第二十二章　二次函数 单元测试　2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教版（2024）九年级上册 第二十二章　二次函数 单元测试 一、选择题 1.下列函数中，不是二次函数的是（　　） A.y=1-2x2 B.y=2（x-1）2+3 C.y＝ (x+4)(x−3) D.y=（x-3）2-x2 2.二次函数y=x2+1的对称轴是（　　） A.y轴 B.x轴 C.直线x=1 D.直线y=1 3.下列抛物线中，对称轴为直线的是（　　） A. B. C. D. 4.已知b＜0，则二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5.设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（　　） A.若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B.若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C.若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D.若ab＞0，且a+b＞0，则m＞6 6.若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A.（﹣3，0）、（1，0） B.（﹣2，0）、（2，0） C.（﹣1，0）、（1，0） D.（﹣1，0）、（3，0） 7.如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　） A. B. C. D.4m 8.一个容器内盛满纯酒精50 kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精y kg，设每次倒出的x kg，则y与x之间的函数关系式为（　　） A.y=50（50-x） B.y＝ C.y=（50-x）2 D.y＝50(1-)2 9.已知二次函数y=x2-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2，下列结论中： ①d没有最大值； ②d没有最小值； ③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大； ④满足d=5的点P有四个． ⑤其中正确结论的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A.0＜x＜2 B.0＜x＜3 C.2＜x＜3 D.x＜0或x＞3 11.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5 D.x＜-1或x＞5 12.某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48，则该景点一年中处于关闭状态有（　　）月． A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 13.二次函数y＝x2+4x+4的顶点坐标为 　      　． 14.已知关于x的二次函数y=ax2-6ax+9a+5（a＜0），该函数的最大值为             ． 15.某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 　    　米． 16.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．则小明此次试投的成绩（线段CO的长度）是 　          　米． 17.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=_________． 三、解答题 18.已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3． （1）该抛物线开口向 　   　，对称轴是 　   　，顶点坐标是 　   　． （2）在直角坐标系中画出的图象． （2）①列表： ②描点、连线： 19.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0），（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，求m的值； （3）在由（2）平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，求n的值． 20.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？ 21.如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m，在高度为10m的两支柱AC和BD之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m； （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱EF的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3.2m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 22.已知函数y=4x2，y=4（x+1）2和y=4（x-1）2． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； （3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4（x+1）2和函数y=4（x-1）2的图象； （4）分别说出各个函数的性质． 人教版（2024）九年级上册 第二十二章　二次函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列函数中，不是二次函数的是（　　） A.y=1-2x2 B.y=2（x-1）2+3 C.y＝ (x+4)(x−3) D.y=（x-3）2-x2 【答案】D 【解析】解：A、y=1-2x2，是二次函数，故A不符合题意； B、y=2（x-1）2+3，是二次函数，故B不符合题意； C、y=（x+4）（x-3）=（x2+x-12）=x2+x-6，是二次函数，故C不符合题意； D、y=（x-3）2-x2=-6x+9，是一次函数，故D符合题意； 故选：D． 2.二次函数y=x2+1的对称轴是（　　） A.y轴 B.x轴 C.直线x=1 D.直线y=1 【答案】A 【解析】解：由题意得：抛物线y=x2+1的对称轴是：直线x＝0， 即对称轴是y轴， 故选：A． 3.下列抛物线中，对称轴为直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵抛物线y＝（x﹣）2的对称轴为直线x＝； ∴选项A符合题意； ∵抛物线y＝x2的对称轴为y轴；、 ∴选项B不符合题意； ∵抛物线y＝x2+的对称轴为y轴； ∴选项C不符合题意； ∵抛物线y＝（x+）2﹣3， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 4.已知b＜0，则二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：当a＞0时， ∵b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的开口向上，顶点在y轴的右侧，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 当a＜0时， ∵b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的开口向下，顶点在y轴的左侧，故选项B不符合题意，选项D不符合题意； 故选：C． 5.设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（　　） A.若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B.若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C.若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D.若ab＞0，且a+b＞0，则m＞6 【答案】D 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）， ∴代入变形可得：y1＝﹣4m+1，y2＝﹣5m+4，y3＝﹣6m+9，y4＝﹣7m+16， ∵y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b， ∴a＝2m﹣8，b＝2m﹣12， A、若ab＜0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0①，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0②， 由①得4＜m＜6，由②得m＜5， ∴4＜m＜5， 故A不符合题意； B、若ab＜0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0③，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0④， 由③得4＜m＜6，由④得m＞5， ∴5＜m＜6， 故B不符合题意； C、若ab＞0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑤，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0⑥， 由⑤得m＜4或m＞6，由⑥得m＜5， ∴m＜4， 故C不符合题意； D、若ab＞0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑦，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0⑧， 由⑦得m＜4或m＞6，由⑧得m＞5， ∴m＞6， 故D符合题意， 故选：D． 6.若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A.（﹣3，0）、（1，0） B.（﹣2，0）、（2，0） C.（﹣1，0）、（1，0） D.（﹣1，0）、（3，0） 【答案】A 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 7.如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8m，公司想在大门两侧距地面5m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（　　） A. B. C. D.4m 【答案】A 【解析】解：以地面所在直线为x轴，过大门最高点垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴抛物线的顶点坐标为（0，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+8， 又知抛物线过（4，0）， ∴0＝16a+8， 解得：a＝﹣， ∴y＝﹣x2+8， 把y＝5代入y＝﹣x2+8， 解得：x＝±， 故两壁灯之间水平距离为2． 故选：A． 8.一个容器内盛满纯酒精50 kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精y kg，设每次倒出的x kg，则y与x之间的函数关系式为（　　） A.y=50（50-x） B.y＝ C.y=（50-x）2 D.y＝50(1-)2 【答案】D 【解析】加水后酒精浓度=，第二次倒出后容器内剩余的质量为（50-x）kg， 故剩余的酒精y=（50-x）×=50（1-）2． 9.已知二次函数y=x2-2x-3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2，下列结论中： ①d没有最大值； ②d没有最小值； ③-1＜x＜3时，d随x的增大而增大； ④满足d=5的点P有四个． ⑤其中正确结论的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】令二次函数y=x2-2x-3中y=0，即x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3． （i）当x≤-1时，d1=x2-2x-3，d2=-x，d=d1+d2=x2-3x-3=(x-)2-，d≥1； （ii）当-1＜x≤0时，d1=-x2+2x+3，d2=-x，d=-x2+x+3=-(x-)2+，1＜x≤3； （iii）当0＜x≤3时，d1=-x2+2x+3，d2=x，d=-x2+3x+3=-(x-)2+，3≤x≤； （iv）当3＜x时，d1=x2-2x-3，d2=x，d=d1+d2=x2-x-3=(x-)2-，3＜d． 综上可知：d有最小值，没有最大值，即①成立，②不成立； 当0＜x≤时，d随x的增大而增大，＜x≤3时，d随x的增大而减小， ∴-1＜x＜3时，d随x的增大而增大，此结论不成立； 令d=5，（i）中存在一个解；（ii）中无解；（iii）中有两个解；（iv）中一个解． ∴满足d=5的点P有四个，该结论成立． ∴正确的结论有2个． 10.如图，已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A.0＜x＜2 B.0＜x＜3 C.2＜x＜3 D.x＜0或x＞3 【答案】B 【解析】如题图所示，若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是0＜x＜3． 11.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　） A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5 D.x＜-1或x＞5 【答案】A 【解析】由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）， 所以不等式ax2+bx+c＞0的解集是-1＜x＜5． 12.某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48，则该景点一年中处于关闭状态有（　　）月． A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】由W=-x2+16x-48，令W=0，则x2-16x+48=0，解得x=12或4， ∴不等式-x2+16x-48＞0的解为4＜x＜12， ∴该景点一年中处于关闭状态有5个月． 二、填空题 13.二次函数y＝x2+4x+4的顶点坐标为 　      　． 【答案】（﹣2，0） 【解析】解：∵y＝x2+4x+4＝（x+2）2， ∴顶点坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 14.已知关于x的二次函数y=ax2-6ax+9a+5（a＜0），该函数的最大值为             ． 【答案】5 【解析】解：∵a＜0， ∴抛物线y=ax2-6ax+9a+5开口向下， ∵y=ax2-6ax+9a+5=a（x-3）2+5， ∴当x=3时，函数有最大值为5， 故答案为：5． 15.某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 　    　米． 【答案】4 【解析】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，抛物线顶点D的坐标为（4.5，4.8）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4.5）2+4.8， ∵AD＝0.75， ∴D（0，0.75） ∴将点D代入抛物线解析式得，0.75＝4.52a+4.8， 解得a＝﹣0.2， ∴抛物线对应的函数的表达式为y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+4.8， 将x＝7.5代入y＝﹣0.2（x﹣4.5）2+4.8中，得y＝3， ∴点M坐标为（7.5，3）， ∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0）， 将点M（7.5，3）代入y＝kx得，7.5k＝3， ∴k＝0.4， ∴直线OM的解析式为y＝0.4x， 设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F， ∵设点E的坐标为（m，﹣0.2（m﹣4.5）2+4.8），则F（m，0.4m）， ∴EF＝﹣0.2（m﹣4.5）2+4.8﹣0.4m＝﹣0.2m2+1.4m+0.75＝﹣0.2（m﹣3.5）2+3.2， ∵师傅能刷到的最大垂直高度是2.4m， ∴当EF＝2.4时，即﹣0.2（m﹣3.5）2+3.2＝2.4， 解得m1＝1.5，m2＝5.5， ∵5.5﹣1.5＝4（m）， ∴工人师傅刷不到的最大水平宽度为4m， 故答案为：4． 16.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．则小明此次试投的成绩（线段CO的长度）是 　          　米． 【答案】（） 【解析】解：根据图中信息可设抛物线表达式为y＝a（x﹣4）2+3， 由抛物线过点A（0，2）， 得2＝a（0﹣4）2+3， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令y＝0，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为：（）． 17.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=_________． 【答案】1.6 【解析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h， 则小球的高度y=a（t-1.1）2+h， 由题意a（t-1.1）2+h=a（t-1-1.1）2+h，解得t=1.6． 故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同． 三、解答题 18.已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3． （1）该抛物线开口向 　   　，对称轴是 　   　，顶点坐标是 　   　． （2）在直角坐标系中画出的图象． （2）①列表： ②描点、连线： 【答案】解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，x＝2，（2，3）； （2）①列表： 故答案为：0；1；2；3；4；﹣1；2；3；2；﹣1； ②描点、连线： 【解析】 19.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0），（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位，图象经过点，求m的值； （3）在由（2）平移后的图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，求n的值． 【答案】解：（1）由题意，∵二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴可设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4． 又过（3，0）， ∴0＝4a﹣4． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4． （2）由题意，结合（1），将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位得， y＝（x﹣1﹣m）2﹣4． 又过点， ∴﹣＝m2﹣4． ∴m＝或m＝﹣（舍去）． ∴m＝． （3）由（2）得平移后的函数为y＝（x﹣）2﹣4． ∴对称轴是直线x＝，当x＜，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大，当x＝时，y取最小值为﹣4． ∵当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3， ∴①当n+1＜时，即n＜， ∴当x＝n+1时，y取最小值为y＝（n+1﹣）2﹣4＝﹣3． ∴n＝﹣或n＝（舍去）． ∴n＝﹣． ②当n﹣2＞时，即n＞， ∴当x＝n﹣2时，y取最小值为y＝（n﹣2﹣）2﹣4＝﹣3． ∴n＝或n＝（舍去）． ∴n＝． 综上，n＝﹣或n＝． 【解析】 20.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】解：设最大利润为w元， 则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225， ∵-1＜0，0＜x＜100， ∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 【解析】 21.如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m，在高度为10m的两支柱AC和BD之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m； （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱EF的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3.2m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】解：（1）根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx， ∵相邻两支柱间的距离均为5m， ∴AB＝4×5＝20（m）， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，代入得： ， ∴， ∴． （2）当x＝15时，， ∴． ∴． （3）由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到A或B的距离为9米，三辆车并排宽共6米，因此只需考虑当x＝3时，y的值与3.2的大小即可判定， 当x＝3时，， ∴不能并排行驶宽2m、高3.2m的三辆汽车． 【解析】 22.已知函数y=4x2，y=4（x+1）2和y=4（x-1）2． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； （3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4（x+1）2和函数y=4（x-1）2的图象； （4）分别说出各个函数的性质． 【答案】解：（1）如图所示： （2）y=4x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， y=4（x+1）2开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0）， y=4（x-1）2开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）； （3）y=4（x+1）2由抛物线y=4x2向左平移1个单位， y=4（x-1）2由抛物线y=4x2向右平移1个单位． （4）y=4x2当x＜0时y随着x的增大而减小，当x＞0时y随着x的增大而增大； y=4（x+1）2当x＜-1时y随着x的增大而减小，当x＞-1时y随着x的增大而增大； y=4（x-2）2当x＜1时y随着x的增大而减小，当x＞1时y随着x的增大而增大． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$