24.1.2 垂直于弦的直径 （课件）　-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 复习旧知 探究新知 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 探究新知 如何证明圆是轴对称图形？ 只需证明圆上任意一点关于直径所在 直线（对称轴）的对称点也在圆上. 证明： 设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D以外 的任意一点. C D A A' M 过点A作AA'⊥CD，交于⊙O点A'，垂足为M. 连接OA，OA'. ∵OA＝OA' ∴△OAA'是等腰三角形 又∵AA'⊥CD ∴AM＝MA' ,即CD是AA'的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于 直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线点CD对称. 探究新知 如图，设直径CD与弦AA'垂直于点M，在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？ 如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M， 那么点A和点A'是对称点. 把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合， AM与A'M重合， 、 分别与 、 重合. 即直径CD平分弦AA' 、 ，并且平分 . 获得新知 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 ∵CD是⊙O的直径 CD⊥AA' ∴AM＝A'M ＝ ＝ 文字语言 图形语言 符号语言 理解定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 一条直线若满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 条件 结论 推出 1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径. 例题讲解 变式1：如图，OA＝5cm，OE＝3cm，求AB. E 变式2：如图，AB＝8cm，OA＝4cm，求OE. 2、如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，CE＝2cm,AB＝8cm， 求⊙O的半径. 例题讲解 3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB交小圆 于C、D.求证：AC＝BD. 例题讲解 思路1：连接OA、OB、OC、OD 证明△OAC≌△OBD. （证明△OAD≌△OBC） 3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB交小圆 于C、D.求证：AC＝BD. 例题讲解 思路2：连接OA、OB、OC、OD, 过点O作OE⊥AB于点E. 根据等腰三角形的性质. E 3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB交小圆 于C、D.求证：AC＝BD. 例题讲解 思路3：过点O作OE⊥AB于点E. 根据垂径定理. E 例题讲解 4、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主拱桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 分析： 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图 画出几何图形. 例题讲解 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O， 半径为R. 经过圆心为O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点， CD就是拱高. 依题意得：AB＝37，CD＝7.23. ∵OC⊥AB ∴AD＝ AB＝18.5 ∴OD＝OC－CD＝R－7.23 ∵在Rt△OAD中，∠ODA＝90° ∴AD2＋OD2＝OA2，即18.52＋(R－7.23)2＝R2 解得：R≈27.3 答：赵州桥的主桥拱的半径约为27.3m. 课堂小结 实际问题 数学问题 画出图形 用数学语言描述已知和未知 运 用 相 关 知 识 数学问题的解 检验 实际问题的答案 运用相关知识求得数学问题的解 思路：（由）垂径定理——构造直角三角形——（结合）勾股定理——建立方程. 课堂小结 思考1：在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？ 归纳1：在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要从圆心作一条与 弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形. 课堂小结 思考2：如果我们设圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，你能找到它们三者之间的关系吗？ 归纳2：圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a之间 的关系式为： 探究推论 已知：如图，CD是⊙O的直径，CD与弦AA'相交于 点M，且AM＝A'M. 求证：CD⊥AA'， ， . ＝ ＝ 获得推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论 ∵CD是⊙O的直径 AM＝A'M ∴CD⊥AA' ＝ ＝ 文字语言 图形语言 符号语言 理解推论 判断： （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.( ) （2）平分弦的直径垂直于弦.( ) （3）平分一条直径的弦必垂直于这条直径.( ) 例题讲解 5、如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E， 并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径. 例题讲解 6、已知：如图，在⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、AC， 交AB、AC于点D、G，交 、 于点E、F，并且弦EF分别 交AB、AC于点M、N.求证：△AMN是等腰三角形. ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 拓展延伸 垂径定理： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论： 拓展： ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ？ ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 拓展延伸 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧. ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧. ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦， 并且平分弦所对的另一条弧. ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦. 知二推三 $$