第06讲 等式性质与不等式性质—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第06讲 等式性质与不等式性质 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：不等式（组）表示不等关系 考点2：比较大小 考点3：不等式的性质判断命题真假 考点4：不等式的证明 考点5：求代数式的范围 考点6：不等式性质的实际应用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】不等关系与不等式 1．不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 3．用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 【知识点2】等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 【知识点3】不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 同正 【知识点4】比较大小的方法 1．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ① 作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ② 作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3．平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 【知识点5】不等式的性质求取值范的方法 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围 2．同向（异向)不等式的两边可以相加(相减），这种转化不是等价变形，解题过程中多次使用这种转化，有可能扩大其取值范围 3．求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围 模块二 考点讲解举一反三 考点1：不等式（组）表示不等关系 【例1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【变式1】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 考点2：比较大小 【例2】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例3】（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【变式1】（多选）（河北省部分名校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 考点3：不等式的性质判断命题真假 【例4】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【变式2】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 考点4：不等式的证明 【例5】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【变式1】设，，，证明：． 【变式2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【变式3】（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 考点5：求代数式的范围 【例6】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点6：不等式性质的实际应用 【例7】我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【变式1】王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【变式2】某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【变式3】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 模块三 知识检测 考点1：不等式（组）表示不等关系 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 . 4．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 考点2：比较大小 5．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如果，那么与的大小关系是 ． 7．若，试比较与的大小． ， 8．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 考点3：不等式的性质判断命题真假 9．（多选）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）（24-25高二下·陕西西安·期末）下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点4：不等式的证明 13．已知，求证：． 14．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 15．（2024高一上·全国·专题练习）已知，求证：＞. 考点5：求代数式的范围 16．已知，，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D．以上都不对 17．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 18．（多选）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）设，求证. 2．（22-23高三上·山东潍坊·期末）证明不等式：． 3．（2025高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 7．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，. (1)求，的取值范围； (2)证明：. 8．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第06讲 等式性质与不等式性质 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：不等式（组）表示不等关系 考点2：比较大小 考点3：不等式的性质判断命题真假 考点4：不等式的证明 考点5：求代数式的范围 考点6：不等式性质的实际应用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】不等关系与不等式 1．不等式的概念 （1）用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 3．用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 【知识点2】等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 【知识点3】不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 同正 【知识点4】比较大小的方法 1．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ① 作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ② 作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3．平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止； （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质． 【知识点5】不等式的性质求取值范的方法 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围 2．同向（异向)不等式的两边可以相加(相减），这种转化不是等价变形，解题过程中多次使用这种转化，有可能扩大其取值范围 3．求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围 模块二 考点讲解举一反三 考点1：不等式（组）表示不等关系 【例1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【变式1】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出符合题意的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式3】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 考点2：比较大小 【例2】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 【例3】（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【变式1】（多选）（河北省部分名校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB选项，利用不等式的基本性质进行判断；C选项，作差法比较大小；D选项，举出反例. 【详解】A选项，因为，，所以，即，故A正确； B选项，因为，，所以，故B错误； C选项，由A知，，又，因为，所以，故C正确； D选项，当，，，时，，故D错误. 故选：AC. 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 【变式3】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 考点3：不等式的性质判断命题真假 【例4】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B. 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，满足，但此时，所以A错误； 对于选项B： 若，此时，所以B错误； 对于选项C： 若，此时，所以C错误； 对于选项D： 因为，所以，所以D正确. 故选：D. 【变式2】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可. 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 【变式3】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】由不等式的性质和特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，等时，不成立，错误； 对于B，取，不成立，错误， 对于C，取，不成立，错误； 对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确， 故选：D 考点4：不等式的证明 【例5】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 【变式1】设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式3】（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质推理得证. （2）（i）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得.（ii）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （ii）由（i）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 考点5：求代数式的范围 【例6】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故． 故选：D． 【变式1】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 【变式2】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围. 【详解】因为，所以，则有， 将不等式的两边同时乘，可得， 所以. 故选：B． 【变式3】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 故选：D 考点6：不等式性质的实际应用 【例7】我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【答案】C 【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为， 所以，即，即， 因为，所以， 根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C 【变式1】王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 【变式2】某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用4h；生产此产品的工人不超过200人，每个工人的年工作时间约为2100h；生产每袋需用原料20kg，年底库存原料600t，明年可补充1200t；此产品今年销售量是60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长．根据这些数据条件可以预测明年的产量在（    ） A．70000到75000袋之间 B．70000到80000袋之间 C．80000到85000袋之间 D．80000到90000袋之间 【答案】D 【分析】由条件列不等式，化简不等关系可得明年的产量的预测值得范围. 【详解】设明年的产量为袋，则， 所以， 故可以预测明年的产量在80000到90000袋之间， 故选：D. 【变式3】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 模块三 知识检测 考点1：不等式（组）表示不等关系 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，先用表示代数式，再建立不等关系即得. 【详解】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 . 【答案】 【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可. 【详解】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过， 所以有：. 故答案为： 4．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 考点2：比较大小 5．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 6．如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 7．若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【详解】 ， 因为，所以， 故. 8．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 考点3：不等式的性质判断命题真假 9．（多选）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项. 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 10．（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 11．（多选）（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 12．（多选）（24-25高二下·陕西西安·期末）下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 【详解】对A：因为，所以，，所以，所以，即，故A正确； 对B：取，，则，故B错误； 对C：因为，，所以， 所以，故C正确； 对D：因为，，所以，所以.故D正确. 故选：ACD 考点4：不等式的证明 13．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 14．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】利用不等式的性质证明． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 15．（2024高一上·全国·专题练习）已知，求证：＞. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质，利用综合法即可证明. 【详解】因为，所以， 所以，可得， 即，得证. 考点5：求代数式的范围 16．已知，，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【解析】设，可得，解得，， 即， 因为，，所以， 所以. 故选：A. 17．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以，A正确； 因为，所以，解得，B错误； 因为，，所以，C正确； ，，所以， D错误.故选：AC. 18．（多选）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，，，A正确； ，，，B错误； ，，，C正确； ，，，D错误；故选：AC 1．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）设，求证. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证. 【详解】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 2．（22-23高三上·山东潍坊·期末）证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可得证. 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号， 所以. 3．（2025高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小； （2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明； （3）根据条件建立不等式，再作差证明. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且， 求证： (其中). 证明：，且， ，即， ， 即， ， 即 （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水， 求证： (其中，). 证明：， 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 7．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，. (1)求，的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1)；； (2)证明见解析. 【分析】（1）先由已知条件结合不等式性质得、和，从而可得解和的范围，进而可得的取值范围. （2）由不等式性质可依次得和，进而得证. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，； 所以，所以. （2）证明：因为，所以， 又，所以，且， 所以，所以. 8．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】不等关系与不等式 1．不等式的概念 （1）用数学符号“  ”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等 式号的式子，叫做不等式． （2）用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式． 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语 言 大于、高于、超 过 小于、低于、少 于 大于或等于、至少、不 低于 小于或等于、至多、不多于、不 超过 符号语 言     3．用不等式组表示不等式关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等式关系时，需要用不等式组来表示不等关系． 【知识点 2】等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 a b b a   可逆 2 传递性 ,a b b c a c    同向 3 可加、减性 a b a c b c     可逆 4 可乘性 a b ac bc   同向 5 可除性 , 0 a ba b c c c     同向 【知识点 3】不等式性质 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥2） 同正 【知识点 4】比较大小的方法 1．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ① 作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ② 作商法的步骤：作商、变形、判断商与 1的大小、得出结论． 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c；若 a＜b，b ＜c，那么 a＜c．其中 b是介于 a与 c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的 中介值． 3．平方法：对两式先平方，再比较大小． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式 大于零； （2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号 为止； （3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养 函数的有关性质． 【知识点 5】不等式的性质求取值范的方法 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围 2．同向（异向)不等式的两边可以相加(相减），这种转化不是等价变形，解题过程中多次使用这种转化， 有可能扩大其取值范围 3．求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：不等式（组）表示不等关系 【例 1】在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是 0.5 cm/s，人跑开的速度为 4 m/s，为了使点燃导火线 的人能够在爆破时跑到 100 m以外的安全区，导火线的长度 x（cm）应满足的不等式为（ ） A．4× 0.5 x ≥100 B．4× 0.5 x ≤100 C．4× 0.5 x ＞100 D．4× 0.5 x ＜100 【变式 1】4位同学要完成 100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的 3倍，若 某一同学所跑路程为 x米，则 x的取值范围为（ ） A．10 20x≤ ≤ B．10 30x  C．20 40x  D．10 50x  【变式 2】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工 x件商品，经过工艺改革后该工厂每 天可以加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75000件，这一关系可用不等式表示为（ ） A．30 560 75000x   B．  30 560 75000x   C．30 560 75000x   D．  30 560 75000x   【变式 3】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知b克糖水中含有 a克糖（ 0b a  ），再添加m克糖（ 0m  ， 假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ） A． a a b b m   B． a m a b b m    C． a a m b m b m     D． a a m b b m    考点 2：比较大小 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 【例 2】（多选）设 2, 7 3, 6 2P Q R     ，则 P，Q，R的大小关系是（ ） A． P R B． R Q C．P R D． R Q 【例 3】（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）对于实数 a，b， c，下列选项正确的是（ ） A．若 a b ，则 2 a ba b  B．若 0a b  ，则 a ab b  C．若 1 1 a b  ，则 0a  ， 0b  D．若 0a b  ， 0c  ，则 b c b a c a    【变式 1】（多选）（河北省部分名校 2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题）若 0a b c d    ， 则（ ） A．bc ad B．a d b c   C． a b c d  D． a bd c 【变式 2】（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知 , ,a b cR，则下列命题不正确的是（ ） A．若 a b ，则 2 2ac bc B．若 a b c c  则 a b C．若 a b ， 0ab  ，则 1 1 a b  D．若 0ab  ， a b ，则 1 1 a b  【变式 3】已知 1 1a  ， 2 1a  ，设 1 2 1 1P a a   ， 1 2 1 1Q a a   ，则 P与Q的大小关系为 ． 考点 3：不等式的性质判断命题真假 【例 4】对于实数 , ,a b c，下列命题正确的是（ ） A．如果 a b c b , ，那么 a c B．如果 a b ，那么 c b c a   C．如果 ,a b c d  ，那么 a c b d   D．如果 a b ，那么 ac bc 【变式 1】（24-25高二下·上海·期末）英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界 接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数 a b c d, ,, ，下列命题是真命题的是（ ）. A．若 2 2a b ，则 a b ； B．若 a b ，则ac bc ； C．若 0a  ，则 ac bd ； D．若 ,a b c d  ，则 a c b d   ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 2】对于实数 a，下列命题正确的是（ ） A．若 2 0a  ，则 0a  B．若 0a  ，则 2a a C．若 1a  ，则 2a a D．若 0a  ，则 2a a 【变式 3】对于实数 , ,a b c，下列命题正确的是（ ） A．如果 a b ，那么 2 2ac bc B．如果 ,a b c d  ，那么 ac bd C．如果 a b ，那么 2 2a b D．如果 0b a  ，那么 1 a b  考点 4：不等式的证明 【例 5】（1）已知 0a b  ， 0c d  ， 0e  ，求证： e e a c b d    ； （2）证明：  2 1 3 3a a a a a       ． 【变式 1】设 0x  ， 0y  ， 0z  ，证明：1 2 x y z x y y z z x        ． 【变式 2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知 1a b  ， 2d c   ． （1）求证：     1 1 2 2 0a b c d     ； （2）求证： ac bd bc ad   ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 【变式 3】（24-25 高一上·内蒙古包头·阶段练习）（1）已知 0a b  ， 0c d  ， 0e  ，求证： e e a c b d    ； （2）已知 x（ 0x  ）克糖水中含有 y（ 0y  ）克糖，向杯中再添加m（ 0m  ）克糖（全部溶解），糖水 变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； （ii）已知 a，b， c是三角形的三边，求证： 2 a b c b c a c a b       . 考点 5：求代数式的范围 【例 6】已知 2 2 3 6x y   ， 3 5 6 9x y    ，则 11 3z x y  的取值范围是（ ） A． 5 89 3 3 z z      B． 5| 27 3 z z      C． 893 3 z z      D． 3 27z z  【变式 1】已知1 4a b   ， 1 2a b    ，则 4 2a b 的取值范围是（ ） A． 4 10x x   B． 3 6x x   暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - C． 2 14x x   D． 2 10x x   【变式 2】已知 3b a b   ，则 a b 的取值范围为（ ） A．0 3 a b   B．0 3 a b   C． 3 a b  D．1 3 a b   【变式 3】已知 2 3a  ， 2 1b    ，则 2a b 的取值范围是（ ） A． 6,7 B．  2,5 C． 4,7 D．  5,8 考点 6：不等式性质的实际应用 【例 7】我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小 率之，向各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹 子比小竹子贵 1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单 价可能为（ ） A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 【变式 1】王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组 的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生 人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值 为（ ） A．18 B．20 C．22 D．28 【变式 2】某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产每袋需用 4h；生产此产品的工 人不超过 200人，每个工人的年工作时间约为 2100h；生产每袋需用原料 20kg，年底库存原料 600t，明年 可补充 1200t；此产品今年销售量是 60000袋，预计明年的销售量至少在今年的基础上增长 1 3 ．根据这些数 据条件可以预测明年的产量在（ ） A．70000到 75000袋之间 B．70000到 80000袋之间 C．80000到 85000袋之间 D．80000到 90000袋之间 【变式 3】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过 1 000万元的资金购买单价分别为 40 万元、90万元的A型汽车和 B型汽车，根据需要，A型汽车至少买 5辆， B型汽车至少买 6辆，写出满足 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 上述所有不等关系的不等式（组）. 模块三 知识检测 考点 1：不等式（组）表示不等关系 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班 的分数之和大于 170，且不大于 190.设甲班和乙班的分数分别为 ,x y，则用不等式组表示为（ ） A． 170 190x y x y      B． 170 190x y x y      C． 170 190x y x y      D． 170 190x y x y      2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中可以用来表示“ a的 2倍比 a的平方的相反数小”的是（ ） A． 22a a B． 22a a  C． 22a a  D． 22a a  3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）一桥头竖立的“限质量 40t ”的警示牌，是提示货车司机要安全通过 该桥，应使货车总质量T 不超过 40t，用不等式表示为 . 4．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过 1000万元的资金购买单价分别为 40万元、 90万元的 A型汽车和 B型汽车，根据需要，A型汽车至少买 5 辆，B型汽车至少买 6 辆，设购买 A型汽车 和 B型汽车分别为 x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 考点 2：比较大小 5．（24-25高二下·江西·期末）已知 a b c  ，则下列式子一定成立的是（ ） A． 2 2ac bc B． 2 2a b C． 1 1 a c b c    D． a c b c   6．如果 2 3 , 2M x x N x    ，那么M 与N的大小关系是 ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 7．若 x y ，试比较 4 4x y 与 3 3x y xy 的大小． ， 8．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设 1x  ， 1M x x   ， 1N x x   ，比较M ， N的大小； (2)设 a，b均为正实数， 3 3M a b  ， 2 2N a b ab  ，比较M ，N的大小； (3)设 0a b  ， 2 2 2 2 a bM a b    ， a bN a b    ，比较M ，N的大小． 考点 3：不等式的性质判断命题真假 9．（多选）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）对于实数 a、b、 c，下列说法正确的是（ ） A．若 0a b  ，则 1 1 a b  B．若 2 2ac bc ，则 a b C．若 0a b  ，则 2ab a D．若 0c a b   ，则 a a b c c b    10．（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知 0a b  ， cR，则下列说法正确的是（ ） A． c c a b  B． 2 2ac bc C． 2 2 1 1 a b  D． a c b c   11．（多选）（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若 0a b  ，那么下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1 b b a a    B． a b b a  C．a ab b  D． 1 1a b b a    12．（多选）（24-25高二下·陕西西安·期末）下列说法中正确的有（ ） A．若 1 1 0 a b   ，则b a B．若1 3a  ， 1 0b   ，则 2 3a b   暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - C．若 0b a  ， 0c  ，则 a a c b b c    D．若 0a  ， 2ab a ，则 2 2b a 考点 4：不等式的证明 13．已知 a b c  ，求证： 1 1 4 0 a b b c c a       ． 14．（2024高一上·全国·专题练习）已知 0b a  ， 0c d  ，求证 c d c a d b    ． 15．（2024高一上·全国·专题练习）已知 0a b c   ，求证： a c b  ＞ b c a  . 考点 5：求代数式的范围 16．已知1 2a b   ，2 4a b   ，则 4 2a b 的取值范围是（ ）. A． 5,10 B． 4,11 C． 3,12 D．以上都不对 17．（多选）已知实数 ,x y满足 1 3,4 2 9x y x y       ，则（ ） A．1 4x  B． 2 1y   C． 2 4 15x y   D． 1 6 3 x y   18．（多选）设 x，y为实数，满足1 4x  ，0 2y  ，则下列结论正确的是（ ） A．1 6x y   B．1 2x y   C．0 8xy  D． 2 x y  暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 1．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）设 0a b  ，求证 2 2 b a a a b b    . 2．（22-23高三上·山东潍坊·期末）证明不等式： 2 22 2 1a a a a    ． 3．（2025高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知 0a b  ， 0c d  ， 0e  ，试求证：    2 2 e e a c b d    ． （2）已知1 4a  ， 2 8b  ，试求2 3a b 与 a b 的取值范围． （3）已知1 4a  ， 2 8b  ，求 a b 的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数 a，b满足 1 1a   ， 1 1b   ． (1)求 a b 和 ab的取值范围； (2)证明：1 ab a b   ． 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知 1 4,2 3x y x y       ，求 2x y 的取值范围； （2）若 0, 0,e 0a b c d     ，求证： 2 2 e e ( ) ( )a c b d    . 7．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知1 3x  ， 2 1y    . (1)求 2 3x y ， x y 的取值范围； (2)证明： 4 4xy x y     . 8．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不 等式： ( 0, 0) y y m x y m x x m       ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - (1)证明糖水不等式； (2)已知 a，b，c是三角形的三边，求证：1 2 a b c b c a c a b        ．