24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学·第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径 不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为。 导入课题 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 活动1：探索圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 思考：1.圆是轴对称图形吗？如果是有多少条对称轴？ 2.圆是中心对称图形吗？如果是对称中心在何处？ 学习新知 结论：1.圆是轴对称图形；任何一条过圆心的直线都是圆的对称轴. 2.圆是中心对称图形；圆心为对称中心. 学习新知 例1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 学习新知 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M， 连接OA，OA'. 在△OAA'中，∵OA=OA', ∴△OAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD， ∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都 有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于 直线CD对称.即圆是轴对称图形， 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. A C D O A' M 新知探究 活动2：探索垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．根据圆的对称性，你发现图中有哪些相等的线段和弧？ 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 归纳小结 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． A C D O B M 思考：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ 牛刀小试 D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B 注意：定理中的径可以是直径、半径、弦心距、弓形高等过圆心的直线或线段 垂径定理适用范围情况归纳： 归纳小结 解决问题 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解决问题 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 在图中，AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 小试牛刀 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 小试牛刀 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 新知探究 活动3：探索垂径定理的推论 思考：如果把定理中条件和结论位置交换，命题还成立吗，你试试看？ 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 过圆心的直线或线段 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 为什么强调这里的 弦不是直径？ 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心直线或线段 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 两 三 归纳小结 学以致用 例1：如图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∠CAO=22.5°，OC=6，求CD的长. ∵直径AB垂直于弦CD ∴CE=DE(垂径定理) ∠OEC=90° ∵OA=OC，∠CAO=22.5° ∴∠ACO=∠CAO=22.5° ∴∠COE=∠ACO+∠CAO=45° ∴∠ECO=∠COE ∴OE=CE 在Rt△COE中，OC=6 ∴OE=CE= ∴CD=2CE= 解： 1.如图1,OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. 2.如图2,⊙O的弦AB＝8cm,直径CE⊥AB于D,DC＝2cm,半径OC的长为 cm. 3.如图3,已知⊙O中弦AB∥CD,图中相等的弧是 . 变式应用 图1 图2 图3 4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD的数量关系是 . 5.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 . 图4 变式应用 方法提炼 涉及解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 2.扇形形中重要数量关系 1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 已知⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD, AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 拓展提升 分析：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)； 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2). $$