精品解析：云南省丽江市古城区第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

丽江市古城区第一中学2024-2025学年高二6月月考 数学 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得到方程，求出的值. 【详解】由题意得：，解得：. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素确定集合的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案. 【详解】因为集合，集合， 所以，则，故A，B，D项错误，C项正确. 故选：C. 4. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 5. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线与直线所成的角，平面与平面所成的角，直线到平面距离，异面直线，之间的距离均求出来，看是否随着M，N的运动而变化 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化. 故选：A 6. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推关系即求. 【详解】依题意有，则， 由此得，，，． 故选：C． 7. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出展开式通项，然后令的指数部分为，由此求解出的值，则项的系数可求. 【详解】由二项展开式知其通项为， 令，解得. 所以的系数为. 故选：B. 8. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由，即可求出答案. 【详解】连接如下图： 由于是的中点， . 根据题意知. . 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解 【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图， 则，解得，故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为，故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为，故C正确； 同时参加两项比赛的人数为，故D正确； 故选：ACD 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，交于两点，且直线过，则（ ）． A. 的周长为 B. 圆为的内切圆 C. 准线和所夹锐角正弦值为 D. 抛物线上存在一点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求出切线的方程，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理得到交点的横坐标的关系式.利用抛物线的定义求出的周长，可判断A；利用三角形内切圆圆心的性质，结合计算可判断B；根据直线的斜率计算可判断C；根据等边三角形的性质，结合计算可判断D. 【详解】 由题意，，抛物线方程为：，圆的方程为：， 直线的斜率存在且不为0，设直线：即. 则圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以，直线：. 联立方程可得， 设，则. 对于A，因为，， 的周长为，故A正确； 对于B，假设圆为的内切圆，则点是三条内角平分线的交点，即平分，则有. 因为， 所以假设不成立，故B错误； 对于C，如图，设准线和所夹锐角为，则，所以，故C正确； 对于D，假设存在一点，使得为等边三角形， 取中点，过点作直线的垂线，垂足为，则 ， 由题意，直线的方程为即， 所以点的坐标满足， ，解得， 当时，，不满足； 当时，，不满足. 所以抛物线上不存在一点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用斜二测画法的原理还原出原三角形的高和底边长，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，过点作轴，且交轴于点． 过点作轴，且交轴于点， 则，又， 所以，所以原三角形的高，底边长为2， 所以，则原的面积为． 故答案为：. 13. 将3颗黑子和2颗白子共5颗围棋子任意填在如图所示的9个小方格内，每个小方格内至多填1颗棋子，则相同颜色的棋子既不同行也不同列的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型，分步乘法计数原理，及组合即可求解． 【详解】将3颗黑子和2颗白子共5颗围棋子任意填在如图所示的9个小方格内共有种不同的方法， 其中相同颜色的棋子既不同行也不同列的不同的方法有种，可如下计算：先将3颗黑子放置在9个小方格有6种不同的方法，然后放置两个白子有9种方法，， 其概率为， 故答案为：． 14. 设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 =m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为____. 【答案】2 【解析】 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】由题意，得， 设点，则， 所以· ① 又因为在椭圆上，所以，所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个， 则,解得，又因为， 所以的值可是. 故答案为：2 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在三棱柱中，，点是的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱柱外接球的表面积. 【答案】（1）证明如下： 连接，设，连接， 由三棱柱的性质可知，侧面为平行四边形， 因为为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）由等体积法代入计算，即可得到结果； （3）转化为长方体的外接球问题，再结合球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 即，又，平面，所以平面， 所以. 【小问3详解】 因为，平面， 所以三棱柱外接球就是以为棱的长方体的外接球， 长方体的体对角线长， 即长方体的外接球直径，即, 则其表面积为. 16. 某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求t的值； （2）在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望； （3）在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可） 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 P ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得； （2）由题可知服从超几何分布，即求； （3）由超几何分布及数学期望及方差公式计算求解. 【小问1详解】 由直方图可得第二组的频率为，所以 【小问2详解】 由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，其中中的人数为10， 所以可取0,1,2,3，则 ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 P ； 【小问3详解】 . 因为； 又因为可取0,1,2,3，则 ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以， 所以； 所以. 17. 已知在正四棱柱中，，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 由题可得，又平面，平面，故， 而平面，且， 平面，又平面， 所以平面平面. （2）； （3）3 【解析】 【分析】（1）由题，可证平面，再根据面面垂直的判定定理得证； （2）由题，为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理得到异面直线的夹角余弦值； （3）证明平面，由等体积法求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四棱柱中，， 由勾股定理得， 在中，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 因为正方形，所以，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以． 或. 18. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存在两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 证明：由，则， 当时，，，且等号不同时成立， 则； 当时，，，故， 设，则， 故函数在区间上单调递减， 又，， 故存在使得， 当时，，当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 存在，使得， 故函数存在两个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再分类讨论大于和小于时的正负即可得到函数的单调性； （2）分和讨论的单调性以及值域，再由得到的单调性，当时，构造函数利用导数结合零点存在定理分析； （3）先根据（2）中得到的的单调性画出其大致图象，再由（1）中的结论分类讨论，求出值域，最后由恒成立，确定的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，， 由（2）可得函数的图象如图所示： 当时，因为，， 则，即恒成立； 当时，函数在区间上单调递减， 又，当时，， 存在，使得， 当时，， 故存在，使，即，与题设矛盾； 当时，函数的极大值为，即， 当时，即当时，， 故，即恒成立， 当时，即时，存在， 使，即，与题设矛盾． 综上，实数的取值范围为． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． （1）求椭圆E的方程； （2）直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； （3）直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围． 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解之即得椭圆E的方程； （2）设直线l的斜截式方程，由直线l与圆O相切得到，再将直线与椭圆方程联立整理，写出韦达定理，结合，推导出即可求得直线l的方程； （3）利用（2）的结论，根据弦长公式求得表达式，利用得到与的面积之和的函数表达式，最后运用基本不等式即可求得范围. 【小问1详解】 由可得，又椭圆过点，则有， 将两方程联立，解得， 故椭圆E的方程为； 【小问2详解】 依题意，设，因直线与圆相切， 故有:，整理得，，① 由消去，整理得，， 显然，设，则， 则， 于是，将① 式代入得，， 即恒成立，则，代入① 式，可得，， 故直线l的方程为； 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，，利用对称性，可取， 代入椭圆方程得, 此时与的面积之和； 当直线的斜率存在为时，，仿上可得，， 则 ， 于是，与的面积之和为： , 即. 因，，当且仅当时等号成立， 此时，又则, 即. 综上所述，与的面积之和的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市古城区第一中学2024-2025学年高二6月月考 数学 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 6. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 11. 已知抛物线的焦点为，直线与以为圆心，为半径的圆相切，交于两点，且直线过，则（ ）． A. 的周长为 B. 圆为的内切圆 C. 准线和所夹锐角正弦值为 D. 抛物线上存在一点，使得为等边三角形 三、填空题（本大题共3小题） 12. 若用斜二测画法画的直观图是边长为2的正三角形，如图所示，则原的面积为______． 13. 将3颗黑子和2颗白子共5颗围棋子任意填在如图所示的9个小方格内，每个小方格内至多填1颗棋子，则相同颜色的棋子既不同行也不同列的概率为_____． 14. 设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 =m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为____. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在三棱柱中，，点是的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求三棱柱外接球的表面积. 16. 某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求t的值； （2）在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望； （3）在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可） 17. 已知在正四棱柱中，，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存在两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点． （1）求椭圆E的方程； （2）直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程； （3）直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $