第二十四章　圆 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十四章　圆 单元测试 一、选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A.70° B.50° C.40° D.20° 2.如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 3.如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （　　） A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A.点D B.点E C.点F D.点G 5.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（　　） A. B.5m C. D.6m 6.⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A.d＞5 B.d＜5 C.d＝5 D.d＝10 7.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA＝8，点B在x轴上，OB＝6．点M是平面内的一点，AM＝6．将线段AM绕点A按顺时针方向旋转一周，连接BM．取BM的中点N，连接ON，则线段ON长的最大值为（　　） A.2 B.12 C. D.8 8.如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．则∠OCD的度数为（　　） A.110° B.115° C.120° D.125° 10.如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 11.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 12.如图，正方形的对角线刚好与正六边形最长的对角线重合，则∠α＝（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 二、填空题 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，∠ACD＝30°，连接对角线BD，则∠CBD的度数是 　     　． 14.75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为　    　． 15.如图，点M（2，0）、N（0，4），以点M为圆心为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最大值为 　     　． 16.如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的周长为 　          　． 17.如图，已知正方形ABCD的边长为4，一个半径为1的圆的圆心落在点A处，若此圆从点A出发沿着正方形的边AB滑动，当圆心第一次到达点B时，滑动停止，滑动过程中被该圆覆盖的面积是 　     　（结果保留π） 三、解答题 18.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上． 19.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE． （1）求证：BC∥OE； （2）若⊙O的半径为5，∠A＝30°，求BC的长． 20.如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 21.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72km/h,居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（不考虑火车的长度，结果保留小数点后一位）？ 22.如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取一点C，CD与⊙O相切于点D，AE∥CD交⊙O于点E，且∠BAE＝30°，连接DE． （1）求证：四边形ACDE为平行四边形； （2）已知F为的中点，连接EF．若，求EF的长． 人教版九年级上册 第二十四章　圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A.70° B.50° C.40° D.20° 【答案】B 【解析】方法一：连接OC， ∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠COE＝90°， ∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝20°， ∴∠BAC＝∠CDB＝20°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝20°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE＝40°， 则∠E＝50°． 故选：B． 方法二：连接OC， ∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠COE＝90°， ∵∠CDB＝20°， ∴∠CAB＝∠CDB＝20°， ∴∠COE＝2∠CAB＝40°， ∴∠E＝∠OCE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°． 故选：B． 2.如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】解：如图 ∵∠AOE=40°，∠AOE=∠DOC， ∴∠DOC=40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB=∠DOC=40°， 故选：B． 3.如图，⊙O的半径为3，点A为⊙O上一点，连接OA，以OA为一条直角边Rt△OAB，使∠AOB＝90°，OB＝4，AB交⊙O于点C，则BC的长为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：过点O作OH⊥AB于H， 则AH＝HC， 在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4， 则AB＝＝＝5， ∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OH， ∴OH＝＝， ∴AH＝＝， ∴AC＝2AH＝， ∴BC＝AB﹣AC＝， 故选：A． 4.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】B 【解析】解：如图，连接OA，根据网格看作出线段OA，AB的中垂线，两条中垂线相交于点E，点E即为圆心． 故选：B． 5.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（　　） A. B.5m C. D.6m 【答案】B 【解析】解：设⊙O的半径是r米， ∵CD⊥AB， ∴AD＝AB＝4（米）， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， ∴r＝5， ∴⊙O的半径OA是5米． 故选：B． 6.⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（　　） A.d＞5 B.d＜5 C.d＝5 D.d＝10 【答案】B 【解析】解：∵⊙O的直径为10 ∴⊙O的半径为5， ∵直线l与⊙O相交， ∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：B． 7.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA＝8，点B在x轴上，OB＝6．点M是平面内的一点，AM＝6．将线段AM绕点A按顺时针方向旋转一周，连接BM．取BM的中点N，连接ON，则线段ON长的最大值为（　　） A.2 B.12 C. D.8 【答案】D 【解析】解：取AB的中点P，连接PO，PN， ∵OA＝8，OB＝6．∠AOB＝90°， ∴AB＝10， ∴OP＝AB＝×10＝5， ∵P是AB中点，N是BM中点， ∴PN是△ABM的中位线， ∴PN＝AM＝×6＝3， ∵OP﹣PN≤ON≤OP+ON， ∴5﹣3≤ON≤5+3， ∴2≤CN≤8． ∴线段ON长的最大值为8． 故选：D． 8.如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 9.如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．则∠OCD的度数为（　　） A.110° B.115° C.120° D.125° 【答案】C 【解析】解：∵AM是切线， ∴OA⊥AM， ∴∠OAM＝90°， 又∵BD⊥AM， ∴∠BDM＝90°， ∴∠OAM＝∠BDM， ∴AO∥BD， ∴∠AOC＝∠BCO， ∵OC是∠AOB平分线， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠BOC＝∠BCO， 又∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠OCB＝60°， 则∠OCD＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 10.如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，若∠C=50°，则∠PBA等于（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】A 【解析】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠C=50°， ∴∠AOB=2∠C=100°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA==40°， ∴∠PBA=90°-40°=50°． 故选：A． 11.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D. 【答案】A 【解析】解：如图，连接BI， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°， ∴∠D＝∠C＝60°， ∵点I为等边△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°， ∴AD是△ABC外接圆的直径， ∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°， ∴△DBI是等边三角形， ∴DI＝BI， ∵∠IAB＝∠IBA， ∴AI＝BI， ∴DI＝AI＝AD＝2， ∴BD＝DI＝2， ∴线段DB的长为2， 故选：A． 12.如图，正方形的对角线刚好与正六边形最长的对角线重合，则∠α＝（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】B 【解析】解：由题可得：∠OCD＝90°，∠CDO＝∠COD＝45°， ∴∠AOB＝∠COD＝45°， ∵正六边形的内角为120°， ∴∠OAB＝120°， ∴∠α＝180°﹣120°﹣45°＝15°， 故选：B． 二、填空题 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，∠ACD＝30°，连接对角线BD，则∠CBD的度数是 　     　． 【答案】60° 【解析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°， 由圆周角定理得：∠CBD＝∠DAC＝60°， 故答案为：60°． 14.75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为　    　． 【答案】6 【解析】设扇形的半径为r． 则有＝π， 解得r＝6． 15.如图，点M（2，0）、N（0，4），以点M为圆心为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最大值为 　     　． 【答案】 【解析】解：如图，连接MN，取MN的中点J，连接MC，JD，OJ，OD，MA，MB． ∵点M（2，0）、N（0，4）， ∴OM＝2，ON＝4， ∴MN＝＝2， ∵MJ＝JN， ∴OJ＝MN＝， ∵MJ＝JN，CD＝DN， ∴JD＝MC＝， ∵MA＝MB＝，OM＝2，OM⊥AB， ∴OA＝OB＝＝＝1， ∴A（0，1），B（0，﹣1）， ∴点D的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆， 设D（m，n），则AD2+BD2＝（n﹣1）2+m2+（n+1）2+m2＝2（m2+n2）+2， ∵OD2＝m2+n2， ∴OD最大时，m2+n2的值最大， ∵OD≤OJ+JD， ∴OD≤， ∴m2+n2的最大值为， ∴AD2+BD2的最大值为2×+2＝， 故答案为：． 16.如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的周长为 　          　． 【答案】2+π 【解析】解：连接OD， ∵在正方形OCDE中，OD是对角线 ∴∠BOD=∠EDO=45°，OE=DE=2， ∴BE+DE=BE+OE=OB ∵OB=OD ∴BE+DE=OD ∵在Rt△ODE中，OE=DE=2，由勾股定得，得 OD＝2， ∴BE+DE=2， 的长=＝π， 故阴影部分的周长为=BE+DE+（2024•阿城区三模）的长=2+π． 故答案为：2+π． 17.如图，已知正方形ABCD的边长为4，一个半径为1的圆的圆心落在点A处，若此圆从点A出发沿着正方形的边AB滑动，当圆心第一次到达点B时，滑动停止，滑动过程中被该圆覆盖的面积是 　     　（结果保留π） 【答案】8+π 【解析】解：∵滑动过程中被该圆覆盖的面积＝长是4，宽是2的长方形的面积+圆的面积， ∴滑动过程中被该圆覆盖的面积＝4×2+π×12＝8+π． 故答案为：8+π． 三、解答题 18.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：连接ME、MD， ∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点， ∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC， ∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上． 【解析】 19.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径作⊙O交BC于点F，并且⊙O与AC相切于点E，连接OE． （1）求证：BC∥OE； （2）若⊙O的半径为5，∠A＝30°，求BC的长． 【答案】（1）证明：∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴BC∥OE； （2）解：在Rt△AOE中，∠A＝30°，OE＝5， ∴OA＝2OE＝10， ∴AB＝OA+OB＝10+5＝15， 在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴BC＝AB＝7.5． 【解析】 20.如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长． 【答案】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON， 则∠OMB＝∠ONB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵ON＝OM， ∴四边形MBNO是正方形， ∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3， 由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN， ∴△BEF的周长为BF+EF+BE＝BF+PF+PE+BE ＝BF+FN+EM+BE＝BN+BM＝3+3＝6． 【解析】 21.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m,如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72km/h,居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（不考虑火车的长度，结果保留小数点后一位）？ 【答案】解：过点A作AB⊥MN， 影响居民楼的范围是以点A为圆心，以AO长为半径的圆直线NM相交得到弦OD的长.而线段AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方， ∵AB⊥OD于B，∠QON=30°， ∴AO=2AB ∵AO=200m, ∴AB=200×=100(m)＜200m, ∴居民楼会受到噪音的影响； ∵在Rt△AOB中，OB===100 (m), ∴OD=2BO=200m, ∵火车行驶的速度为72km/h=20m/s, ∴200÷20≈17.3(s) 答：居民楼受噪音影响的时间为17.3秒． 【解析】 22.如图，AB为⊙O的直径，在BA的延长线上取一点C，CD与⊙O相切于点D，AE∥CD交⊙O于点E，且∠BAE＝30°，连接DE． （1）求证：四边形ACDE为平行四边形； （2）已知F为的中点，连接EF．若，求EF的长． 【答案】（1）证明：连接OD，如图1， ∵CD与⊙O相切于点D，∠CDO＝90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠CDO． ∵∠BAE＝30°， ∴BE＝AB， ∴BE＝OD． ∵AE∥CD， ∴∠BAE＝∠C， ∴△OCD≌△BAE（AAS）， ∴CD＝AE， ∴四边形ACDE为平行四边形； （2）解：连接OF，BF，过点B作BH⊥EF于点H，如图2， 由（1）知AE＝CD＝2． ∵∠BAE＝30°， ∴BE＝2，AB＝4， ∴OB＝OF＝AB＝2． ∵F为的中点， ∴∠BOF＝90°， ∴BF＝2． ∵∠BEF＝∠BOF＝45°， ∴BH＝EH＝，FH＝， ∴EF＝EH+FH＝+． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$