24.1.2 垂直于弦的直径 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册　

人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学目标 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 情境导入 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论： 1.圆是轴对称图形；任何一条过圆心的直线都是圆的对称轴. 2.圆是中心对称图形；圆心为对称中心. 新知探究 活动1：探索圆的对称性 思考： 1.圆是轴对称图形吗？如果是有多少条对称轴？ 2.圆是中心对称图形吗？如果是对称中心在何处？ 例1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 思考：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 新知探究 A A' 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M， 连接OA，OA'. 在△OAA'中，∵OA=OA', ∴△OAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD， ∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都 有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于 直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆 的对称轴. A C D O A' M 新知探究 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．根据圆的对称性，你发现图中有哪些相等的线段和弧？ 新知探究 活动2：探索垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 CD是直径 CD⊥AB 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 几何语言 文字描述 垂径定理适用范围情况归纳： 归纳小结 注意：定理中的径可以是直径、半径、弦心距、弓形高等过圆心的直线或线段 思考：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B 练习巩固 问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 在图中，AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 解决问题 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 练习巩固 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 练习巩固 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心直线或线段 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 两 三 总结归纳 思考：如果把定理中条件和结论位置交换，命题还成立吗，你试试看？ 为什么强调这里的 弦不是直径？ 新知探究 活动3：探索垂径定理的推论 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。。 N O A B M C D 一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立． 刨根问底 1.如图1,OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. 2.如图2,⊙O的弦AB＝8cm,直径CE⊥AB于D,DC＝2cm,半径OC的长为 cm. 3.如图3,已知⊙O中弦AB∥CD,图中相等的弧是 . 图1 图2 图3 变式训练 常见辅助线：添半径，作弦心距 8 5 AC=BD ⌒ ⌒ 涉及解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 2.扇形形中重要数量关系 1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 方法提炼 变式训练 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 B 随堂练习 2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中 错误的是( ) A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC 3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 . C 10 6 ⌒ ⌒ 4.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 随堂练习 ⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. 拓展提升 解：分两种情况讨论. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(一)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E. ∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD. ∴EM＝OM-OE＝7cm. 第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时. 如图(二)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E. ∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD. ∴EM＝OM-OE＝7cm. 图一 图二 10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？ 拓展提升 解：OM＜ON. 理由如下：连接OA、OC. 则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB, 又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2. 在Rt△OCN和Rt△OAM中， OM2＝OA2-AM2, ON2＝OC2-CN2, ∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON. 课堂小结 $$