2.2 用配方法求一元二次方程 同步练习 2025-2026学年北师大版初中数学九年级上册

2.2 用配方法求解一元二次方程 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果和互为相反数，那么，的值分别是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.若与互为相反数，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程时，原方程应变形为(    ) A. B. C. D. 4.方程的左边配成完全平方式后所得的方程为(    ) A. B. C. D. 以上答案都不对 5.将方程化成的形式后是(    ) A. B. C. D. 6.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 7.关于的方程无实数根，那么满足的条件是(    ) A. B. C. D. 8.用配方法解一元二次方程，此方程可化为(    ) A. B. C. D. 9.用配方法解方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 10.解方程组时，用加减消元法最简便的是  (    ) A. B. C. D. 11.用配方法解方程变形正确的是 (    ) A. B. C. D. 12.已知关于的方程的解是，均为常数，，那么方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. 无法求解 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.在方程中，当时，；当时，则的值是______． 14.如图，矩形中，，，点在上端点除外，，作，垂足为当时，的长是          当时，的取值范围是          ． 15.若一元二次方程的两根为与，则__________； 16.用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ______， ______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：． 18.本小题分 到高中时，我们将学习虚数，叫虚数单位规定，如，那么的根就是：，试求方程的根． 19.本小题分 已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 20.本小题分 解方程： ； 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款元已知甲公司的人数比乙公司的人数多，乙公司比甲公司人均多捐元求甲、乙两公司各有多少人？ 21.本小题分 若规定两数，通过运算“”得，即例如． 求的值； 求中的值． 22.本小题分 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数例如把放入其中，就会得到． 若把实数对放入其中，得到的实数是多少 若把实数对放入其中，得到实数，求的值． 小明说，若把实数对放入其中，得到的实数可能小于你认为小明的说法正确吗为什么 23.本小题分 若、、满足的关系是求、、的值． 24.本小题分 已知关于、的方程组和的解相同，求、的值． 25.本小题分 解方程：． 如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合求的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ， 得：， 把代入得：， 方程组的解为， 则和的值分别为和． 故选：． 利用互为相反数两数之和为列出关系式，根据非负数的性质求出与的值即可． 此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了非负数的性质，二元一次方程组的解法，代数式求值，关键是根据相反数的定义得到，从而借助非负数的性质求得，的值首先根据题意得到，根据非负数的性质得到关于，的方程组，解出方程组求得，的值，最后代入计算即可． 【解答】 解：与互为相反数， ， ， 解得， ． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故选：． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 把方程变形得到，方程两边同时加上一次项的系数一半的平方，即两边同时加上． 【解答】 解：， ， ， ． 故选A． 5.【答案】  【解析】解：， ， 配方，得， 即， 故选：． 移项，再配方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可． 【解答】 解：当时，方程无解． 即． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：， ， 配方得：， ， 故选：． 移项，配方，开方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 9.【答案】  【解析】【考点】解一元二次方程配方法 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二元一次方程组的解法有关知识，利用加减消元法进行解答即可． 【解答】 解： 用进行消元最简便． 故选A． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方方程--配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方本题具体做法是把常数项移项后，再在左右两边同时除以，最后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 【解答】 解：把方程的常熟项移到等号的右边，得 在左右两边同时除以，得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选D． 12.【答案】  【解析】解：，，是方程的解， 令，，满足方程，即． ，， 方程的解是：，． 故选：． 已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查的是二元一次方程组的解法．根据题意将两对，的对应值分别代入，得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可． 【解答】 解：等式，当时，；当时， 解得： ． 14.【答案】   【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程等知识点． 空一：利用矩形的性质，勾股定理求出的长，结合三角形的等面积法即可求出的长度． 空二：先根据点在上端点除外，判断出，再根据，由图可知点在线段上不与，重合，可讨论当时，此时点，重合过点作于点，利用等腰三角形的三线合一推出，进而证明，得出，设，结合在两个直角三角形中可建立方程解出的值，最后根据直角三角形的勾股定理即可求出的值，再结合求出的范围． 【解答】 解：空一： 当时：如图： 矩形中，，， ，，， 在中，， 作，垂足为， ， ； 故第一个空答案为：； 空二： 点在上端点除外，， 当时，由图可知点在线段上不与，重合 可分析当时，此时，点，重合，如图： 过点作于点，则， ，， ， 四边形是矩形， ，，， 作，垂足为， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， 解得：负值已舍去， ， 在中，， ， 解得： 综上所述的范围为：； 故第二个空答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么先利用直接开平方法得到，再根据方程的两个根互为相反数，得出，求出的值，得出方程的两个根分别是与，从而得出答案． 【解答】 解： ， ， 方程的两个根互为相反数， ， 解得， 一元二次方程的两个根分别是与， ． 故答案为． 16.【答案】    【解析】解：， ， ， ， 所以，， 故答案为：；． 移先后配方，变形后即可得出答案． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 18.【答案】解： ， ， ， 则， 解得，．  【解析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集； 移项、合并，再两边都除以，继而根据平方根的定义求解即可． 本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17.【答案】解：， ， ， ， 解得， 所以，  【解析】本题将虚数和方程结合起来求虚根，可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 此题考查配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 19.【答案】解：， ，得：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 二元一次方程组的解互为相反数， ， 即：， 解得：．  【解析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数，利用加减消元法求出，，根据，互为相反数可得到关于的方程，解方程即可． 20.【答案】解：， ， ， ， ，； 设乙公司有人，则甲公司有人， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲公司有名员工，乙公司有名员工．  【解析】直接用配方法解一元二次方程即可； 设乙公司有人，则甲公司有人，根据人均捐款钱数捐款总钱数人数，结合乙公司比甲公司人均多捐元，即可得出关于的分式方程，然后解方程即可． 本题考查了解一元二次方程和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21.【答案】解： 变形为， 即， 解得：或．  【解析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； 已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出的值． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． 22.【答案】解：将放入后得到， 把放入后得到． 把放入后得到， ，解得或． 小明的说法不正确，理由如下： 把放入后得到， 得到的实数不可能小于， 小明的说法不正确．   【解析】略 23.【答案】解：由二次根式有意义的条件可知，， 即，， 则， ， ，， 联立得：， 解得：， 将代入得：， 联立得：， 解得：， 所以，，．  【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和二元一次方程组的解法，认真计算是解决问题的关键根据二次根式有意义的条件求出，再根据列出方程组，解方程组求出，，的值． 24.【答案】解：关于、的方程组和的解相同， 这个解既满足，又满足， 应该是方程组的解， 解这个方程组得， 又既满足，又满足， 应该是的解， 解得， ，．  【解析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力分析题意，因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值．． 25.【答案】解：， ， ，； 把绕着点顺时针旋转， ，， 点与的延长线上的点重合， ， ．  【解析】利用因式分解法解方程； 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用因式分解法和掌握旋转的性质． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$