2.2 平方根与立方根 课件2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

过教材　要点概览 1.平方根的定义 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的　 . 　(也叫作二次方根).  2.平方根的性质与符号表示 (1)一个正数有　 　个平方根;  　 　只有一个平方根,它是　 　本身;  负数　 　平方根.  第2课时　平方根 平 方根 两 0 0 没有 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 相反数 平方根 开平方 被开方数 2 精讲练　新知探究 探究点一　平方根 例1　求下列各数的平方根: (1)100; 3 4 (4)0.09. 5 1.下列说法正确的是( ) A.-4的平方根是±2 B.-4的算术平方根是-2 C.平方根等于本身的数是0和1 D.0的平方根与算术平方根都是0 巩固训练 D 6 解:(1)4的平方根为±2. (3)0.01的平方根为±0.1. 7 探究点二　平方根的性质 例2　已知一个正数的两个平方根分别是 a+3 和2a-15. (1)求这个正数; 解:(1)因为一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15, 所以a+3+2a-15=0. 所以a=4,所以a+3=7. 所以这个正数为72=49. 8 9 巩固训练 C 0.1 10 10 知识点一　平方根 1.(2024内江)16的平方根是( ) A.2 B.-4 C.4 D.±4 基础巩固练 01 第2课时　平方根 D C A 12 C 13 A D 14 A ±2 ±1 ±2 15 (2)196的平方根是±14,算术平方根是14. (3)0.001 6的平方根是±0.04, 算术平方根是0.04. 16 能力提升练 02 D 17 C B 256 18 解:(1)因为(x-4)2=4,所以x-4=±2, 解得x=2或x=6. 19 16.一个正数x的两个不同的平方根分别是3a-5和7-a. (1)求a和x的值; (2)求x+28a的算术平方根. 解:(1)由题意可知,3a-5+7-a=0,解得a=-1, 则x=(3a-5)2=64. 20 素养培优练 03 17.分类讨论　王老师给同学们布置了这样一道习题: 一个正数的算术平方根为m+3,它的平方根为±(2m+3),求这个正数. 小张的解法如下: 解:依题意可知m+3=2m+3, 解得m=0,则m+3=3, 所以这个数为9. 王老师看后,说小张的解法不完整,你知道这道题完整的解法吗? 试一试. 21 解:依题意可知m+3与2m+3相等或与-(2m+3)相等. ①当m+3=2m+3时, 解得m=0, 则m+3=3, 所以这个正数为9; ②当m+3=-(2m+3)时, 解得m=-2, 则m+3=1, 所以这个正数为1. 综上可知,这个正数是9或1. 22 谢谢观赏！ 23 (2)正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根,另一个是-,它们互为　 　.这两个平方根合起来可以记作　　 .  3.开平方 求一个数a的　 　的运算,叫作　 　,a叫作　 　. ± 解:(1)因为(±10)2=100, 所以100的平方根是±10, 即±=±10. (2); (3)(-6)2; 解:(2)因为(±)2=, 所以的平方根是±, 即±=±. (3)因为(±6)2=36=(-6)2, 所以(-6)2的平方根是±6, 即±=±6. 解:(4)因为(±0.3)2=0.09, 所以0.09的平方根是±0.3, 即±=±0.3. 2.求下列各数的平方根: (1)4;　　(2);　　(3)0.01. (2)的平方根为±. (2)求的平方根. 解:(2)a+12=4+12=16. 因为==4, 所以的平方根为±=±2. 3.下列各式正确的是( ) A.±=3 B.=±3 C.±=±3 D.=-3 4.计算: (1)(-)2=　 　;  (2)=　 　.  2.“的平方根是±”用数学式子表示为( ) A.=± B.= C.±=± D.-=- 3.若一个数的平方根等于它本身,则这个数是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或±1 4.下列叙述正确的是( ) A.若a存在平方根,则a>0 B.=±4 C.是5的一个平方根 D.5的平方根是 知识点二　平方根的性质 题组　()2和 5.(无锡中考)下列等式成立的是( ) A.()2=3　　　 B.=-3 C.=3 D.(-)2=-3 6.2,5,m是某三角形三边的长,则+等于( ) A.2m-10 B.10-2m C.10 D.4 7.(2024内蒙古)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则- (b-a-2)的化简结果是( ) A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2 8.易错题　(1)的平方根是　 　;  (2)若a2=4,b2=9,且ab>0,则 a-b的值为　 　.  9.若m是169的算术平方根,n是121的负的平方根,则(m+n)2的平方 根为　 　.  解:(1)的平方根是±,算术平方根是. 10.求下列各数的平方根和算术平方根. (1);(2)196;(3)0.001 6;(4). (4)=4,4的平方根是±2,算术平方根是2, 则的平方根是±2,算术平方根是2. 11.下列判断正确的是( ) A.若|m|=|n|,则m=n B.若a2>b2,则a>b C.若=()2,则a=b D.若|a|<b,则a2<b2 12.如果一个自然数的平方根是±a(a≥0),那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根为( ) A.±(a+1) B.±a+1 C.± D.± 13.按如图所示的程序计算,若开始输入的x值为25,则最后输出的y值是( ) A. B.± C.5 D.±5 14.如果的平方根是±4,那么x=　 　.  15.求符合下列条件的x的值. (1)(x-4)2=4; (2)(x+3)2-27=0. (2)因为(x+3)2-27=0, 移项,得(x+3)2=27. 两边同时乘3,得(x+3)2=81. 所以x+3=±9.所以x=6或x=-12. (2)当x=64,a=-1时, x+28a=64-28=36, 则=6. 故x+28a的算术平方根是6. $$ 过教材　要点概览 1.估算无理数的方法 根据问题中误差允许的范围,通过平方或立方运算,采用“夹逼法”,即两边无限逼近,逐级夹逼,确定准确值所在的范围. 2.比较两个无理数大小的常用方法 (1)估算法:先通过分析,估算出无理数的大致取值范围再进行比较; 第4课时　估　算 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 (2)乘方法:把要比较的两个带根号的正数同时乘方,去掉其中的根号,比较乘方后的数的大小,乘方后的数越大,原数就越大. 3.用计算器开方 (1)用计算器求算术平方根或立方根时,计算器显示的数值,许多都是近似值,要根据题目要求的精确度确定结果. (2)用不同型号的计算器进行开方运算时,按键顺序可能有所不同,要根据该型号计算器的使用说明操作. 2 精讲练　新知探究 3.5 13 3 归纳总结 估算的一般步骤 (1)估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间; (2)确定无理数的整数部分; (3)按题目要求的精确度确定小数部分. 4 巩固训练 C D 5 6 巩固训练 D 7 8 巩固训练 > > 9 基础巩固练 01 第4课时　估　算 C B 0(答案不 唯一) 2(答案不唯一) 11 > > 12 13 14 A 7.90 15 能力提升练 02 C 16 C 17 B 18 13.应用意识　某兴趣活动中,小美想用一块面积为400 cm2的大正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长、宽之比为6∶5,且要求长方形的四周至少留出1 cm的边框.请你用所学过的知识来说明,能否用这块纸片裁出符合要求的纸片. 19 素养培优练 03 20 21 解题策略 22 谢谢观赏！ 23 探究点一　估算无理数 例1　估算下列各数的大小: (1)≈　 　(结果精确到0.1);  (2)≈　 　(结果精确到1).  1.已知:①22<5<32;②2.22<5<2.32;③2.232<5<2.242;④2.2362<5<2.2372.据此估计的近似值(精确到0.01)是( ) A.2.15 B.2.23 C.2.24 D.2.25 2.若n=-6,则估计n的值所在范围是( ) A.4<n<5 B.3<n<4 C.2<n<3 D.1<n<2 探究点二　比较大小 例2　通过估算,比较下面各组数的大小: (1)和2.6;　　(2)和. 解:(1)因为≈2.65,所以>2.6. (2)因为32=9<10,所以>3. 所以-2>1.所以>. 3.若a=,b=,c=+2,则a,b,c之间的大小关系是( ) A.c>b>a B.a>c>b C.b>a>c D.a>b>c 探究点三　用计算器开方 例3　用计算器求和的值(结果精确到0.001). 解:≈3.162;≈2.714. 4.用计算器比较下列各数的大小(选填“>”“<”或“=”). (1)+　  +;  (2)-　 　0.  知识点一　估算无理数 1.(2024天津)估计的值在( ) A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.(2024资阳)若<m<,则整数m的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(湘潭中考)数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有　 　(写出一个即可).  4.(2024深圳)如图所示,A,B,C均为正方形,若A的面积为10,C的面积为1,则B的边长可以是　 　.(写出一个即可)  知识点二　比较大小 5.(2024安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小:　  (填“>”或“<”). 6.在比较与13的大小关系时,我们可以把它们分别平方,()2= 170,132=169,依据正数越大,其算术平方根越大,得到>13.请利用上面的方法回答下面的问题:比较大小:　  (选填“>”“<”或“=”). 7.比较下列各组数的大小: (1),; 解:(1)因为-=,2<<3, 所以-3<0. 所以-<0. 所以<. (2)+2,-2. 解:(2)因为2<<3,7<<8, 所以2+2<+2<3+2,7-2<-2<8-2, 即4<+2<5,5<-2<6. 所以+2<-2. 知识点三　用计算器开方 8.用计算器求的值的按键顺序是( ) A.　8　= B.8　　= C.　8 D.8　 9.人造卫星绕地球旋转的速度称为环绕速度(也叫第一宇宙速度).环绕速度的计算公式为v=,其中 g=0.009 8 km/s2,R= 6 370 km,则环 绕速度约是　 　km/s(结果精确到0.01 km/s).  10.下列整数中,与10-最接近的是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 11.利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下: 根据以上规律,若≈1.296,≈4.099,则约等于( ) A.12.96 B.129.6 C.40.99 D.409.9 … … … 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 … 12.有一个计算器,计算时只能显示1.414 213 562 37十三位(包括小数点),现在想知道7后面的数字是什么,可以在这个计算器中计算下面哪一个值( ) A.10 B.10(-1) C.100 D.-1 解:设长方形的长为6a cm(a>0),则宽为5a cm,由题意,得6a·5a=300, 解得a=. 所以这个长方形的长为6 cm,宽为5 cm. 因为大正方形纸片面积为400 cm2,所以大正方形纸片边长为20 cm2. 因为10>9,所以>3.所以6>18,6+2>20. 所以不能裁出符合要求的长方形纸片. 解:(1)3　-3 14.阅读下面的文字,解答问题: 因为<<,即2<<3, 所以的整数部分是2,小数部分是-2. (1)的整数部分是　　　,小数部分是　　　　　;  解:(2)因为16<17<25,所以4<<5, 所以9+4<9+<9+5, 即13<9+<14. 所以9+的小数部分为 9+-13=-4+. 所以n=-4. 因为x2=5-+n,所以x2=1. 所以x=1或x=-1. (2)已知9+的小数部分是n,且x2=5-+n,求x的值. 确定无理数的整数与小数部分 要确定(a为正整数)的整数与小数部分,一般要先找出a在哪两个连续正整数的平方之间,然后确定的整数部分就是其中平方较小的正整数,用这个无理数减去它的整数部分,即得其小数部分. $$ 过教材　要点概览 1.算术平方根的概念与表示 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即　 　,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作　 　,读作“根号a”.0的算术平方根是　 　,即 　 　.  2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 x2=a 0 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 ≥ 非负 2 精讲练　新知探究 3 巩固训练 A -1 4 5 探究点二　算术平方根的应用 例2　跨学科融合　 交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度.在某高速公路上,常用的计算公式是 v2=256(df+1),其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离(单位:m),f表示摩擦系数,f=1.25.在调查这条高速公路的一次交通事故中,测得d=19.2(单位: m),则肇事汽车的速度是多少? 解:将d=19.2,f=1.25代入v2=256(df+1),得 v2=256×(19.2×1.25+1)=6 400, 所以v=80. 答:肇事汽车的速度是80 km/h. 6 巩固训练 D 7 8 知识点一　算术平方根 1.易错题　下列叙述正确的是( ) A.-4是16的算术平方根 B.0.2的算术平方根是0.04 C.11是121的算术平方根 D.3-2没有算术平方根 基础巩固练 01 2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 C 2.一个数的算术平方根是它本身,这个数是( ) A.1 B.0 C.-1 D.0或1 D 10 11 (3)(-2.6)2;(4)-(-3). 12 13 C 14 A 15 16 能力提升练 02 3 8或-2 17 0 1 18 12.如图所示,小明打算用一块面积为900 cm2的正方形木板,沿着边的方向裁出一个面积为768 cm2的长方形桌面,桌面的长、宽之比为4∶3,你认为他能做到吗?如果能,求出桌面的长和宽;如果不能,说明理由. 19 素养培优练 03 20 21 22 解题策略 23 谢谢观赏！ 24 　 　=0 2.算术平方根的双重非负性 (1)a　 　0;  (2)算术平方根本身也是　 　数.  3.的性质 =|a|= 探究点一　算术平方根 例1　求下列各数的算术平方根: (1)144;　　(2)0.25;　　(3)2. 解:(1)因为122=144,所以144的算术平方根是12,即=12. (2)因为0.52=0.25,所以0.25的算术平方根是0.5,即=0.5. (3)2=,因为=,所以2的算术平方根是,即=. 1.若m是a的算术平方根,则( ) A.a=m2 B.m=a2 C.m=-a2 D.a=-m2 2.若|b+3|+=0,则(a+b)2 025=　 　.  3.求下列各数的算术平方根: (1)3.24;　　(2);　　(3)104. 解:(1)=1.8.(2)=.(3)=100. 4.一个表面积为12 dm2的正方体纸盒的棱长是( ) A.2 dm B.3 dm C.2 dm D. dm 5.气象资料表明:某地雷雨持续的时间 t(h) 可以用下面的公式来估计:t2= ,其中d(km)是雷雨区域的直径.当雷雨区域的直径为8 km时,这场雷雨大约能持续多长时间? 解:由已知,得t2==. 因为t>0,=,所以t=. 答:这场雷雨大约能持续 h. 解:(1)因为=, 所以的算术平方根是,即=. 3.求下列各数的算术平方根: (1);(2)2.25; (2)因为(1.5)2=2.25, 所以2.25的算术平方根是1.5, 即=1.5. 解:(3)因为2.62=(-2.6)2, 所以(-2.6)2的算术平方根是2.6, 即=2.6. (4)-(-3)=3,3的算术平方根是 . 解:(1)=20. 4.求下列各式的值. (1);(2);(3). (2)=0.02. (3)==. 知识点二　算术平方根的应用 5.球从空中落到地面所用的时间t(s)和球的起始高度h(m)之间有关系式t=.若球的起始高度为125 m,则球落地所用时间是( ) A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s 6.如图所示,将边长分别为1和2的长方形剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长是( ) A. B.2 C.1.5 D.1 解:根据题意,得h=20 m=0.02 km,r=6 400 km. 所以船离小丽的距离d≈== =16(km). 答:此时该船离小丽约有16 km. 7.“欲穷千里目,更上一层楼”说的是登得高看得远.如图所示,若观测点的高度为h,观测者能看到的最远距离为d,则d≈,其中r是地球半径(通常取6 400 km).小丽站在海边一块岩石上,眼睛离地面的高度为20 m,她观测到远处一艘船刚露出海平面,此时该船离小丽约有多远? 8.(1)的算术平方根是　 　;  (2)若|x|=5,y是9的算术平方根,则x+y的值是　 　.  9.有一个数值转换器,原理如下: 当输入的数是16时,输出的数是　　 .  　 题组　算术平方根的双重非负性 10.若+=0,则x2 024+y2 025=　 　.  11.(2024成都)若m,n为实数,且(m+4)2+=0,则(m+n)2的值为　 　. 解:不能裁出长、宽之比为4∶3的长方形桌面.理由如下: 设桌面的长为4x cm,宽为3x cm. 由题意,得4x·3x=768,解得x=8. 4×8=32(cm). 正方形的边长为=30(cm). 因为32>30,所以桌面的长为32 cm不能由已知正方形裁出来,不符合题意. 即不能裁出长、宽之比为4∶3的长方形桌面. 13.归纳与探究: (1)计算:=　　　,=　 ,  =　　　,=　　　,=　　　,….  解:(1)2　　3　　0 (2)猜想:对于任意实数a,一定等于a吗?根据(1)中的计算,你发现的值等于多少呢? 解:(2)由(1)中各式计算结果可以发现: 对于任意实数a,有= 故对于任意实数a,不一定等于a. (3)应用:有理数a,b,c在数轴上所对应的点如图所示,c是4的算术平方根. 计算:|b-a|-+. 解:(3)由数轴,得b-a<0,b<0,c-a>0, 所以|b-a|=a-b,=-b,=c-a. 因为c是4的算术平方根,所以c=2. 所以原式=a-b-(-b)+(c-a)=a-b+b+c-a=c=2. 性质=|a|的应用 化简时,可先转化为绝对值的形式,再化简绝对值.该类问题中的a常与三角形的三边关系或数轴密切关联,判断其正负是化简的关键. $$ 过教材　要点概览 1.立方根的概念与表示 一般地,如果一个数x的立方等于a,即　 　,那么这个数x就叫作a的 　 　(也叫作三次方根).  每个数a都有一个立方根,记作　　 ,读作“三次根号a”.  第3课时　立方根 x3=a 立方根 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 正数 0 负数 a a 立方根 开立方 被开方数 2 精讲练　新知探究 3 (3)0.729;(4)-103. 4 1.(2024青海)-8的立方根是　 　.  巩固训练 -2 5 (3)0.064;　(4)0. 6 7 巩固训练 -10 1或0 8 基础巩固练 01 知识点一　立方根 1.-1的立方根为( ) A.-1 B.±1 C.1 D.不存在 第3课时　立方根 A C C 10 -2 11 C -7 2 12 13 能力提升练 02 C -1 14 12.根据如图所示的开立方运算关系,可以得出a的值为　 　.  -2 025 15 13.求下列各式中的x的值: (1)2x3=54; (2)8(x-1)3-729=0. 16 17 15.请根据如图所示的对话内容回答下列问题. (1)求该魔方的棱长; (2)求该长方体纸盒的长. 18 素养培优练 03 16.综合与探究　先阅读材料,再解答问题: 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59 319的立方根.华罗庚脱口而出,给出了答案.众人十分惊讶,忙问计算的奥妙.你知道华罗庚是怎样迅速而准确地计算出结果的吗?请你按下面的步骤也试一试: (1)103=1 000,1003=1 000 000,则 59 319 的立方根是　　　　位数.  解:(1)两　 19 (2)59 319的个位数字是9,则59 319的立方根的个位数字是　　　　.  (3)如果划去59 319后面的三位“319”得到数59,而33=27,43=64,由此可确定 59 319 的立方根的十位数字是　　　　,因此59 319的立方根是　　　　　. (4)现在换一个数103 823,你能按这种方法得出它的立方根吗? 解:(2)9　 (3)3　39 (4)因为1 000<103 823<1 000 000, 所以103 823的立方根是两位数. 因为103 823的个位数字是3, 所以103 823的立方根的个位数字是7. 因为43=64,53=125,且64<103<125, 所以103 823的立方根的十位数字是4. 所以103 823的立方根是47. 20 解题策略 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n 1 8 7 4 5 6 3 2 9 21 谢谢观赏！ 22 　 2.立方根的性质 (1)正数的立方根是　 　,0的立方根是　 　,负数的立方根是　 　. (2)()3=　 　;=　 　.  3.开立方 求一个数a的　 　的运算,叫作　 　,a叫作　 　. 解:(1)因为=,所以的立方根是,即=. 探究点一　立方根 例1　求下列各数的立方根: (1);(2)-; (2)因为=-,所以-的立方根是-,即=-. 解:(3)因为0.93=0.729,所以0.729的立方根是0.9,即=0.9. (4)因为(-10)3=-103,所以-103的立方根是-10,即=-10. 2.求下列各数的立方根: (1)125;　(2)-; 解:(1)125的立方根是5,即=5. (2)-的立方根是-, 即=-. 解:(3)0.064的立方根是0.4, 即=0.4. (4)0的立方根是0,即=0. 探究点二　立方根的性质 例2　求下列各式的值: (1);(2)()3;(3). 解:(1)=-0.2. (2)()3=64. (3)==-=-=-. 3.若=-2,则a的值为　 　.  4.若=,则x=　 　.  5.求下列各式的值: (1);(2);(3)()3;(4). 解:(1)=6.(2)=0.2.(3)()3=-9.(4)=-. 2.下列说法正确的是( ) A.如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数一定为零 B.如果一个数有立方根,那么这个数也一定有平方根 C.任何数的立方根都只有一个 D.负数没有立方根 3.下列等式成立的是( ) A.=±1 B.=15 C.=-9 D.=-3 4.若=3,则=　 　.  5.求下列各数的立方根: (1);(2)-0.001;(3)12. 解:(1)因为=,所以的立方根是, 即=. (2)因为(-0.1)3=-0.001,所以-0.001的立方根是-0.1,即=-0.1. (3)12的立方根是. 知识点二　立方根的性质 6.若a≠0,且a,b互为相反数,则下列各对数中互为相反数的一组是( ) A.与 B.与　 C.与 D.与 7.计算: ()3+-=　 　.  8.若=k-2,则k=　 　.  (4)==-=-=-. 9.求下列各式的值: (1);(2);(3);(4). 解:(1)=-10. (2)=-=-=-0.6. (3)==103. 10.已知:≈2.868,且≈28.68,则a等于( ) A.2 360 B.-2 360 C.23 600 D.-23 600 11.已知数a,b满足+=0,则(a+b)2 025的立方根为　 　.  解:(1)由2x3=54,得x3=27, 所以x=,即x=3. (2)把8(x-1)3-729=0变形,得(x-1)3=. 所以x-1=,即x-1=, 解得x=. 解:由题意,知(1-2x)+(3x-7)=0, 解得x=6. 由此得====8. ====-4. 14.已知与互为相反数,求与的值. 解:(1)设该魔方的棱长为x cm,由题意可得x3=216,所以x==6. 答:该魔方的棱长为6 cm. (2)设该长方体纸盒的长为y cm. 由题意可得6y2=600,y2=100, 所以y==10. 答:该长方体纸盒的长为10 cm. 求较大数的立方根的方法 求较大数(如五位或六位数)的立方根,一般先利用被开方数个位数字判断立方根的个位数字,然后再去掉后三位数字,利用剩余部分判断十位数字.若为正整数,它的个位上的数字是m,x的个位上的数字是n,则其对应关系如下表所示. $$