24.1.2 垂直于弦的直径(2)（课件）--2025—2026学年人教版九年级数学上册

义务教育教科书人教版初中数学九年级上册 第二十四章 圆 24.1.2垂直于弦的直径（2） 教学目标 教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用. 教学重点：垂径定理推论及应用. 教学难点：垂径定理推论的探究. 连接圆上任意两点的线段叫做弦， 经过圆心的弦叫做直径．如图，⊙O中，AB、AC是弦，AB是直径. 复习引入 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 复习引入 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径， CD⊥AB于点E， ∴AE=BE， 　　　　　， 　　　　　． 复习引入 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径， CD⊥AB于点E， ∴AE=BE， 　　　　　， 　　　　　． 复习引入 ①过圆心, ②垂直于弦, 则可以推出 ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ① ② ③ ④ ⑤ ① ③ ② ④ ⑤ √ ？ ①过圆心, ②垂直于弦, ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. 复习引入 垂径定理相当于已知①②推出③④⑤.那在这五个条件中改变两个条件是否能推出其它三个结论呢 猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧. 画图：题设 结论 探究新知 探究新知 我们不妨按照被平分的弦AB是不是直径来分分类。 一、 二、 猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径 的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分 这条弦所对的两条弧. 已知：如图，CD是⊙O的直径， CD平分弦AB于点E． 求证： CD⊥AB于点E， 　　　　　， 　　　　　． 探究新知 证明：连接OA，OB. 在△ OAB中， ∵OA=OB， ∴ △ OAB是等腰三角形． ∵ CD平分弦AB于点E， ∴OE⊥AB于点E ， 即CD⊥AB于点E. ∴ , . 探究新知 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径， CD平分AB于点E ， ∴CD⊥AB于点E ， ， 探究新知 例1 如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm，EM=6cm， 求⊙O的半径． 解：连接OC．设OC= r，则OM =6- r， ∵ EM经过圆心O ， M是CD的中点，CD=4， ∴OM⊥CD， 2 例题学习 在Rt△OCM中，由勾股定理，得 解得 r= . 即 因此，⊙O的半径为 cm. 2 例题学习 猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧． CD平分AB 拓展学习 ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ① ② ③ ④ ⑤ ① ③ ② ④ ⑤ √ √ ①⑤ ② ③ ④ √ … 思考：一共有多少种组合呢？ 这里的弦 不是直径 拓展学习 拓展学习 ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. 思考：为什么在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论呢？ 拓展学习 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径， CD平分AB于点E ， ∴CD⊥AB于点E ， ， 课堂小结 1.如图，在⊙O中，若弦AB的长为8，半径　 O C平分弦AB，交AB于点D ， CD=2， 求：⊙O的半径.（必做） 布置作业 2 . 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，OE平分弦BC ， AD⊥BC于D，则∠EAD与∠EAO相等吗？为什么？ （选做） $$