第03讲 解一元二次方程——公式法 讲义 2024-2025学年人教版九年级上册数学暑假预习

第03讲 解一元二次方程——公式法 【例题1】 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 【例题2】 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】 【解析】（1），，，，方程有两不等实根； （2） ，，，，方程无实数根； （3） ，，，，方程有两相等实根； （4），，，，方程有两不等实根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根． 【例题3】 .已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】方程无实数根．【答案】【答案】 【解析】方程组的解是，代入即得：，可解得：， 此时方程即为，其中，，，，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其值，判定方程解的情况． 【例题4】 .当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】对此方程，，，，则 ，由此可知， （1）当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）当，即时，方程有两两个相等的实数根； （3）当，即时，方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论． 【例题5】 【例2】已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C. 【例题6】 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义则，再根据一元二次方程有实数根，则，即可得到的范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况． 【例题7】 ．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知，即可求出的值． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，或. 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【例题8】 若关于x的一元二次方程没有实数根，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程没有实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可. 【详解】解： 关于x的一元二次方程没有实数根， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ， ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练由根的情况求解字母参数的取值范围是解题的关键. 【例题9】 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由． 解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的． 【例题10】 已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根． 【例题11】 证明：方程有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为： 其中，，， 则恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根． 【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的值即可以确定下来． 【例题12】 如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【答案】方程无实根．【答案】【答案】 【解析】由的解集是，可知，即， 对一元二次方程而言，其中，，， 则，时，恒成立， 由此可知方程无实数根． 【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其值确定相关方程根的情况． 【例题13】 已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 【答案】．【答案】【答案】 【解析】（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根； （2） 当，即时，方程为一元二次方程， 其中，，，方程有实根，则必有： ，可解得且； 综上所述，的取值范围为． 【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 【例题14】 用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解． 解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝＝＝，即原方程的解是x1＝－2，x2＝. (2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. (3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根． (4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－. 【例题15】 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则，∴； （2），则，则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例题16】 .用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴； （2）方程可化为：，则． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 【例题17】 .用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴ （2）两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 【例题18】 .用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：； （2） ，则，则， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 课后巩固练习 一、单选题 1. 在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 2. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键．本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系是解决本题的关键． 【详解】 解：当，由得，此时方程有解； 当，由题意得，． 且． 综上：． 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 4. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵方程是一元二次方程 ∴， ∴且， 故选：D． 6. 嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题意，先由错误情况下的判别式得到，再计算原方程的判别式即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 【详解】解：嘉淇在判断一元二次方程根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根， ，即， 原方程的判别式，即原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 一个化简后的多项式，改变若干项的符号，使前后两个多项式中正负号的个数相同，这样的两个多项式互为“亲密多项式”例如是的“亲密多项式”，，是的“亲密多项式”以下说法正确的个数有（    ） ①若两个二项式和为0，则他们互为“亲密多项式” ②的“亲密多项式”一共有5个 ③的所有“亲密多项式”的和为 ④若关于的二次三项式等于0的方程有解，则它的“亲密多项式”等于0所得到的方程一定也有解 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 本题考查了对“亲密多项式”的理解，合并同类项法则，一元二次方程根的判别式，解题关键是理解“亲密多项式”的定义，并运用相关知识解决问题．根据题目中“亲密多项式”的定义，运用多项式和一元二次方程根的判别式的相关知识即可得解． 【详解】解：①二项式与的和为0，根据已知它们不是“亲密多项式”，故①错误； ②的“亲密多项式”有，，，，共5个，故②正确； ③的“亲密多项式”有：，，，，它们的和为，故③错误； ④方程有解，但是无解，根据已知与互为“亲密多项式”，故④错误． 8. 故选：A． 如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程，得出，由折叠得出，根据勾股定理得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：方程的根为： ， 由折叠可知， ， ． ， ， 的长度是方程的一个根． 【点睛】本题巧妙地将代数问题与几何问题结合在一起，主要考查了二元一次方程根的求解、翻折的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用含，的代数式正确表示出图形中各线段的长度． 二、填空题 9. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则 0（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二次方程()的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即得解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：> 11. 已知代数式的最小值为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解． 【详解】解：∵ ∴的最小值为， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．解一元一次一次不等式即可得出结果．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， ，且， ，且， 满足此条件的k值均可以． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据方程根的情况求出参数，根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得 故答案为：． 14. 一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 关于的方程的实数根的情况是 ． 【答案】有2个不相等的实数根 【分析】本题考查判别式与根的个数关系，熟练掌握时，方程有两个不相等实数根是解题关键，根据判别式进行判断即可． 【详解】解： 方程有两个不相等的实数根 故答案为：有2个不相等的实数根． 16. 已知关于的一元二次方程．若等腰的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的性质．分两种情况：①若2为底，则方程有两个相等的实数根；②若2为腰，则2是方程的一根，分别计算出方程的解，计算出三角形的周长是解题的关键． 【详解】解：①若2为底，则方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 方程为， ∴ ∴的周长； ②若2为腰，则2是方程的一根， 代入方程， 解得， 方程为， 解得， ∴的周长； 由①②得的周长是或． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．掌握并灵活选用一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：，即：， 这里，，， ∵， ∴， ∴，． 18. 解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19. （1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）（2）m的值为7或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式等知识． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相等的实数根可以得到，解关于m的方程即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， ∴， ∴； （2）∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴m的值为7或． 学科网（北京）股份有限公司 $$