24.1.2 垂直于弦的直径 　课件　-2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章：圆 24.1.2 垂直于弦的直径 1.充分认识圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理及相关性质，并运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图. 3.学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力. 4.通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神. 教学目标 教学重难点 重点：垂直于弦的直径的性质及其应用. 难点：探索垂直于弦的直径的性质的过程. 教学过程 一、动手操作 问题1：同学们用手里面的纸和圆规剪一个圆，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 追问1：由上面的操作你能得到什么结论？ 追问2：你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 二、证明猜想 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称. O A A' D M C 三、垂径定理 从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点 因此，AM=A′M， 这样，我们就得到垂径定理： A′重合，AM与A′M重合， O A A' D M C 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E. O A B D E C 三、垂径定理 O A B D O A B D O A B D 四、垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. O A B D O A B D O A B D E C 定理应用格式： ∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径）， 且AE=BE. O A B D 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 五、典例学习 37m 7.23m 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是⌒AB的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m， OD=OC-CD=R-7.23 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 解得 R≈27.3(m) C A R O B D 六、课堂练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm. 求⊙O的半径. A B O E 解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA. ∴ AE=BE= AB= ×8=4(cm) 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 AE2+OE2=AO2 即 42+32=AO2 解得 AO=5cm 因此，⊙O的半径为5cm. 2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形. D B C A E O 证明：∵ AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC ∴ ∠A=∠ODA=∠OEA=90° ∴ 四边形ADOE是矩形 ∵ OD⊥AB，OE⊥AC ∴ AE=CE= AC，AD=BD= AB 又 AB=AC ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE是正方形. 1.本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？ 七、课堂小结 必做题： 教材83页练习第2题 选做题： 习题24.1第8，11题 八、课后作业 $$