精品解析：云南省曲靖市部分学校2024—2025学年高二下学期阶段性诊断考试数学试题

云南省2024—2025届（下学期）高二年级阶段性诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的内角的对边分别为，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，的元素个数为4，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A B. C. D. 4. 2024年7月至12月云南省工业增加值增长速度依次为，4.5%，，，，5.9%.与上月相比，工业增加值减少的月份数超过一半，且该组数据的极差为7.8%，则（ ） A. B. C. 7.1% D. 7.3% 5. 函数在上（ ） A. 有极大值，且极大值为 B. 有极大值，且极大值为 C. 有极小值，且极小值 D. 有极小值，且极小值为 6. 已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 若不在坐标轴上点关于直线的对称点为，则（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0或 D. 8. 为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（ ） A. 1560 B. 2640 C. 1360 D. 2340 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 与的值域相同 B. 与的最小正周期相同 C. 与的图象都关于直线对称 D. 与在上都单调递减 10. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四面体中，，，，，，分别为棱，，上的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 四面体的体积为 C. 最小值为2 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若（）为纯虚数，则______. 13. 已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则______；若，则______． 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与的渐近线垂直的直线与双曲线的左支交于点，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 某校高二期末考试的数学成绩（满分150分），，.将数学成绩从高到低按照10%，30%，20%，40%的比例分为，，，四个等级. （1）试确定各个等级分数对应的区间； （2）按照数学成绩的等级进行分层，用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取了10名学生，现从这10名学生中随机抽取3名学生，设表示这3人中数学成绩等级为的学生人数，求的分布列及数学期望. 16. 如图1，已知四边形是上、下底边长分别为1，3，高为1的直角梯形，，为线段上更靠近点的三等分点.将沿着翻折，使得点翻折到点，且，得到的几何体如图2所示. （1）证明：平面. （2）求平面和平面的夹角. 17. 将1，2，3，…，这个数字都填入（，）的方格中，每个方格填入1个数，组成一个正方形数阵，若每行、每列和对角线上的数字之和都相等，则将该数阵称为“阶幻方”，每行、每列和对角线上的数字之和均称为“幻方和”，记为. （1）将1～9这9个数字填入如下的正方形网格中，使其构成一个“3阶幻方”. （2）一个“4阶幻方”的部分数据如下表所示，等比数列中的4项，，，均在表内，求的通项公式. 12 13 3 （3）在由1，2，3，…，（，）组成的“阶幻方”中，设，求. 18. 已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. （1）求的方程. （2）若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）试讨论在上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省2024—2025届（下学期）高二年级阶段性诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的内角的对边分别为，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求解. 【详解】由，得. 故选：B 2. 已知集合，的元素个数为4，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由常见数集符号的定义，结合交集的定义求解. 【详解】有无数个元素，的元素个数为5， 的元素个数为4，的元素个数为3. 故选：C 3. 已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，然后求，结合图像判断，利用排除法即可求解.. 【详解】由题知，的定义域为，关于原点对称， 由，得是偶函数，A，B错误. ，都是定义域为奇函数，则， 则，D错误，C正确. 故选：C 4. 2024年7月至12月云南省工业增加值增长速度依次为，4.5%，，，，5.9%.与上月相比，工业增加值减少的月份数超过一半，且该组数据的极差为7.8%，则（ ） A. B. C. 7.1% D. 7.3% 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定，再由极差求出. 【详解】由题意得， 因为， 所以，得. 故选：A. 5. 函数在上（ ） A. 有极大值，且极大值为 B. 有极大值，且极大值为 C. 有极小值，且极小值为 D. 有极小值，且极小值为 【答案】D 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性，从而确定极值情况. 【详解】由题意得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，且极小值为. 故选：D 6. 已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 7. 若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意利用二倍角公式及两角和的正弦公式列方程求得，然后利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 得， 解得， 当时，，在轴上，舍去. 所以，故. 故选：D 8. 为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（ ） A. 1560 B. 2640 C. 1360 D. 2340 【答案】B 【解析】 【分析】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【详解】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 与的值域相同 B. 与的最小正周期相同 C. 与的图象都关于直线对称 D. 与在上都单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正余弦函数的值域，周期公式判断AB选项，利用代入检验法判断C选项，由可得，结合正弦函数的单调性判断 【详解】与的值域均为，A正确. 的最小正周期为，的最小正周期为，B错误. 当时，，，， 所以与的图象都关于直线对称，C正确. 当时，， 根据正弦函数的单调性可知，在上先减后增，D错误. 故选：AC 10. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行求解即可． 【详解】由，得，．，A正确． 因为，所以，B错误，C正确． 因为函数单调递增，所以， 又在上单调递增，所以，故，D正确， 故选：ACD． 11. 如图，在四面体中，，，，，，分别为棱，，上的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 四面体的体积为 C. 的最小值为2 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由线面垂直的判定定理证明平面，判断D,再由棱锥的体积公式可得B；将侧面翻折至点与平面共面，分别得到的最小值为和的最小值为，由解三角形即得判断A与C. 【详解】对于B,D，因为，，所以， 又，，平面，所以平面，故D正确； 因为，，所以，，可得， 所以四面体的体积为，故B正确； 对于A、C，将侧面翻折至点与平面共面，可知, 如图所示，过点作于点，过点作于点， 则的最小值为，故A错误； 在中，，， 则， 则的最小值为，故C正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若（）为纯虚数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数除法化简复数，然后根据复数类型求参数. 【详解】由题意得， 因为为纯虚数，,所以. 故答案为：. 13. 已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则______；若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用向量共线求得，进而利用定义计算即可；第二空，利用定义计算可求得. 【详解】第一空：因为，．，所以，解得． 所以，所以； 第二空：由，可得， 解得，所以，又，所以， 所以. 故答案为：①；②. 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与的渐近线垂直的直线与双曲线的左支交于点，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，在中，由正弦定理得，再由余弦定理、椭圆定义可得答案. 【详解】由题意得到渐近线的距离为， 则， 由，， 得， 在中，由正弦定理， 得， 由，得. 由余弦定理得， 得，得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 某校高二期末考试数学成绩（满分150分），，.将数学成绩从高到低按照10%，30%，20%，40%的比例分为，，，四个等级. （1）试确定各个等级分数对应的区间； （2）按照数学成绩的等级进行分层，用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取了10名学生，现从这10名学生中随机抽取3名学生，设表示这3人中数学成绩等级为的学生人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）等级分数对应的区间为，等级分数对应的区间为，等级分数对应的区间为，等级分数对应的区间为. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）求出的可能取值及对应的概率可得分布列，再由期望公式可得答案. 【小问1详解】 由题意得， ， ， 所以等级分数对应的区间为，等级分数对应的区间为， 等级分数对应的区间为，等级分数对应的区间为； 【小问2详解】 这10名学生中数学成绩等级为的学生人数为， 其他等级的学生人数为. 的可能取值为0，1，2，，， ， 则的分布列为 0 1 2 故. 16. 如图1，已知四边形是上、下底边长分别为1，3，高为1的直角梯形，，为线段上更靠近点的三等分点.将沿着翻折，使得点翻折到点，且，得到的几何体如图2所示. （1）证明：平面. （2）求平面和平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）先得到平面，，结合勾股定理逆定理得，从而得到平面. （2）方法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用平面夹角的向量夹角公式得到答案； 方法二：作出辅助线，得到平面和平面夹角的平面角为，求出各边长，利用求出面面角的大小. 【小问1详解】 证明：在图1中，由已知，，， ∴四边形是矩形，∴. 在图2中，∵，，， ，平面，∴平面. ∵平面，∴. 其中，，， 故，∴. ∵，，平面， ∴平面. 【小问2详解】 （方法一）由（1）可知，，，两两垂直， 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，. 设平面的一个法向量为， 则取， 则，，得. 易得平面的一个法向量为， 则平面和平面夹角的余弦值为， 故平面和平面的夹角为. （方法二）如图，作矩形，连接. ∵，，∴，∴，，，四点共面， ∴平面和平面的交线为. ∵，，，，平面， ∴平面. ∵平面，∴，∴. ∵，∴平面和平面夹角的平面角为. ∵，∴， 故平面和平面夹角为. 17. 将1，2，3，…，这个数字都填入（，）的方格中，每个方格填入1个数，组成一个正方形数阵，若每行、每列和对角线上的数字之和都相等，则将该数阵称为“阶幻方”，每行、每列和对角线上的数字之和均称为“幻方和”，记为. （1）将1～9这9个数字填入如下的正方形网格中，使其构成一个“3阶幻方”. （2）一个“4阶幻方”的部分数据如下表所示，等比数列中的4项，，，均在表内，求的通项公式. 12 13 3 （3）在由1，2，3，…，（，）组成的“阶幻方”中，设，求. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本题答案不唯一，只要满足中间数字是5，即可. （2）求出、，可得答案； （3）由题意得，再利用裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 本题答案不唯一，只要满足中间数字是5，即可. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【小问2详解】由题意得. 由表可得，得 得. 由，得，则； 【小问3详解】 由题意得， 则 ， 所以. 18. 已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为. （1）求的方程. （2）若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点. ①求四边形面积的最大值. ②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是， 【解析】 【分析】（1）根据长轴长及焦距求出即可得解； （2）①由题意设：，联立椭圆方程，消元后的一元二次方程，可得根与系数的关系，利用分割法求出面积，化简后由均值不等式求最值；②由斜率公式写出直线的斜率，计算，转化为关于的式子后，化简得解. 【小问1详解】 由题意得得则， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 易得直线的斜率不为零，设：，，. 由得，得 ①四边形的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故四边形面积的最大值为. ②是定值，该定值为. ，，. ， ， 所以. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）试讨论在上的零点个数. 【答案】（1） （2）当时， 在  上有  个零点；当  时， 在  上有  个零点 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，又，可求切线方程； （2）求导得，分和讨论的变化情况，确定的单调性，进而确定零点的个数. 【小问1详解】 函数 ， 当时，，， 所以切点为， 求导得，， 所以切线的斜率为0，切线方程为：，即； 【小问2详解】 由题，所以是函数的一个零点； 因为，所以， 所以 ，所以是奇函数，所以函数的零点关于原点对称， 所以只需研究的零点个数即可， 当时，，所以，所以当函数在内没有零点， 当时，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，所以， 又，所以， 可得，所以在上单调递增， 又，所以在上无零点， 则在上只有1个零点； 当 时，，令， 则， 在上单调递增，所以， 若时，，即， 所以上单调递增，即在上单调递增， 故至多有1个根，令，则，则， 令，当时，， 当，，所以在在上无解， 当时，求导可得， 所以在上单调递减，又，， 当时，，所以在时，方程有解， 即存在，使， 即，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，又， 所以在有1个零点，即函数在有1个零点， 所以当时，有三个零点， 综上所述：当时， 在  上有  个零点； 当  时， 在  上有  个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$