24.1.4　圆周角 　课件　2025—2026学年人教版数学九年级上册

九年级上 人教版 24.1.4 圆周角 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 4.掌握圆内接四边形的概念及性质，并能灵活运用 学习目标 重点 难点 难点 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角，并说说识别圆心角的需要注意什么？ 顶点在圆心的角叫圆心角，∠BOC. 注意点：①顶点在圆心上②两条边和圆相交. A 新课引入 问题2 弧、弦、圆心角的关系定理是什么？ 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也相等. 问题3 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 那么像着这种顶点在圆上的角叫做什么？它又有什么形式呢？这就是我们本节课需要探究的内容. A O B C 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如图，∠ACB． 注意：(1)圆周角必须具备两个条件： ①顶点在圆上；②两边都与圆相交. (2)同一条弧所对的圆周角有无数个. 新知学习 如图所示，可以一直往下画弧AB的圆周角. C A O B （1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，测量它们的度数，你能发现什么？ ︵ 知识二：圆周角定理及其推论 圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. B C O A 圆心在∠BAC的一边上 B C O A 圆心在∠BAC的内部 B C O A 圆心在∠BAC的外部. 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 圆心O在∠BAC的内部 O A B D O A C D O A B C D O A C D O A B D 圆心O在∠BAC的外部 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 结论1： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等； 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了--为什么？ 相等的圆周角所对弧相等 归纳总结 O A B D O C D O D O A C D O A B D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 知识点1 推论2如图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？ ∵OA=OB=OC， ∴△AOC、△BOA都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBA=∠OAB. 又∵ ∠OBA+∠OCA+∠CAB=180°， ∴ ∠BAC=∠OAC+∠OAB=180°÷2=90°. 解：∠BAC是直角，理由如下: 连接AO， 若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？ 新知讲解 半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径． 圆周角和直径的关系: BC是圆O的直径 ∠BAC=90° 新知讲解 例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数. . O A D C P B 解：连接BC，如图，则∠ACB=90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 24.1.4 圆周角 概念 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 18 问题 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜一下∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 19 $$