精品解析：云南省昆明市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

昆明市普通高中2024~2025学年高二期末质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可判断其虚部. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：B. 2. 数据1，1，2，3，5，8，13，21的第80百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可求解. 【详解】该组数据共有8个数，从小到大排列为：1，1，2，3，5，8，13，21， 由于，故所求为从小到大排列后的第7个数，即为13. 故选：D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，， 则. 故选：B. 4. 等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差. 【详解】为等差数列， ， ， 设的首项为，公差为，则， 解得， 故选：A 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 6. 已知函数是偶函数，则（） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的定义列出等式并化简即可求出. 【详解】的定义域为关于原点对称, 是偶函数 ， 即 化简得 解得， 故选：B 7. 已知正三棱柱的高为4，正三棱锥的高为2，若点均在同一个球面上，则的边长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等边的边长为，取正三棱柱上、下底面的中心，再取的中点，则为外接球的球心，连接，则三点在一条线上，得到外接球的半径为，在直角中，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】正三棱柱的高为，正三棱锥的高为， 且点均在同一个球面上，则点在三棱柱的外部， 如图所示，设等边的边长为，取正四棱柱上、下底面的中心， 再取的中点，则为外接球的球心， 连接，则三点在一条线上，且， 设外接球的半径为，则， 在等边中，因为中心，可得， 在直角中，可得，即， 解得，即正三棱柱的底面的边长为. 故选：C. 8. 函数在内的零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数为，得到或，结合正弦、余弦函数的性质，求得相应的的值，即可求解. 【详解】由函数，其中 令，即，所以或， 当时，可得或或， 当时，可得或或或， 所以的零点之和为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（） A. 是的极大值点 B. 有且仅有三个零点 C. 当且仅当时有 D. 点是曲线的对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对子A，利用导数研究函数的单调性即可判断的极值点；对于B，求出极值，画出大致图象可判断的零点；对于C，由单调性可判C；对于D，只需验证是否成立即可. 【详解】对于A，的定义域为． 令得或，令得， 在单调递增，在单调递增，在单调递减， 是的极小值点，故A错误； 对于B，由A可知是的极大值点， ， 又，， 当时，，当时，， 的图象如图所示，由图可知有三个零点，故B正确； 对于C，由B可知， 又，结合图象可知故当且仅当时有，故C正确； 对于D， ， 关于点成中心对称，D正确； 故选：BCD 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的是（） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由易知成立；对于B，举例可判断B不正确；对于C，先求出C角，再由余弦定理和基本不等式即可证明；对于D，由正弦定理、二信角公式及余弦定理即可化简证明. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，，不妨令，此时，故B错误； 对于C，，， ，即， ，当且仅当时等号成立，，故C正确； 对于D，，， ，，，即， ．整理得， 当，即时，，又，此时，，此时有； 当时，，综上，当时，有，故D正确； 故选：ACD 11. 若点，在抛物线上，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且，设直线与轴交于点，过作直线的平行线交直线于点，则（ ） A. B. 面积的最大值为4 C. ､､､四点共圆 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，假设坐标，将，求出，由，可得，求出直线AB方程，令可得的横坐标；对于D，由A带入化简即可；对于C，求出过 且与 的平行线的方程，与直线联立求出的坐标，由三角形面积公式及基本不等式即可求解；对于C，举反例证明不共线即可判断C. 【详解】对于A，设，则，由得， 直线 AB 的斜率，故直线AB 的方程为， 令，解得 ，故 ，所以 ，选项A正确； 对于D，，选项D正确； 对于B，过 作 的平行线，该方程为 ，与 联立， 解得：，故的面积， 因为，故将 代入上式并化简得 ， 不妨设，则，当且仅当时等号成立，此时， 故面积的最大值为 4 ，选项B正确； 对于C，取 ，则 ，故 ， ， 则确定的圆方程为 ， 因为，故､､､四点不共圆，选项C错误， 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，为单位向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长计算公式，及数量积运算求解即可. 【详解】都为单位向量， ， 即， ， ， 故答案为：． 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简等式，再利用二倍角公式进行求解. 【详解】因为，所以， 令，则， . 故答案为： 14. 已知，最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性进而可知其最值，进而，当且仅当时等号成立，变形即可求的最小值. 【详解】构造函数，求导得， 令得到，令得到， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8， 故答案为：8 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，平面. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为为等腰梯形，且，所以， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，､为等腰直角三角形， 由，可得，， 又､､两两垂直，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 同理，平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数满足，，. （1）证明：是等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得证； （2）借助等比数列性质可得，再借助等差数列与等比数列求和公式计算即可得 【小问1详解】 由题意，， 因为对任意的，， 所以， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 所以 . 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. （1）求的方程； （2）若点为线段的中点，求面积的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）当的方程为时，，进而可得为等边三角形，进而由椭圆定义可得，由此求出，进而可求； （2）设点的坐标为，，，联立直线方程得到韦达定理，进而可求，由三角形面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当的方程为时，，则，， 故为等边三角形，则，解得， 则，故的方程为. 【小问2详解】 设点的坐标为，，， 由题意知：直线斜率存在且不为，设直线的方程为：（）， 联立，消得，且， 故， 故，所以， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为. 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”.线路是否正常工作仅由元件决定. （1）求，； （2）记一个模块中指示灯亮的盏数为，求的分布列及期望； （3）该器件由上述（）个相互独立的模块构成，只有在器件中至少有一半模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3）新器件较原器件正常工作的概率变小，理由见解析 【解析】 【分析】（1）记事件表示元件正常工作，，则,,利用独立事件的乘法及对立事件的概率即可求解； （2）确定随机变量的可能取值为，，，利用独立事件的乘法及对立事件求得对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可； （3）设原器件正常工作的概率为，新器件正常工作的概率为，求得, ，通过作差，比较与的大小即可. 【小问1详解】 记事件表示元件正常工作，，则 ， . 【小问2详解】 模块中指示灯亮的盏数的所有取值为，，，则 ， ， ， 即的分布列为 则的期望. 【小问3详解】 设恰有（且）个模块的指示灯亮为事件， ， 设原器件正常工作的概率为，新器件正常工作的概率为，则 . 同理可得， 由，得， 所以，所以，故， 所以，即， 所以新器件较原器件正常工作的概率变小. 19. 已知函数，. （1）当，时，证明：； （2）记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （i）证明：是的充要条件； （ii）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）构造辅助函数，通过利用导数研究单调性，确定函数符号即可得证； （2）（i）根据给定条件，结合充要条件的意义进行推理即可得证； （ii）由（i知，令，，则需，在上恒成立.通过分类讨论并利用导数求解即得. 【小问1详解】 令，，则， 所以在上单调递减，所以，即. 【小问2详解】 （i）必要性：若成立，即存在，使得对任意，都有，则对任意，，即成立. 充分性：若成立，即存在，使得对任意，都有. 当时，有；当时，有； 当时，，由， 知是奇函数.所以. 于是对任意，都有，即成立. （ii）由（i）知，只需考虑成立，即存在，使得对任意，都有，等价于. 令，，则需，在上恒成立. 不妨取，即，在上恒成立. 由，得，，则 ①当时，，符合题意； ②当时，，在上单调递增，故符合题意； ③当时，令，则，在上单调递增； 若，即，则，在上单调递增，同②符合题意； 若，即，由，知存在，使得. 当时，，在上单调递减，故，不符合题意. 于是. 2°由，得，， 令，， ①当时，，符合题意. ②当时，，在上单调递减， 若，即，则，在上单调递减，故，符合题意； 若，即，由，知存在，使得，当时，，在上单调递增，故，不符合题意. 于是. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市普通高中2024~2025学年高二期末质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 2. 数据1，1，2，3，5，8，13，21的第80百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 13 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列前项和为，，，则的公差为（） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 5. 已知双曲线左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是偶函数，则（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正三棱柱的高为4，正三棱锥的高为2，若点均在同一个球面上，则的边长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8. 函数在内的零点之和为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（） A. 是的极大值点 B. 有且仅有三个零点 C. 当且仅当时有 D. 点是曲线的对称中心 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若点，在抛物线上，为坐标原点，直线，，的斜率分别为，，，且，设直线与轴交于点，过作直线的平行线交直线于点，则（ ） A. B. 面积的最大值为4 C. ､､､四点共圆 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，为单位向量，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知，的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，平面. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数满足，，. （1）证明：是等比数列； （2）求. 17. 已知椭圆左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. （1）求的方程； （2）若点为线段的中点，求面积的最大值. 18. 某种器件由若干个相同的模块构成，每个模块由3个元件和2盏指示灯按如图方式联接.已知元件正常工作的概率为，，正常工作的概率均为，若指示灯亮表示该指示灯所在线路能正常工作.记事件表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯亮”.线路是否正常工作仅由元件决定. （1）求，； （2）记一个模块中指示灯亮的盏数为，求的分布列及期望； （3）该器件由上述（）个相互独立模块构成，只有在器件中至少有一半模块的指示灯亮的情况下，器件才能正常工作.若该器件中再添加2个模块，构成新的器件，试比较新器件与原器件正常工作的概率，并说明理由. 19. 已知函数，. （1）当，时，证明：； （2）记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （i）证明：是的充要条件； （ii）若成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$