2.3 二次根式 课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

过教材　要点概览 第3课时　二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 二次根式混合运算的顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的. 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 精讲练　新知探究 2 归纳总结 有理数的运算法则与运算律在二次根式的运算中仍然适用,计算时根据算式的特点灵活使用. 3 巩固训练 B 4 5 6 7 (2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为5元/平方米的地砖,要铺完整个通道,购买地砖需要花费多少元(结果化为最简二次根式)? 8 归纳总结 运用二次根式解决实际问题时,要先读懂题意,正确列出含有二次根式的代数式或方程,进而解决问题. 9 巩固训练 A 10 11 基础巩固练 01 第3课时　二次根式的混合运算 C C 5 B A 13 14 15 能力提升练 02 D (答案不唯一) 16 17 18 19 素养培优练 03 20 解:(2)m2+3n2　2mn (3)当n=1,m=2时,a=22+3×1=7,b=2mn=4, 故a=7,b=4,m=2,n=1时,a+b+m+n的值最小. 21 22 解题策略 23 谢谢观赏！ 24 探究点一　二次根式的混合运算 例1　计算: (1)+×-; (2)(-)2+9÷3; (3)(2+)(2-)+(-)÷. 解:(1)原式=5+-2=4. (2)原式=(2-2+3)+=5-. (3)原式=4-3+2-=3-. 1.估计(2+5)×的值在( ) A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 2.计算: (1)3- +7; 解:(1)原式=3×3-×4+7× =9-2+ =. (2)(-)×-3; (3)(+)(-)-(+1)2. 解:(2)原式=--3× =6-6- =5-6. (3)原式=13-3-(8+2+1) =13-3-8-4-1 =1-4. 探究点二　二次根式的应用 例2　某居民小区有块长方形绿地,长方形绿地的长BC为 m,宽AB为 m,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为(+1)m,宽为(-1)m. (1)长方形ABCD的周长是多少? 解:(1)长方形ABCD的周长为 2(+)=2(9+8) =(18+16)(m). 答:长方形ABCD的周长是(18+16)m. 解:(2)购买地砖需要花费 5×[×-(+1)(-1)] =5×[72-(14-1)] =5×(72-13) =(360-65)(元). 答:购买地砖需要花费(360-65)元. 3.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.忽略空气阻力的影响,高空抛物的物体所在高度h(单位:m)和下落的时间t(单位:s)近似满足自由落体公式h=gt2,其中g=9.8 m/s2,那么从50 m高空抛物的落地时间t1与从200 m高空抛物的落地时间t2的比值为( ) A. B. C. D. 4.一个长方体的塑料容器装满水,该塑料容器的底面是长为4 cm,宽为3 cm的长方形,现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为2 cm的圆柱形玻璃容器中,玻璃容器水面高度上升了3 cm,求长方体塑料容器中水面的下降高度.(注意:π取3) 解:设长方体塑料容器中水面的下降高度为h cm.根据题意,得 4×3h=3×(2)2×3, 解得h=2. 所以长方体塑料容器中水面的下降高度为2 cm. 知识点一　二次根式的混合运算 1.计算÷×结果为( ) A.3 B.4 C.4 D.6 2.(青岛中考)下列计算正确的是( ) A.+= B.2-=2 C.×= D.÷3=2 3.计算(3-)(+)÷等于( ) A.2- B.1 C.+ D.2- 4.新定义　用“※”定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n- mn-3n,如:1※2=12×2-1×2-3×2=-6.则(-2)※的结果为( ) A.3 B.-2 C.3 D.2 5.计算:(1)(+)2-=　 　;  (2)(2024威海)-×=　 　.  -2 (4)原式=(10-3)÷×=7÷×=7×=14. 6.计算: (1)(2024兰州)-×; (2)3+-4; (3)-15+; (4)÷×. 解:(1)原式=3-2=. (2)原式=9+-2=8. (3)原式=3-5+=-. 知识点二　二次根式的应用 7.已知长方形的周长为(+)cm,一边长为(+)cm,求此长方形的另一边长和它的面积. 解:长方形的另一边长为 (+)÷2-(+) =(4+6)÷2-(+2) =2+3-3 =(3-)(cm). 长方形的面积是(+)×(3-)=3×(3-)=(9-9)(cm2). 答:此长方形的另一边长是(3-)cm,面积是(9-9)cm2. 8.计算(+3)2 025(-3)2 026的结果是( ) A.+3 B.3 C.-3 D.-3 9.开放性题　(潍坊中考)从-,,中任意选择两个数,分别填在算式 (□+○)2÷里面的“□”与“○”中,计算该算式的结果是　 　.(只需写出一种结果)  　-2 10.计算:(1)+-; (2)(-)(+)+(-1)2. 解:(1)原式=3+--=+. (2)原式=5-2+3-2+1=7-2. 11.新定义　已知a,b,m都是实数,若a+b=2,则称a与b是关于1的“平衡数”. (1)4与　　 　　是关于1的“平衡数”,3-与　　　 　是关于1的“平衡数”;  解:(1)-2　-1 (2)若(m+)(1-)=-2,判断m+与2-是不是关于1的“平衡数”,并说明理由. 解:(2)不是.理由如下: 因为(m+)(1-)=-2, 所以(1-)m+-3=-2, 所以(1-)m=1-,所以m=1. 所以(m+)+(2-)=(1+)+(2-)=3. 所以m+与2-不是关于1的“平衡数”. 12.综合与探究　【阅读学习】 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索: 设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn.所以a=m2+2n2,b=2mn. 这样小明就找到了一种把形如a+b的式子化为平方式的方法. 【解决问题】 (1)化简:=　　　　;  解:(1)2+ (2)当a,b, m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=　　　　,b=　　　　;  (3)利用(2)的结论,找一组正整数a,b,m,n(m≠n),使得a+b=(m+n)2成立,且a+b+m+n的值最小,请直接写出a,b,m,n的值; (4)若a+6=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值. 解:(4)(m+n)2=m2+2mn+5n2=a+6, 所以a=m2+5n2,6=2mn,所以mn=3. 因为a,m,n均为正整数, 所以有m=1,n=3或m=3,n=1. 当m=1,n=3时,a=12+5×32=46; 当m=3,n=1时,a=32+5×12=14. 综上可知,a的值为14或46. 形如 的式子的化简方法 对于形如 的式子,只要我们找到两个数a,b,使得a+b=m,ab=n,即有+=m,=,那么便有:== ±(a>b). 本题还利用完全平方公式展开获得相关结论,并结合整数解及整除等性质进一步解决问题. $$ 过教材　要点概览 第2课时　二次根式的加减运算 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 2.最简二次根式 一般地,被开方数不含　 　,也不含能　 　的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式.  3.二次根式加减的步骤 (1)化:将二次根式化为最简二次根式; (2)找:找出化简后被开方数相同的二次根式; (3)合:合并被开方数相同的二次根式. 分母 开得尽方 2 精讲练　新知探究 3 巩固训练 C 4 5 归纳总结 最简二次根式需同时满足下列两个条件: (1)被开方数中不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 6 巩固训练 C 2 7 8 归纳总结 在二次根式的加减运算中,以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.在运算过程中,如果有被开方数相同的项,要先将这些项进行合并;如果有括号,要根据去括号法则去掉括号. 9 巩固训练 D 10 11 基础巩固练 01 第2课时　二次根式的加减运算 C B C 5 13 A C 14 B 15 16 D B 17 D 最简二次根式 对加法的分配律 18 1 19 能力提升练 02 B 4 20 0.3ab 21 22 素养培优练 03 23 谢谢观赏！ 24 1.积与商的算术平方根 (1)=　 　·　 　(a≥0,b≥0),即积的算术平方根,等于被开方数中各因式算术平方根的积.  (2)=　　 (a≥0,b>0),即商的算术平方根,等于被开方数中被除式与除式算术平方根的商.  　 　 　 探究点一　积与商的算术平方根 例1　化简:(1); (2); (3). 解:(1)原式=×=5×10=50. (2)原式==×=6×=6. (3)原式==. 1.若=a,则等于( ) A.8a B.16a C.4a D.2a 2.化简: (1);　　(2);　　(3). 解:(1)=×=3×5=15. (2)==×=2. (3)===. 探究点二　最简二次根式 例2　下列二次根式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?把不是最简二次根式的化成最简二次根式. (1);(2);(3);(4). 解:(4)是最简二次根式, (1)(2)(3)不是最简二次根式. (1)===. (2)==. (3)==. 3.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 4.若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a为　 　.  探究点三　二次根式的加减 例3　计算: (1)-; (2)(+)-(2-). 解:(1)原式=2-=. (2)原式=(2+2)-(2-) =2+2-2+ =3. 5.下列运算正确的是( ) A.+= B.5-3=3 C.-= D.2+3=5 6.计算: (1)+4-; (2)2-(-). 解:(1)原式= +4×-3 =-3+. (2)原式=2-(4-3) =2-4+3 =2+3-4 =5-4. 知识点一　积与商的算术平方根 1.(2024包头)计算所得结果是( ) A.3 B. C.3 D.±3 2.化简的结果是( ) A.4 B.8 C.-8 D.±8 3.下列化简错误的是( ) A.= B.= C.= D.-=- 4.已知n为正整数,且是整数,则n可取的最小值是　 　.  知识点二　最简二次根式 5.(2025福州期末)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 6.(2025兰州期末)若式子是最简二次根式,则x的值可能为( ) A.0 B.-4 C.2 D.4 7.化简,得最简二次根式为( ) A. B. C.6 D.6 8.化简:(1); 解:(1)==×=2. (2);(3). 解:(2)===. (3)方法1:===; 方法2: ===; 方法3:=2=2==. 知识点三　二次根式的加减 9.下列二次根式不能与合并的是( ) A. B.- C. D. 10.(2024重庆)已知m=-,则实数m的范围是( ) A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 11.计算6+的结果是( ) A.3 B.3 C.5 D.5 12.填空: +=4+3 (化成　 　)   =(4+3) (逆用乘法　 　)  =7(合并被开方数相同的二次根式). 13.计算: (1)(2024长春)-=　　 ;  (2)(2024日照)|-2|+-2 0240=　 　.  14.计算: (1)5-;(2)+2-. 　 解:(1)原式=10-5=5. (2)原式=2+-=. 15.把a根号外面的因式移到根号里面的结果是( ) A. B.- C. D.- 16.如果最简二次根式与可以合并,那么a=　 　.  17.设a=,b=,用含a,b的式子表示,结果为　 　.  18.已知直角三角形的两条直角边长分别为,,则该直角三角形斜边上的高为　　 .  19.化简:(1)=　　 ;  (2)=　　 .  　 　 　 20.计算: (1)2-+-; (2)-+; (3)×. 解:(1)原式=4-3+2-3=-. (2)原式=-+3=3. (3)原式=×-×=-=3-6=-3. 21.推理能力　是否存在正整数a,b(a>b),使其满足+=?若存在,请求出a,b的值;若不存在,说明理由. 解:存在. 因为+==6, 所以,化简后与6被开方数相同. 因为正整数a,b,a>b,所以>. 所以=5,=或=4,=2. 所以a=75,b=3或a=48,b=12. $$ 过教材　要点概览 3　二次根式 第1课时　二次根式的概念及乘除运算 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 精讲练　新知探究 2 归纳总结 (1)判断一个式子是不是二次根式,主要看两点: ①根指数是不是2; ②被开方数是否大于或等于零. (2)二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数. 3 巩固训练 D 4 B 错 5 6 7 8 9 归纳总结 (1)简单的二次根式乘法运算,可直接应用二次根式的乘法法则.如果二次根式前有系数,可先利用乘法交换律、结合律,将系数与系数相乘,二次根式的被开方数与被开方数相乘,再将所得的积相乘.乘法对加法的分配律与乘法公式等也适用于二次根式的乘法运算. (2)应用二次根式的除法法则进行计算时,除以一个根式,等于乘这个根式的倒数. 10 巩固训练 D 11 12 13 14 基础巩固练 01 3　二次根式 第1课时　二次根式的概念及乘除运算 D C 解:根据二次根式的概念,(1)(4)(5)是二次根式;(2)中根号内的数是 负数,它不是二次根式;(3)中不能保证x3+1一定是非负数,故也不 是二次根式. 16 D D 17 D C 18 10 19 20 21 能力提升练 02 B 2 22 23 24 素养培优练 03 25 26 27 解题策略 二次根式的意义的应用 利用二次根式的意义可以确定被开方数中字母的取值范围,从而可进行代数式的化简与求值.这常常是题目的隐含条件,是解决问题的突破口,不要忽略. 28 谢谢观赏！ 29 1.二次根式的定义 一般地,形如　　 (a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数.  2.二次根式的乘法法则和除法法则 乘法:·=　　 (a≥0,b≥0);  除法:=　 (a≥0,b>0).  　 　 　 探究点一　二次根式的定义 例1　下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? ,-,,,(a≥0),. 解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式; 是三次根式,故不是二次根式; 的被开方数小于0,无意义,故不是二次根式. 1.下列式子中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.当有意义时,a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a>2 C.a≠2 D.a≠-2 3.小红说:“因为=2,所以不是二次根式.”小红的说法是　 　的(选填“对”或“错”).  (4)原式====. 探究点二　二次根式的乘除 例2　计算: (1)×;(2)2×(-3);(3);(4)÷. 解:(1)原式===3. (2)原式=[2×(-3)]×=-6=-6×9=-54. (3)原式===2. 例3　计算: (1)(2-1)2; (2)(+2)(-2); 解:(1)原式=(2)2-4+12 =24-4+1 =25-4. (2)原式=()2-22 =7-4 =3. (3)×; 解:(3)原式=×-× =- =6-3 =3. (4). 解:(4)原式=+ =+ =3+4 =7. 4.易错题　下列计算正确的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.6÷3=6 D.×=4 5.计算: (1)-×3×. (2)5÷(-). 解:(1)原式=-3×6×=-. (2)原式=-5=-5. 6.计算: (1)(-)×; 解:(1)原式=×-× =5-1 =4; (2); (3)(+)2. 解:(2)原式= = =10; (3)原式=()2+2×+()2 =2+2+3 =5+2. 知识点一　二次根式的定义 1.(2025开封期末)下列式子是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.若式子-3有意义,则m的取值范围是( ) A.m≥3 B.m≤3 C.m≥0 D.m≤0 3.判断下列各式哪些是二次根式. (1);(2);(3);(4)3;(5). 知识点二　二次根式的乘除 4.(衡阳中考)对于二次根式的乘法运算,一般地,有·=.该运算法则成立的条件是( ) A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a≤0,b≤0 D.a≥0,b≥0 5.(2024湖南)计算×的结果是( ) A.2 B.7 C.14 D. 6.下列等式成立的是( ) A.=3 B.2= C.÷=2 D.÷=3 7.(2024盐城)长方形相邻两边长分别为 cm, cm,设其面积为S cm2,则S在哪两个连续整数之间( ) A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 8.化简:=　　 .  9.(2024天津)计算(+1)(-1)的结果为　 　.  10.计算:(1)×; 2 解:(1)原式==. (2)6×(-2); 解:(2)原式=-12 =-12 =-12×9 =-108. (3)÷; (4)××. 解:(3)原式= = =3. (4)原式==. 11.已知x-2>0,则下列各式一定有意义的是( ) A. B. C. D. 12.新定义　对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运算※如下: a※b=.那么2※6=　 　.  13.计算: (1); (2)×; 解:(1)原式=-=-. (2)原式=×-3×=-3=4-3=1. (3)(-2)2; (4)(+-1)(-+1). 解:(3)原式=()2-4+4=11-4. (4)原式=[+(-1)][-(-1)]=- =3-(3-2) =2. 14.综合与探究　阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件并回答后面的问题. 化简:()2-|1-x|. 解:隐含条件1-3x≥0,解得x≤, 所以1-x>0. 所以()2-|1-x|=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x. (1)试化简:-()2; 解:(1)隐含条件2-x≥0, 解得x≤2, 所以x-3<0. 所以-()2=3-x-(2-x)=3-x-2+x=1. (2)已知a,b满足=a+3,=a-b+1,求ab的值. 解:(2)因为=a+3, 若a≥2,则a-2=a+3,不成立,故a<2. 所以2-a=a+3.所以a=-. 因为=a-b+1,所以a-b+1=1或a-b+1=0. 所以b=-或. 所以ab=±. $$