2.3二次函数与一元二次方程，不等式（六题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

2.3二次函数与一元二次方程，不等式 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1一元二次不等式 2 知识点2二次函数的零点 2 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 2 知识点4一元二次不等式恒成立问题 3 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 3 题型训练 3 题型1 解不含参的一元二次不等式 3 题型2 解简单的分式不等式 5 题型3 三个“二次”的关系 6 题型4 解含参的一元二次不等式 9 题型5 一元二次不等式恒成立问题 12 题型6 一元二次不等式有解问题 14 过关检测 19 学习目标： 1．会从函数观点看一元二次不等式，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程。 2．会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，学会如何求解一元二次不等式。 重难点： 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与轴位置关系的联系，数形结合思想的运用 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 知识点4一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 题型1 解不含参的一元二次不等式 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 2．下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为恒成立，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当是，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，可得，即不等式的解集为， 对于A中，集合是成立的充要条件，所以A不符合题意； 对于B中，集合 是的必要不充分条件，所以B符合题意； 对于C中，集合 是的充分不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，集合是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 5．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 题型2 解简单的分式不等式 6．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由，显然，即，可得. 故选：B 7．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由原不等式可得，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：C． 8．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】，即， 解得：或， 故不等式的解集为：， 故答案为：． 9．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】易知不等式的解集为， 不等式的解集也为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 题型3 三个“二次”的关系 11．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 12．（多选）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 【答案】ABC 【详解】不等式的解集为，，故A正确； ，令，，即，故B正确； 由上所述，易知，， 由题意可得为一元二次方程，则，， 则，，即为方程的解， 则可知不等式的解集为，故C正确，D错误. 故选：ABC. 13．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，关于x的一元二次方程有解，则， 即，解得或. 所以的取值范围是. 故选：C. 14．已知不等式的解集为，则 . 【答案】4 【详解】依题意，方程有两根为1和2，且， 由韦达定理，，解得，故. 故答案为：4. 15．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 16．关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 【答案】/ 【详解】由题意，的两根为， 所以， 解得，或， 当时，故， 由知，所以解得， 当时，不合题意. 故答案为： 题型4 解含参的一元二次不等式 17．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 18．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 19．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 20．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 21．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 22．已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）的解集为， 所以，解得. （2）当，，即，即， 当时，得，解得， 当时，方程只有一根，所以不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为. 题型5 一元二次不等式恒成立问题 23．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 24．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则 则实数. 故选：B. 25．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 26．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题设，在上恒成立，而， 所以. 故答案为： 27．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】构造函数，其图象开口向上， 因为不等式对任意恒成立， 所以，即，解得，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 28．若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型6 一元二次不等式有解问题 29．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 30．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 31．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 32．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 33．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 题型7 一元二次不等式的实际应用34．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 35．已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 36．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 37．如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 38．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 39．某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)答案见解析 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元. （2）依题意，当时，有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元. 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】或，则得或. 则解集为或. 故选：B 2．不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到，整理得到， 等价于且，解得， 故选：C. 3．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得. 故选：B 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 故选：A． 5．已知不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个根， 即， 代入可得，解得或， 所以的解集为. 故选：D 6．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 7．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 8．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 二、多选题 9．若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 10．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，，即， 对于选项AB：因为，即， 整理可得，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误； 对于选项CD：由可得，可得，故C正确；D错误； 故选：AC. 三、填空题 11．设，集合，若⫋ A ⫋，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若⫋A⫋，则有两个不等正根，或1个正根，1个0， 设其两根分别为， ，解得． 故答案为： 12．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 【答案】5 【详解】因为的两根为，所以， 又因为，所以， 所以，解得，检验可得， 所以. 故答案为：. 13．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 【答案】 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题 14．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 15．已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 16．已知集合，非空集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由或， 由题意，且， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围. 17．解关于的不等式： 【答案】答案见解析. 【详解】 原不等式可化为， ①若，则不等式化为，即， 此时原不等式解集为； ②若，则，且， 所以原不等式解集为； ③若，则， i），即，原不等式解集为； ii），即，原不等式解集为； iii），即，原不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程，不等式 学习目标及重难点 1 知识梳理 1 知识点1一元二次不等式 1 知识点2二次函数的零点 2 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 2 知识点4一元二次不等式恒成立问题 2 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 2 题型训练 3 题型1 解不含参的一元二次不等式 3 题型2 解简单的分式不等式 4 题型3 三个“二次”的关系 4 题型4 解含参的一元二次不等式 5 题型5 一元二次不等式恒成立问题 6 题型6 一元二次不等式有解问题 6 过关检测 8 学习目标： 1．会从函数观点看一元二次不等式，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程。 2．会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，学会如何求解一元二次不等式。 重难点： 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与轴位置关系的联系，数形结合思想的运用 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 知识点4一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 题型1 解不含参的一元二次不等式 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 题型2 解简单的分式不等式 6．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．不等式的解集为 ． 9．不等式的解集是 . 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 三个“二次”的关系 11．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 12．（多选）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 13．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知不等式的解集为，则 . 15．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 . 16．关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 题型4 解含参的一元二次不等式 17．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 19．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 20．解关于的不等式． 21．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 22．已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 题型5 一元二次不等式恒成立问题 23．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 26．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 27．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 28．若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型6 一元二次不等式有解问题 29．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 31．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 32．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 33．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 题型7 一元二次不等式的实际应用34．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 36．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    37．如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 38．某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 39．某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 2．不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 3．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 8．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．设，集合，若⫋ A ⫋，则实数的取值范围为 ． 12．已知方程的两个根满足，则m的值是 . 13．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题 14．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 16．已知集合，非空集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17．解关于的不等式： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$