0, 0a b  ，且 4a b  ，则（ ） A． 1 1 2 a b   B． 2 2a b  C． 2 2 8a b  D． 2 2 8a b b a           7．（多选）（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数 a，b，c满足 0a b c   ，则下列不等式成立的有（ ） A． ac bc B． a c b c   C． 4 4b c b c     D． b b c a a c    考点 3：用基本不等式求最值 8．（广西壮族自治区贵港市、贺州市 2024-2025学年高一下学期 7月期末教学质量监测数学试题） 73 a a  的最小值为（ ） A．3 21 B． 4 21 C． 21 D． 2 21 9．（24-25高二下·江西赣州·期末）若  , 0,x y  ，且 2 4x y xy   ，则 1 2 1 2x y    的最小值是（ ） A． 2 2 B．2 C． 2 D． 2 2 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知 0, 0, 2 6x y xy x y     ，则 2x y 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数m， n满足 2 24 5m n  ，则 2 2 3 mm n   的最大值为（ ） A． 12 B．1 C． 2 D．2 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 12．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数 2 1( ) ( 0)xf x x x    的最小值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 13．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知 0, 0x y  ，且满足 4xy  ，求9x y 的最小值； (2)已知 1x  ，求 4 1 y x x    的最大值； (3)已知 0, 0x y  ，且满足 2x y xy  ，求 8x y 的最小值. 14．（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题： (1)已知 2 3 x  ，求函数   93 1 3 2 f x x x     的最大值； (2)已知 0a  ， 0b  且 1 1 1 1 1a b     ，求 2a b 的最小值； (3)已知正数 a，b满足 1 1 1 a b   ，求 4 16 1 1a b    的最小值. 考点 4：用基本不等式证明不等式 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若 a，b， c， d都是正数，求证：     4ab cd ac bd abcd   ； （2）若 a，b， c都是正数，求证：      2 2 2 2 2 2 6a b c b c a c a b abc      . 16．已知 x， y都是正数，求证：    2 2 3 3 3 38x y x y x y x y    . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 17．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知 0a b  ， 0c d  ， 0e  ，求证：    2 2 e e a c b d    ； (2)已知 a，b，c均为正实数，且 1a b c   ，求证： 1 1 11 1 1 8 a b c               . 考点 5：利用基本不等式求参数 18．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知 0x  ， 0y  ，且 5x y  ，若 4 1 2 1 1 2 m x y      恒成立， 则实数m的取值范围是 . 19．已知 0a  ， 0b  ，且 4 2 3a b  .若不等式 2 1 m a b   恒成立，则m的最大值为 . 20．若对任意  0,x  ，不等式 2 2 4 a x x x    恒成立，则 a的最小值是 . 21．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知 x， y都是正数，且 2 1 1 x y   ． (1)求 2x y 的最小值及此时 x，y的取值； (2)不等式    22 2x y m x y   恒成立，求实数 m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 考点 6：基本不等式在实际中的应用 22．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 4800 3m ，深度为 3m．如果池底每平方米的造价为 100 元，池壁每平方米的造价为 80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 23．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为 2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池 的长、宽都不能超过 16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为 400元/ 2m ，中间两道隔墙的造价为 248 元/ 2m ，池底造价为 80元/ 2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不 计） 24．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面 积为 212m ，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工 程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，屋顶和地面以及其他报价共计 7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为  m 2 6x x  ． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为 900 1(a x x  ） 元  0a  ．若无论左右两面 墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 1．（24-25高一上·上海金山·期末）（1）已知 a，b是实数.求证： 2 2 2 2 2a b a b    ，并指出等号成立的 条件； （2）已知 a，b是实数，若 2 1a b  ，求 ab的最大值，并指出此时 a，b的值. 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知 1 2 x  ，求函数 12 1 2 1 y x x     的最小值； （2）若 0x  ， 0y  ， 证明: 2x xy xy y xy  . 3．（24-25高一上·北京·期中）对于正数 a，b， c， d，求证 (1) 4 4 a b c d abcd    (2) 3 3 a b c abc+ + ³ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 4．（24-25高一上·山西·期中）设 a，b均为正数，且 1a b  . (1)求 2 2 4a b ab  的最小值； (2)证明： 3 42 9 0b aa b ab      ， 5．求下列各题的最值． (1)已知 0x  ，求 12 3y x x   的最小值； (2)设 30 2 x  ，求函数  4 3 2y x x  的最大值． 6．已知 10 2 x  ，求  1 1 2 2 y x x  的最大值； 7．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数 a，b满足 4 4a b  ，求 ab的最大值； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - （2）已知 1 2 2a b    ，3 4a b   ，求5a b 的取值范围． 8．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数 x， y满足 2 0x y xy   . (1)求 4 9 1 2 x y x y    的最小值； (2)若   22 4 2 5x y m m    恒成立，求实数m的取值范围. 9．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）（1）已知： 0x  ， 0y  ．若 9 7x y xy   ，求3xy的最大 值； （2）已知 0x  ， 0y  ，且 2x y  ，若 4 1 0x mxy   恒成立，求 m的最大值． 10．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）已知： 0, 0x y  ．若 9 7x y xy   ，求 xy的最大值； （2）已知 0, 0x y  ，且 2x y  ，若 4 0x y mxy   恒或立，求m的最大值． 11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - 推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为 3米，宽度为  6,10x （单位：米），地面面积为 81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米 200元，屋顶和地面报价共计 7200元，总计报价记为  P x ； 方案二：其给出的整体报价为   31200 1f x m x       元，  0m  (1)当宽度为 8米时，方案二的报价为 29700元，求m的值； (2)求  P x 的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的  6,10x 时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围.