北京市朝阳区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 2025.7 (考议时间120分钟满分150分) 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题共50分】 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)发数2+2= (A)1 (B)2 (C)2i (D)2-i (2)在平面四边形ABCD中，店+B元= (A) (B)D丽 (C)励 (D)AC (3)某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，从高一年 级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为 (A)12 (B)14 (C)16 (D)28 (4)在△ABC中，a=万，b=1,A=号，则B= ()号 (B)是 (c号 (o陪 (5)要得到函数y=in(2x+罗)的图象，只要将函数y=i血2x的图象 (A)向右平移号个单位长度 (B)向左平移个单位长度 (C)向右平移君个单位长度 (D)向左平移若个单位长度 (6)设1是一条直线，α，B是两个不同的平面，下列命题正确的是 ()若l∥a,B,则a∥B (B)若a⊥p,∥a,则l1B (U)若1∥a,lLB,则a⊥B (D)若a⊥B,lLa,则1∥B (7)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则示= ()+应 (B)诚+2而 (C)2店+而 (D)好+而 (8)如图，在四面体C-OAB中，0A⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC且OM=OB,D为四面体C-0AB 外一点，要使CD⊥AB,需要函加的条件是 (A)CD⊥OC (B)CD=0C (C)DA=DB (D)DA⊥DB (9)已知函数)=2i(a+若(a>0八.若关于x的方程)=2在区间[0，]上有且 仅有两个不相等的实数根，则“的最大整数值为 (A)3 (B)抖 (C)5 (D)6 (10)青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可 看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径R=2, 小圆半径r=五，点A在大图上，点B在小圆上， O.0成=2，动点C满足0d=AOi+μ0i(A,4eR),且 ]0C=3,则入+4的最大值为 田2 (A号 (29 (c号 (D)32 第二部分（非选择题 共100分)】 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (1)若函数八x)=ino,则八爱)= 、(12)已知复数在则= (13)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角 形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为万， 则四棱锥P-ABCD的体积为 (14)若两个非向量a,b满足引a+b|=la-b1=2al,则向量a+b与a-b的夹角是 (15)已知函数()=60（分x+骨），如果存在实数一，使得对任意的实数，都有 八x)≤x)2),那么{x1-x的最小值为 (16)如图、点E,H,G,F是矩形ABCD中DC,CB,BM,AD边的中点，依次沿FE,EH,HG,CF, EG折叠，使得矩形四个顶点D,C,B,A重合于一点，得到三棱锥F-EHC.若AB=2万， AD=2,给出下面四个结论： D ①三棱锥F-EHG是正四面体： ②二面角G-FH-E为直二面角： ③三棱锥F-EHG的表面积为4反； ④三按锥P-BHG的体积为导 其中正确结论的序号是 三、解答题共5小题，共0分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (17)(本小题14分) 已知向量a=(1,2),b=(x,4),c=(4,-x),且a⊥c (I)证明：向量a∥b: (Ⅱ)求a与c-b夹角的大小： (圆)求Ia-(b+c)I(teR)的最小值. (18)(本小题13分)》 在△MBC中，若cc=5 SbainC,A=若 (I)求B: (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△MBC存在且唯 一确定，求△ABC的面积.。 条件①b=a;条件②△MBC的周长为2+万：条件③BC边的中线的长度为万. 注：如果选择的条件不特合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果速择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分， (19)(本小题13分) 某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机抽取 了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如下： 组距 0.030 0.026 0.020 0.014 0.010 01020304050课外阅读时间/分钟 (I)估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数） (Ⅱ)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外 阅读时间相互独立，从该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一 人平均每天课外阅读时间在[30,50)内，另一人平均每天课外阅读时间在[0,20) 内的概率； (Ⅲ)用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况，学校根据学生的课外阅读时间 情况将学生分为“阅读积极分子”和“阅读待提高者”，规定平均每天课外阅读时 间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，少于40分钟的学生为“阅读待提高 者”.现在有两种奖励方案： 方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者” 每人奖励一本价值8元的书籍： 方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍， 已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低， (20)(本小题15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C,中，侧面ACCA,为正方形，平面ABB,A1⊥平面ACC,A1, AB=AC=4,D,B分别为BC,A,B1的中点，平面ADE与梭B,G,相交于从F B F I (1)求证：，C (I)若AB⊥ED. (i)求证：平面ACC,A,⊥平面BC: ()求点B到平面ADE的距离， (21)(本小题15分) dia a1.2 011 已知A.= (m≥2)是m2个非负实数组成的m行m列的数 表，其中a1+aa+…+a=1,i=1,2,…,m且au+a2+…+a=1,j=1,2,…,m 记第行中所有数的最大值为，第行第一个等于，的项为a,第j列中所有数的最 大值为9设44…，a中有0=1,2,3，…，m)个数位于第j列，且这号个数 之和为S(规定：若与=0，则S=0). 0.50 0.250.25 00.50.250.25 (I)当m=4时，若A4= 求名，南为高的值： 0.50 0.250.25 00.50.250.25 （国)求证者>0，则≥者与=0则≥=12， ()当m=9时，求tt5十+的最大值. c+9tG+…+9 北京市朝阳区2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学参考答案 2025.7 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） (1)A (2)D (3)c (4)A (5)D (6)C (7)B (8)C (9)B (10)B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） (浮 (12)51-i (13)49 (14)2号 (15)2π (16)②③④ 三、解答题（共5小题，共70分） (17)(本小题14分) 解：(I)因为向量a=(1,2),c=(4,-x), 由a⊥c,得1×4+2(-x)=0. 解得x=2,则b=(2,4)=2a 因此a/∥b. …4分 (Ⅱ)由(1)知c-b=(2,-6),则1c-b1=√4+36=√40=2√10. 又1al=5,则a·(c-b)=1×2+2×(-6)=-10. 设a与e-b夹角为0，因此=》-石20而”-号 又0≤0≤m,则0=织，所以a与c-b夹角为3 …9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，b+c=(6,2),则a-t(b+c)=(1-6t,2-2). 因此1a-(b+c)川=√(1-60)2+(2-2)7=√40r2-20:+5 4u-+ 2 当且仅当1=时取等号。 所以a-(b+c)1最小值为而 14分 (18)(本小题13分) 解：(I)因为ccosB=5 bsinC,由正弦定理a b sinAsinBsinC' 所以sinCeosB=5 sinBsinC. 因为C∈(0，r),所以sinC≠0. 所以cosB=5sinB,即1anB= 3 因为B∈(0，r),所以B= 61 6分 (Ⅱ)若选择条件①： 由(1)可得B=A=若，则b=a三角形存在但不唯一确定 若选择条件② 由(I)可得B=A= 6 所以C=号，6=a 由正弦定理 b 品品B品c所以e=Fa 所以△ABC的周长为，a+b+c=(2+5)a. 所以a=b=1,c=5. 所以△Ac的面积为5=分abainC=宁×1x1×号-得 …13分 若选择条件③： 由(1)可得B=A=名， 所以C=号b=a 设AD为BC边上的中线，AD=万， 在△ACD中，由余弦定理AD2=AC2+CD2-2AC·CDeos∠ACD, 所以7=心+号+号 解得b=a=2,则由正弦定理 品品=c得e=5a=26. b 所以△MBG的面积S=之aboinC=分x2x2x号=反 ，…13分 (19)(本小题13分) 解：(I)由图数据可知，学生平均每天阅读时间的各区间的频率依次为：0.1,0.14,0. 26.0.3,0.2, 因此第70百分位数必在区间[30,40)内，设该数为x, 则有0.1+0.14+0.26+(x-30)×30×10=00 1570 解得x=0=36.7.… …5分 3 (Ⅱ)不妨设随机抽取的两人分别为甲，乙 设“甲平均每天课外阅读时间在[30,50)内"为事件A, “甲平均每天课外阅读时间在[0,20)内”为事件A, “乙平均每天课外阅读时间在[30,50)内”为事件B1: “乙平均每天课外阅读时间在[0,20)内”为事件B, “两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在[30,50)内，另一人平均每天课外阅读 时间在[0,20)内"为事件C. 由课外阅读时间在[30,50)内的频串为0.5，在[0,20)内的频率为0.24. 故P(A1)与P(B,)可估计为0.5，P(A,)与P(B2)可估计为0.24 则P(C)=P(A1B2+A,B) 由A,B,AB,互斥，及A1,B2相互独立，A2,B,相互独立， 可得P(C)=P(A,)P(B2)+P(A2)P(B,) 所以P(C)可估计为0.5×0.24+0.24×0.5=0.24.…10分 (Ⅲ)由题意可知，样本中“阅读积极分子”的频率为”= 50=5· 故总体中“阅读积极分子“的人数可估计为行×100=20， 则“阅读待提高者”人数可估计为800， 方案一：奖励费用为200×22+800×8=10800元. 方案二：奖励费用为1000×15=15000元 所以方案一所需费用较低…13分 (20)(本小题15分)》 解：(I)取B,C,的中点G,连接A,G,DG, 在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面ABC/平面A,B,C, 且平面ADEn平面ABC=AD,平面ADEn平面A,B,C,=EF, 所以AD/EF, 又因为侧面BCC,B,是平行四边形，且CC,/M1,CC,=M,, G,D分别是B,C,BC的中点， 所以GD/CC,GD=CC, 所以GD/AA1,GD=AM1, 所以四边形GDAA,是平行四边形， 所以AD/A,G,所以EF//A,G, 因为E为AB,的中点， 所以F为B,G的中点， 所以会2-好 5分 (Ⅱ)(i)取AB的中点H,连接EH,DH, 因为平面ABB,A1⊥平面ACC,A1,平面ABB,A,∩平面ACC,A1=AM1, 又因为侧面ACC,A,为正方形，所以AC⊥AM 又ACC平面ACC,A1, 所以AC⊥平面ABB,A,所以AC⊥AB. 又HD/AC,所以HD⊥AB, 因为AB⊥ED,HDODE=D,则AB⊥平面EDH, 所以AB⊥EH. 由AC⊥平面ABB,A1,EHC平面ABB,A1, 所以AC⊥EH. 又ABOAC=A, 所以EH⊥平面ABC. 又EH/A,A, 所以A,A⊥平面ABC.又AAC平面ACC,A1, 所以平面ACC,A1⊥平面ABC.… 10分 (i)因为EH⊥平面ABC, 所以Vew=号5oe·BH=宁×7×2Ex2五x4= 3 ED,EA在平面ABC内的射影分别为HD,HA, 因为HD=2AC,HM=之AB,且AB=AC=4, 所以在△EDA中，EA=ED=25,AD=22. 所以Sae=7×2万x35=6 设点B到平面ADE的距离为h, 由mc=a,可得了x6xh=9 所以h=号，即点B到平面ADE的距离为号 …15分