24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 情境引入 圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 垂直于弦的直径 A B C D o M 探究新知 总结归纳 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 B O A C D E 条件 结论 推出 （1）过圆心的直线 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长 圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D E└ 总结归纳 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 两 三 三 在下列图形中，哪些图形可用垂径定理？ 总结归纳 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 注意：AB是弦，但不能是直径时，才能垂直AB，平分AB所对的两条弧. C B D A O E 垂径定理的推论 总结归纳 例1：已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证： . 例题解析 M N 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 例题解析 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点D，根据垂径定理的结论，D 是 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． 在图中，AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. r 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r，h 中，已知其中任意 两个量，可以求出 其它两个量． r2= a2+d2 总结归纳 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 课堂练习 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC C ⌒ ⌒ 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 . 10 6 课堂练习 4.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求： (1)∠AOB的度数； (2)点O到AB的距离. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 课堂小结 Lavf57.62.100 $$