24.1.2 垂直于弦的直径-垂径定理及推论　课件　2025—2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级(上)数学教学课件 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径-垂径定理及推论 【问题1】把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论? 圆是轴对称图形. O 任何一条直径所在直线(或经过圆心的直线)都是圆的对称轴. O 【问题2】圆有几条对称轴？ 【结论1】 【结论2】 【探究1】如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合； ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 或利用△AOE≌△BOE(HL)来证明. 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时, · O A B C D E 推导格式： ∵直径CD⊥AB(或OD⊥AB) ∴AE=BE, 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 条件： 结论： ②垂直于弦. ⑤平分弦所对的优弧. ①过圆心， ③平分弦， ④平分弦所对的劣弧， 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 不是 O A B C O A B C E O A B C D E 不是 是 定理中的两个条件缺一不可 ①过圆心(直径)； ②垂直于弦 归纳总结 垂径定理的几个基本图形： O A B C D E O A B C D O A B C O A B C E 1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. 2.如图所示,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C. D.OE=BE · O A B E 16 · O C D A B E D 【例1】如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm, 求半径OC的长. · O A B E C D 解：连接OA，∵直径CE⊥AB于D， ∴ 设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 1.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,则弦AB和CD之间的距离为__________. 2.一弓形弦长为 　cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为___________. 14cm或2cm O D C B A F E C D E 2cm或12cm O B A C D E 【探究1】交换②，③得到一个新命题,这个命题是真命题吗? 条件：①过圆心， ③平分弦. 结论：②垂直于弦， ④平分弦所对的劣弧， ⑤平分弦所对的优弧. 你能证明这个结论吗？ O A B C D E 证明:(1)连接AO,BO,则AO=BO, 已知：如图,已知⊙O的直径CD交弦AB于点E,且AE=BE. 求证：(1)CD⊥AB (2)AC=BC, AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O A B C D E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC=BC,AD=BD. ∵AE=BE, ∴△AOE≌△BOE(SSS), OE=OE, ∴∠AEO=∠BEO, ∴CD⊥AB. ∵∠AEO+∠BEO=180º, ∴∠AEO=∠BEO=90º, (2)∵CD⊥AB. O A B C D E 平分弦 归纳 ∵ 直径CD平分AB， ∴ CD⊥AB， 垂径定理推论1： 推导格式： (不是直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. · O A B C D 3.若交换①，③一个新命题,它也是真命题吗? 条件： ②垂直于弦， ③平分弦. 结论： ①过圆心， ④平分弦所对的劣弧， ⑤平分弦所对的优弧. 你能用语言叙述这个结论吗？ O A B C D E ①过圆心，②垂直于弦.，③平分弦，④平分弦所对的劣弧， ⑤平分弦所对的优弧. 归纳 O A B C D E 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理推论2： 推导格式： ∵ AE=BE，CD⊥AB， ∴ CD是直径， 【例2】怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗? 方法: 1.在圆弧上任取三点A、B、C; 2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心; 3.以点O为圆心,OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 3.若交换②，④一个新命题,它也是真命题吗? 条件： ①过圆心， ④平分弦所对的劣弧， 结论： ②垂直于弦， ③平分弦. ⑤平分弦所对的优弧. 你能用语言叙述这个结论吗？ O A B C D E ①过圆心，②垂直于弦.，③平分弦，④平分弦所对的劣弧， ⑤平分弦所对的优弧. 归纳 O A B C D E 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分另一条弧. 垂径定理推论3： 推导格式： ∵AD=BD，CD是直径 ⌒ ⌒ ∴CD⊥AB，AE=BE,AC=BC. ⌒ ⌒ · O A B C D E 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分另一条弧. 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. 一条直线满足： ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦(不是直径)； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。 满足其中两个条件就可以推出其它三个结论 (“知二推三”) · O A B C D E 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . C D A B O 证明：过O作OM⊥AB交⊙O于点M. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM (垂直平分弦的直径平分弦所对的弧) AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 夹在两平行弦之间的弧相等。 提升能力 强化训练 M $$