精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一期末数学试卷 一、单选题 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 坐标平面内点的坐标为，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 自然数的位数为（参考数据：）（ ） A 607 B. 608 C. 609 D. 610 6. 设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（ ） A. 平均数为3，极差是3 B. 中位数是3，极差是3 C. 平均数为3，方差是0.8 D. 中位数是3，方差是0.56 10. 已知函数，则下列结论正确是（  ） A. B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 12. 若函数的零点在区间，内，则________________． 13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________． 14. 非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则__________． 四、解答题 15. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当何值时，向量与向量互相垂直？ 16. 求值： （1）； （2） 17. 已知函数（，且）的部分图象如图示． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 18. 在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且函数只有一个零点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. “是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，即解得或， 所以是“”的充分且不必要条件， 故选：A 3. 已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】设向量在向量的夹角为，， 因为向量在向量上的投影向量与向量方向相反， 所以，解得，所以 故选：D 4. 坐标平面内点的坐标为，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限． 【详解】，，，则点位于第二象限. 故选：B 5. 自然数位数为（参考数据：）（ ） A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的值，可将写成，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即的位数为. 故选:C 6. 设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义以及可将的三边用表示出来，再由余弦定理和倾斜角的余弦值列关于的方程，即可得到离心率的值. 【详解】由在第一象限内，且，则，且， 由余弦定理可得cos∠PF1F2＝， 整理得，等式两边同除，则，解得或 (舍去). 故选：A 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故， 即，即，又，故. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到. 8. 设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可． 【详解】解：令，则 ， 故g（x）在R递增， 不等式， 即， 故， 故x＜2x−1，解得：x＞1， 故选：D. 二、多选题 9. 某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（ ） A. 平均数为3，极差是3 B. 中位数是3，极差是3 C. 平均数为3，方差是0.8 D. 中位数是3，方差是0.56 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题知，前四轮投中的个数总和为13，从选项看，分两大类讨论： ①平均数为3，则第五轮投中2个，再根据极差和方差的计算公式求解后，即可判断选项A和C；②中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，然后分4种情况，逐一计算极差和方差，从而判断选项B和D． 【详解】2+3+4+4＝13， ①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2， 所以极差为4﹣2＝2，方差为， 即选项A错误，C正确； ②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3， 当投中的个数为0时，极差为4，方差为 当投中的个数为1时，极差为3，方差为； 当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8； 当投中的个数为3时，极差为2，方差为 即选项B和D均正确． 故选：BCD． 【点睛】此题为基础题，考查统计中相关概念. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（  ） A. B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简，将代入可判断A；根据求出，结合三角函数的图象可判断B；由三角函数的性质可判断C；求出，再将代入可判断D. 【详解】对于A选项，因为 ， 所以，故A正确； 对于B选项，当时， ， 函数在上先增后减，无单调性，故B错误； 对于C选项，的值域为，故C正确； 对于D选项，， 当时，取得最小值，故D正确． 故选：ACD. 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三、填空题 12. 若函数的零点在区间，内，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理计算可得； 【详解】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以； 故答案为： 13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出． 【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面， 且，，设该阳马的外接球半径为， 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径， ， ， 侧棱底面，且底面为正方形， 内切球在侧面内的正视图是的内切圆， 内切球半径为， 故． 故答案为． 【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上. 14. 非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件确定的可能取值，再求出其最小值，由此列方程求. 【详解】已知向量组可能为：或或， 向量组可能为：或或， 所以的可能值为 和 ， 因为，， 且， 所以的最小值为， 由已知，所以 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积公式及计算即可； （2）两个向量垂直则这两个向量数量积为，把条件代入计算即可. 【小问1详解】 ， . 小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得， 所以当时，向量与向量互相垂直 16. 求值： （1）； （2） 【答案】（1）11 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用指数和对数的运算法则即可计算求解； （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解． 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 17. 已知函数（，且）的部分图象如图示． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解； （2）将问题转化为在有解，结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由图象可知函数经过点和， 所以，解得， 所以函数的解析式是． 【小问2详解】 由（1）知，， 根据题意知，即在有解， 设，则， 因为和在上都是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数，故， 所以，实数m的取值范围是． 18. 在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． （1）求点的坐标； （2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点； （2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 依题意可设直线的方程为（，），则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且函数只有一个零点，求的最小值. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）的最小值为1 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域与导函数，讨论的取值范围，分别求出函数的单调区间即可. （2）解法一：问题等价于只有一个交点，令，可得，记，讨论的取值，确定方程根的个数即可求解；解法二：问题等价于只有一个交点，令，则，令，则，记，作出函数和函数的图像，利用图像的交点即可求解. 【详解】解：（1）由题意可知，. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）解法一：由题意可知，且. 令， 则. 记，（*） 当时，，与相矛盾，此时（*）式无解； 当时，无解； 当时，（*）式的解为，此时有唯一解； 当时， ， 所以（*）式只有一个负根，有唯一解，故的最小值为1. 解法二：由题得， 令，则. 再令，则. 记， 函数和函数的图象如图所示： 当，即时，显然不成立； 当，即时，由，得方程存在唯一解，且. 此时亦存在唯一解. 综上，的最小值为1. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查推理论证能力，考查分类与整合思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $