集合的基本概念中档题训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合的基本概念（中档题） 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 4．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 6．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，则（      ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 11．已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．关于x的方程的解集为 13．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 14．若方程有唯一解，则实数的所有可能值所组成的集合为 . 四、解答题 15．已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 16．若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《集合的基本概念（中档题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D C B C BCD AD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 2．C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 3．C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4．B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 5．D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 6．C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 7．B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 8．C 【分析】分、、是大于还是小于进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果． 【详解】解：，，为非零实数， 当，，时，； 当，，中有一个小于时，不妨设，，， ； 当，，中有两个小于时，不妨设，，， ； 当，，时，； 的所有值组成的集合为． 故选：C． 9．BCD 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 10．AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11．ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】分类讨论的范围，去绝对值解方程即可. 【详解】关于x的方程， 若，则， 可得，解得，不合题意； 若，则， 可得，解得，不合题意； 若，则， 可得，解得，符合题意； 若，则， 可得，解得，不合题意； 综上所述：方程的解集为. 故答案为：. 13． 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 14． 【分析】考虑分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程的情况求解. 【详解】由可得， 当或时，方程有唯一解或0，符合题意， 当时，由原方程可得， 由可得，此时方程有唯一解，符合题意. 故实数的所有可能值所组成的集合为. 故答案为： 15．(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 16．(1)B不是“好集”；是“好集” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”； （2）由，若，则，从而得出； （3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即. 【详解】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$