精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一强基班（2025级）下学期期末考试数学试题

仁寿一中南校区2025级强基班期末考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则的子集有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 是单调递增函数 B. 是偶函数 C. 函数的最小值为 D. 7. 当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题 9. 关于的不等式的解集，下列说法正确的是（ ） A. 时，解集为 B. 时，解集为 C. 时，解集 D. 时，原不等式在时恒成立 10. 若，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. a3+b3a2b+b2a C. D. 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三、填空题 12. 命题“”的否定为__________. 13. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 14. 已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为________；（2）若，则的最大值为________. 四、解答题 15. 若集合A＝{x|2x﹣1⩾3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}． （1）求A∩C； （2）若A∪B＝R，求实数m的取值范围． 16. 求最值： （1）已知，且满足，求的最小值； （2）已知，求最大值； （3）已知，且满足，求的最小值. 17. 已知二次函数． （1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式（其中）． 18. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图像对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值． （3）已知函数在是单调函数，若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若、，都有，则称为区间上的下凸函数．例如，函数在上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的、、、，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）． （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设、、、，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仁寿一中南校区2025级强基班期末考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则的子集有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系确定子集，即可得的子集个数. 【详解】解：∵集合，∴的子集有：. 则的子集有4个. 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，则有，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：B. 3. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可. 【详解】对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意； 对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意； 对于C，为偶函数，所以C不合题意； 对于D，由于为非奇非偶函数，所以D不合题意， 故选：B. 4. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由包含关系判断即可. 【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 6. 已知函数，则（ ） A. 是单调递增函数 B. 是偶函数 C. 函数的最小值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ACD，只需要利用作差法判断的单调性即可解，对于B，由定义域不关于原点对称即可排除. 【详解】对于ACD，不妨设， 则， 因为，所以，， 所以，即，故在上单调递减， 所以，，故AD错误，C正确； 对于B，因为，即的定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故B错误. 故选：C. 7. 当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式及一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号， 故，即A正确； 故选：A 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 二、多选题 9. 关于的不等式的解集，下列说法正确的是（ ） A. 时，解集为 B. 时，解集为 C. 时，解集为 D. 时，原不等式在时恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法判断ABC；利用二次函数的性质判断D. 【详解】时，不等式为，即，解得，解集为，故A错误； 不等式可化为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 故B正确，C错误； 令，对称轴为， 当时，， 又时，， 所以，即不等式在时恒成立，故D正确． 故选：BD． 10. 若，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. a3+b3a2b+b2a C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质及对勾函数单调性分别检验各选项即可判断． 【详解】对A：当a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时取等号，A正确； 对B：a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，故a3+b3≥a2b+b2a，B正确； 对C：，故，C错误； 对D：令，又在上单调递增， 且当时，，故，D正确． 下证在上单调递增： 在上任取，则， 因为，故，故，即， 故在上单调递增. 故选：ABD． 11. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即，所以， 所以，函数为上减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12. 命题“”的否定为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知， 命题“”的否定为， 故答案为: . 13. 已知关于不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，解得或， 当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去； 当时，不等式为，解集为空集，满足要求， 当时，要想不等式解集为空集，则， 解得， 综上，实数的取值范围是 故答案为： 14. 已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为________；（2）若，则的最大值为________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 四、解答题 15. 若集合A＝{x|2x﹣1⩾3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}． （1）求A∩C； （2）若A∪B＝R，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩C＝{2，3，4} （2）[4，+∞）． 【解析】 【分析】（1）先求出A与C，再根据集合的基本运算求解． （2）先求出集合B，再根据A∪B＝R，得到不等式求解． 【小问1详解】 ∵A＝{x|2x﹣1⩾3}＝{x|x⩾2}，C＝{x|x＜5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}， ∴A∩C＝{2，3，4}． 【小问2详解】 ∵B＝{x|3x﹣2＜m}＝ ， ∴， ∵A∪B＝R， ∴2，∴m≥4， ∴实数m取值范围为[4，+∞）． 16. 求最值： （1）已知，且满足，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，且满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【小问1详解】 因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； 【小问2详解】 因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 17. 已知二次函数． （1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式（其中）． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数定义域意义，转化为一元二次不等式在实数集上恒成立求解； （2）分类求解含参的一元二次不等式. 【小问1详解】 由函数的定义域为，得在上恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 不等式化为， 即， 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，不等式无解， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图像的对称中心； （2）请利用函数的对称性求的值． （3）已知函数在是单调函数，若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）设函数图像的对称中心为，设，则为奇函数，由奇函数的定义可得，代入解析式计算可得对称中心； （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，利用所得规律即可求值． （3）由在上单调递增，可得出函数的值域，列出方程组，转化为方程有解问题，利用根与系数的关系可得实数的取值范围． 【详解】（1）设函数图像的对称中心为， 设，则为奇函数，依题可知 且，故， 即， 即. 整理得， 故解得 所以函数图像的对称中心为. （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，所以且，所以. （3）在上单调递增， 在区间上的值域为， 则，化简得 即方程有两个大于的不等实根， 令，则，有两个不等实根， ，解得 【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，考查归纳推理和类比推理，考查函数方程有解问题，函数的对称性可按如下规律转化： 1.满足的函数的图象关于直线对称； 2.满足的函数的图象关于直线对称； 3.满足的函数的图象关于点对称； 4.满足的函数的图象关于点对称； 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若、，都有，则称为区间上的下凸函数．例如，函数在上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的、、、，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）． （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设、、、，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）是，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由下凸函数的定义可得出，结合琴生不等式可求得的最大值； （2）判断：是下凸函数，任取、，作差，并判断差值的符号，结合下凸函数的定义即可得出结论； （3）先证明出函数为下凸函数，再结合琴生不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由在上为下凸函数，得， 因此，当且仅当时取等号，则，即， 当且仅当时取等号，所以的最大值是． 【小问2详解】 判断：是下凸函数， 函数的定义域为，设、， 则 ， 当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数下是凸函数. 【小问3详解】 令， 设、，则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 因此 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$