24.1.2 垂直于弦的直径（第1课时） 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径（第1课时） 生活中的“垂径定理” 生活中的“垂径定理” 赵州桥的主桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即 所在圆的半径）是多少？ 1.理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理内容，并区分题设和结论。 3.能利用垂径定理解决有关的计算问题。 学习目标 实验 探究圆的轴对称性 [实验操作]将手中的圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现什么？由此你得到什么结论？ [实验现象] [实验结论] 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线（过圆心的任意一条直线）都是圆的对称轴. 圆沿着直径折叠后能够完全重合 证明圆是轴对称图形 证明：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 提示：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 几何画板 已知：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为E 求证：A和B关于直线CD对称 证明圆是轴对称图形 证明：连接OA，OB. 在△OAB中，∵OA=OB 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ∴△OAB是等腰三角形. 又∵AB⊥CD ∴AE=BE(三线合一） ∴CD是AB的垂直平分线 那么对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B 即A、B关于直线CD对称 探究垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E．根据圆的对称性，你发现图中有哪些相等的线段和弧？ 几何画板 （1）垂直于弦 （2）直径 （3）平分弦 （4）平分优弧 （5）平分劣弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： 思考：下列哪些图形适用垂径定理？为什么？ 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8 垂径定理，升华概念 典例解析——模型应用 【教材83页练习1】 〖例1〗如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 典例解析——模型应用 〖变式1〗如图，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。 典例解析——模型应用 〖变式2〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径= 。 典例解析——模型应用 思考1：如图，若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，弓高为h,则r、a、d三者之间的关系式是 ； r、d、h三者之间的关系是式 . 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位） 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 【教材82页例2】 典例解析——模型应用 A B C D O 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点D，根据垂径定理的结论，D 是 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． 在图中，AB=37，CD=7.23， OD=OC－CD=R－7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+（R－7.23）2 解得：R≈27．3（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程 课堂小结·思想升华 中考演练（2017·泸州T6·3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（ ） O A B C D E 当堂检测——应用模型 课后作业——应用模型 1．教材P89复习巩固第2题 2．教材P83练习第2题。 3．教材P90复习巩固第12题。 4.如果把垂径定理中条件和结论位置交换，命题还成立吗，你试试看？若以下五个条件中任选两个能推出其他三个吗? 若一条直线满足： ①过圆心的直线 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧 天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 老师的幸福是遇见你们 愿你们努力进取，永不言败 Lavf57.62.100 $$