24.1.2 垂直于弦的直径 　课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂 直 于 弦 的 直 径 C A B O 温故 你能说出圆的哪些相关的概念？ 情境导入 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位） 情境导入 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 根据对折，你发现圆是什么图形？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 活动一 新课探究 活动二：动手探究 将圆形纸片记为⊙O，在纸片上作图 （2）画直径CD，使CD⊥AB，垂足为E (1)画⊙O的一条弦AB O A C D B E 折一折，看一看：你发现图中有哪些互相重合的线段和弧？ 线段: 弧: AE=BE 你能证明你的发现吗？ O A C D B E 已知：⊙O的直径CD， CD⊥AB，垂足为E AB是⊙O的一条弦， 求证：AE=BE 得到AE=BE 用HL证明Rt△AOE≌Rt△BOE 解题思路：连接AO,BO 解题思路：连接AO,BO 得到AE=BE 用AAS证明△AOE≌△BOE 解题思路：连接AO,BO 得到AE=BE 等腰△AOB三线合一的性质 点A和点B关于CD对称 AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⊙O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合 AC 与BC重合， AD 与BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 几何语言： 归纳定理 CD⊥AB 证明线段相等，弧相等的重要依据 O A C D B E A C B E A D B E A B E O O O D C C D 观察，总结垂径定理模型具有特征： ______________，________________ 垂直于弦 直径 半径 经过圆心的线 归纳 垂径定理模型 A C D B E O 1.如图,在⊙O中， 课堂练习 直径CD⊥AB于E, 弦AB＝6, OE＝4, 则圆的半径长为 圆的半径长为5， 则AB＝ 则CE= AB＝12， OC⊥AB于E, OE＝8, AB＝10, 则圆的半径长为 CE=1, A C B E O 解题思路： 垂径定理 构造直角三角形 勾股定理计算（方程思想） 垂径定理模型常作辅助线： 连半径 作用： 计算半径（直径）、弦长，圆心到弦的距离等 归纳方法 C D B E O A 证明线段相等，弧相等的重要依据 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径， CD⊥AB， AE=BE, ? 活动三 新知再探 活动三 · O A B C D E 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. 求证：CD⊥AB， ， 垂径定理的推论： 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵CD是直径 ∴CD⊥AB AE=BE AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 几何语言： · O A B C D E 为什么“不是直径？” 归纳定理 （不是直径） · C D A B O ① CD是直径 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的劣弧 ⑤ 平分弦所对的优弧 · O A B C D E 总结与归纳 小结 任取两个条件 其他三个结论 （知二推三） ? 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（结果保留小数点后一位） 学以致用 A B C D O 小结 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 学以致用 A B C D O 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O 作OC⊥AB 交圆O于点C，D为垂足，根据垂径定理，D 是 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． 由题意，得AB＝37m，CD=7.23m 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 课后练习 课堂小结 返回引例 回忆本节课，你学习了圆的哪些数学知识？ 课后练习 1.如图1，已知⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径长为13,AB=24,则OC=____. · O A B C 2.如图2，在⊙O中，CD⊥AB于点C，AB=6,CD=9，则OD=____. A C B D O 3.如图,⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为点M,OM:OC=3: 5，则AB的长为( ) A. 8 B.12 C. 16 D. A B O C D M 图1 图2 图3 4. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知M是⊙O的弦CD的中点，EM过圆心O交O于点E，CD＝10米，EM＝25米，求⊙O的半径。 C D O E M $$