24.1.2 垂直于弦的直径 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册　

24.1.2 垂直于弦的直径 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥 问题情境 探究1： 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 过圆心的直线都是它的对称轴．　 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 总 结 归 纳 探究2：如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．图中有那些相等的线段和弧？ 由什么条件，得到什么结论？ 如果圆的一条直径垂直一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 解：AE=BE CD是直径 CD⊥AB AE＝BE AC＝BC AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C A E B D O 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵CD是直径， CD⊥AB 垂径定理的几何语言： ∴AE＝BE， C A E B D O 典型习题 1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm， OE=6 cm，则AB=______cm． 2 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长． 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 探究3：如果把垂径定理的结论与题设交换一条，还是真命题吗？ C A E B D O ∵ ∴ CD是直径， CD⊥AB AE＝BE， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的几何语言： 探究3：垂径定理的结论与题设还可以怎么交换？ C A E B D O ∵ ∴ CD是直径， CD⊥AB AE＝BE， 上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论 ——知二得三。 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ A C B D O 37 7.2 18.5 R R-7.2 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R米 则R2=18.52+(R-7.2)2 R≈27.3 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 随堂演练 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC C 10 6 ⌒ ⌒ 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 . 4.如图，在⊙O中，半径为2cm，弦AB的长也为2cm.求： (1)∠AOB的度数； (2)点O到AB的距离. 5.如图是一个隧道的横截面。如果M是⊙O中弦CD的点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=8m,EM=7m.求⊙O的半径. 6.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 7.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 综合应用 解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E. ∵AB∥CD. ∴OE⊥AB. 连接OB、OD. ∴EM＝OM-OE＝7cm. 第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时， 如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm， ∴EM=OM+OE=17cm. 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm. 小 结 ２、垂径定理及其推论的图式 直径垂直于弦=>　　直径平分弦 直径平分弦所对的弧 　　　　　　　　　　　直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径） 　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧 　　　　　　　 常见辅助线 同学们，再见！ $$