专题练习：求线面角、二面角（几何法）-2026届高三数学一轮复习

专题练习：（几何法）求线面角、二面角 一、线面角——直接：垂线法 【归纳总结】直接法（垂线法）求线面角 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连接斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩α=B，作AO⊥α于点O，∠ABO为直线AB与平面α所成角 1．（25重庆高一下期末）如图所示，在四棱锥中，已知平面，底面为平行四边形，且，. (1)证明：； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 2．（25内蒙古高一下月考）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2. (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 3．（25重庆朝阳中学高一下月考）如图，在棱长为2的正方体中，点E，H分别为棱BC，的中点，点M为棱上的动点（含端点）. (1)求三棱锥的体积； (2)当平面平面时，求直线AM与平面所成角的余弦值.    二、线面角——间接：等体积法 【归纳总结】公式法（等体积法）求线面角 步骤：①用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离。 具体做法为：以斜线上平面外的点为顶点，平面上的多边形为底面构造三棱锥，通过换底法，利用三棱锥体积不变性，已知其他面的面积和高，反推点到平面的距离。 ②利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 4．（25天津河西区高一下期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 5．（25重庆巴蜀高一下期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点. (1)求证：平面 (2)已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 6．（25天津南开区高一下期末）如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值.    三、二面角——定义法 【归纳总结】定义法求二面角 1.根本思路：先通过定义确定哪个角是所求二面角的平面角，再放于三角形中利用勾股定理、正余弦定理等进行求解 2.找二面角的常用辅助线方法： ①在交线上取特殊点，再连接该点与两个面内的点，证明连接的两条线分别于交线垂直 ②在交线的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． ③过其中一个面内的一点作交线的垂线，得到垂足，过垂足在另一个面内再做一次交线的垂线或连接另一个面内的特殊点，证明垂直 （直接） 7．（25重庆巴川高一下期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； （先做一个垂直，连接垂足点与另一面的特殊点，证明连接线与交线垂直） 8．（25黑龙江高三下模拟）已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． (1)若D为中点，求证：． (2)若，，求平面和平面所成角的正弦值； 【练习】（25广西高一下期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求二面角的正切值． （先做一个垂直，再通过线面垂直证另一个垂直） 9．（25天津河西区高一下期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面，，，，，，，G为BC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正切值. 【练习】（25贵州黔南高一下期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将沿BD翻折至，且，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求点A到平面的距离d； (3)求二面角的余弦值. （利用截面先找交线） 10．（25河南南阳高一下期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，E，F分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)求平面与平面所成锐二面角的大小. 四、二面角——三垂线法 【归纳总结】三垂线法求二面角的平面角 步骤：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 【注意】选填小题中，找到角之后就可以放于对应直角三角形中直接求解，但解答题，必须先根据二面角的定义进行证明说明，再代入数据求解 11．（25重庆朝阳高一下月考）在直三棱柱中，侧棱长为2，，且，D为中点，则二面角的正切值为 . 12．（25贵州遵义高二下期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点. (1)证明： 平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 【练习】（25湖北武汉高一下期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. (1)若平面.证明：； (2)若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. （联合中位线） 13．如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. （先找交线） 14．如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点．求： (1)求直三棱柱外接球球O的表面积； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题练习：（几何法）求线面角、二面角 一、线面角——直接：垂线法 【归纳总结】直接法（垂线法）求线面角 步骤：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连接斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 如图，AB∩α=B，作AO⊥α于点O，∠ABO为直线AB与平面α所成角 1．（25重庆高一下期末）如图所示，在四棱锥中，已知平面，底面为平行四边形，且，. (1)证明：； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再根据线面垂直的判定定理得平面，则可得证； （2）作于点，通过证明平面平面，可得平面，所以为直线与平面所成角，求解即可. 【详解】（1）在中，. 由正弦定理，得. 因为，所以，从而为矩形. 因为平面，所以. 又因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）作于点. 由（1）知平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面平面， 所以平面， 故为在平面上的射影，为直线与平面所成角. 又平面，所以， 在直角中，，有， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 2．（25内蒙古高一下月考）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2. (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明平面，进而得到平面⊥平面； （2）利用线线垂直证明平面，得到即为与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 即平面⊥平面； （2）连接，由（1）知，平面，平面， 所以，因为，，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角， 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 3．（25重庆朝阳中学高一下月考）如图，在棱长为2的正方体中，点E，H分别为棱BC，的中点，点M为棱上的动点（含端点）. (1)求三棱锥的体积； (2)当平面平面时，求直线AM与平面所成角的余弦值.    【答案】(1).； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等体积法求出体积. （2）利用面面平行的性质可得点重合，再利用定义法求出线面角的余弦值. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，平面， 由点E，H分别为棱BC，的中点，得四边形是矩形，又点M在棱上， 则，所以三棱锥的体积. （2）由平面平面，平面平面，平面平面， 得，而，即四边形为平行四边形，， 则直线重合，即点重合，连接，连接， 则分别是矩形边中点，令，为中点，    由平面，平面，得，而， 而平面，因此平面， 是与平面所成的角，而， 而，则，所以所求的余弦值为. 二、线面角——间接：等体积法 【归纳总结】公式法（等体积法）求线面角 步骤：①用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离。 具体做法为：以斜线上平面外的点为顶点，平面上的多边形为底面构造三棱锥，通过换底法，利用三棱锥体积不变性，已知其他面的面积和高，反推点到平面的距离。 ②利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 4．（25天津河西区高一下期末）如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为 ；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】做辅助线，分析可知直线与EF所成角为（或其补角），即可得结果；利用等体积法求点C到平面DEF的距离，进而可求线面夹角. 【详解】连接， 因为E、F分别为BC，的中点，则∥， 可知直线与EF所成角为（或其补角）， 又因为，可知为等边三角形， 可得，所以直线与EF所成角的大小为； 设正方体的边长为2，点C到平面DEF的距离为， 因为， 则的面积， 又因为，即，解得， 所以直线CD与平面DEF所成角的正弦值为. 故答案为：；. 5．（25重庆巴蜀高一下期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点. (1)求证：平面 (2)已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理得到平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求得线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点M，连接， 在中，由于为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，为对边中点，所以 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为，所以， 那么以B为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立坐标系，如图所示， 则， 所以 不妨设平面的一个法向量为， 由可得，不妨令，那么， 则， 设为直线CE与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（25天津南开区高一下期末）如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值.    【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行； （2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直； （3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可. 【详解】（1）四边形是菱形，则是中点的同时也是中点， 分别为的中点， 是的中位线，， 平面，平面， 平面. （2），是中点，等腰三角形三线合一，， ，，是等边三角形， 是中点，等边三角形三线合一，， ，平面， 平面， 平面， 故平面平面. （3）解法一：由题意，, 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则， 设交于点O，连接PO， 则点O为底面的中心，平面ABD， 由正三角形的性质可得，所以, 由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为， 又平面APD，平面APD，所以平面APD， 所以点C到平面PAD的距离也为， 所以直线与平面夹角的正弦值 解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，易知，，，，，，，， 再设，由，，，可得： ，解得， 即，， 设平面的法向量， ，，， 解得， 设直线与平面夹角为， ， 故直线与平面夹角的正弦值为. 三、二面角——定义法 【归纳总结】定义法求二面角 1.根本思路：先通过定义确定哪个角是所求二面角的平面角，再放于三角形中利用勾股定理、正余弦定理等进行求解 2.找二面角的常用辅助线方法： ①在交线上取特殊点，再连接该点与两个面内的点，证明连接的两条线分别于交线垂直 ②在交线的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． ③过其中一个面内的一点作交线的垂线，得到垂足，过垂足在另一个面内再做一次交线的垂线或连接另一个面内的特殊点，证明垂直 （直接） 7．（25重庆巴川高一下期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. （先做一个垂直，连接垂足点与另一面的特殊点，证明连接线与交线垂直） 8．已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． (1)若D为中点，求证：． (2)若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】（1）由D为中点，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）①在由，得到得到长，由余弦定理求得，得到所以为等腰三角形，且，再由，证得平面，得到，过点作，证得，得到为平面和平面所成的平面角，在直角中，求得，即可得到答案； ②以为原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心为，求得球心的坐标为，半径为，再由为的中点，得到，当与过点的截面垂直时，此时截得面积最小，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图（1）所示，在等腰中， 因为，且D为中点，可得，即， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：①在等腰中，，，可得， 因为，可得，即， 在中，由余弦定理得 ，所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，即， 又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面， 因为平面，且平面平面，所以平面， 又因为平面，所以， 如图所示，过点作，因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面和平面所成角的平面角， 在直角中，可得， 在直角中，可得，所以， 所以平面和平面所成角的正弦值为 ②以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图(3)所示， 则， 设三棱锥的外接球的球心为， 则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为， 球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为， 所以球心的坐标为，半径为， 又由为的中点，可得,则， 当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小， 设所截小圆的半径为，则， 所以过E作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值. 【练习】（25广西高一下期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由（1）知平面，得到，再由，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）过点作，分别证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得的长，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：在等边中，因为为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面，且平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）证明：由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，因为，可得，可得， 在直角中，由，可得， 则满足，所以， 因为，且平面，所以平面. （3）解：过点作，垂足为， 由（2）知平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，由，可得， 又由（1）知平面，且平面，所以 ， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以二面角的正切值为. （先做一个垂直，再通过线面垂直证另一个垂直） 9．（25天津河西区高一下期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面，，，，，，，G为BC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在平面BED内找到直线，使 ，即可证直线平面. （2）在三角形中，由余弦定理可证，又平面平面ABCD，可证平面AED，从而可得平面平面AED． （3）过点A作，，连接MN，可证即为二面角A-BE-D的平面角，根据边角关系可计算得，即可得到二面角A-BE-D的正切值． 【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OE，OG， 在中，G为BC的中点，，且， 又，，，且， 即四边形OGFE是平行四边形，， 又平面BED，平面BED，所以平面BED． （2）证明：在中，，，， 由余弦定理可得，进而，即， 又平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面， 则平面AED，又平面BED，所以平面平面AED． （3）过点A作，，连接MN， 由（2）知平面平面AED，平面平面， 平面BED，又，， 即为二面角的平面角， 在中，，，，由余弦定理得， ，，， 在直角三角形BDE中，，，，， 又，， ，所以二面角的正切值． 【练习】（25贵州黔南高一下期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将沿BD翻折至，且，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求点A到平面的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由矩形可知，，又， 所以，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）由，可得， 由（1）知平面，所以， 又，所以， 所以，解得； （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为，连接， 由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 又，所以，解得， 又平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值． （利用截面先找交线） 10．（25河南南阳高一下期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，E，F分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出线线平行，进而应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）应用勾股定理得出外接球半径，进而应用球的表面积公式计算求解； （3）应用线面垂直的判定定理证明平面，再应用二面角定义得出为平面与平面所成角，再计算边长即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接如图（1）， 因为是的中点，所以且 因为是的中点，底面为矩形，所以且， 所以且，则四边形为平行四边形，所以 又因为平面平面PCD，所以平面PCD. （2）因为平面，平面，所以. 在Rt中，，所以 由已知，所以， 所以，即为直角三角形，为斜边， 由此可知，三棱锥的外接球的球心为线段的中点，半径为， 故外接球的表面积为 （3）因为底面为矩形，所以， 又平面， 所以平面. 如图（2），延长交于点，连接，则为平面与平面的交线， 过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成锐二面角的平面角 因为，所以， 又因为，所以. 因为， 所以，解得 在中，， 所以，即， 即平面与平面所成锐二面角的大小为 四、二面角——三垂线法 【归纳总结】三垂线法求二面角的平面角 步骤：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 【注意】选填小题中，找到角之后就可以放于对应直角三角形中直接求解，但解答题，必须先根据二面角的定义进行证明说明，再代入数据求解 11．（25重庆朝阳高一下月考）在直三棱柱中，侧棱长为2，，且，D为中点，则二面角的正切值为 . 【答案】 【来源】重庆市朝阳中学等“大一联盟”2024-2025学年高一下学期5月联考 数学试题 【分析】作出二面角的平面角，利用几何法求出正切值. 【详解】在直三棱柱中，取中点，连接， 由D为中点，得，而平面，则平面， 又平面，则，过作于，连接， 由平面，于是平面，而平面， 因此，是二面角的平面角， 由，得，，而， 所以二面角的正切值. 故答案为： 12．（25贵州遵义高二下期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点. (1)证明： 平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到 ，即可得证； （2）在平面内过作于点，由面面垂直的性质得到平面，再过作于点，连接，则得即为所求，最后由锐角三角函数计算可得． 【详解】（1）取的中点，连接，， 又是的中点，所以 且， 又 且， 所以 且， 所以四边形为平行四边形， 所以 ，又平面，平面， 所以 平面． （2）由平面平面， 在平面内过作于点，由平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 又为等腰直角三角形，所以为的中点， 取中点为，连接，，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 则得即为二面角的平面角， ， 所以， 所以， 故二面角的余弦值为． 【练习】（25湖北武汉高一下期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. (1)若平面.证明：； (2)若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】（1）由题意可求出，进而可知，由题可知所以可证平面，再由线面平行的性质定理可得，进而平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）（i）利用面面直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，进而可证；（ii）先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】（1）在中， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，. （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. （ii）由（i）知，， ，，. 如图： 过点作于点，再过点作于点，连接， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， ， ， 又， ． 由（i）知平面， 平面，， ， 又， ，， 在中，． 即二面角的正弦值为. （联合中位线） 13．如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面BDE； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交BC于点O，连接DO，先证，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明，由线面垂直的判定定理可得平面，即，然后由线面垂直的判定定理即可证明平面； （3）设正三棱柱底边边长为2a，取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH，由二面角的定义可得即为所求二面角的平面角，通过三角形中的边角关系即可求解. 【详解】（1） 设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）在正三棱柱中，且， 又，，可得正方形，故， 因为D，E分别是AC，的中点，所以，故得； 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面BDE，故平面； （3） 设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点F，连接AF，取CF中点G，连接DG，过G作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 因平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为D为AC中点，G为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 则即为所求二面角的平面角， 因， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在中，， 则， . 即二面角的正切值为. （先找交线） 14．如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点．求： (1)求直三棱柱外接球球O的表面积； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设是等边三角形，结合棱柱的结构特征求其外接球的半径，进而求其表面积； （2）由等体积法，结合棱柱的体积公式求点面距； （3）在平面中，延长、，使得，连接，由线面角定义有即为平面与平面所成的角，进而求其余弦值. 【详解】（1）由题设，易知是等边三角形． 设三角形，三角形的外心分别是、， 直三棱柱的外接球半径是R， 由题意知，，， ∴， ∴直三棱柱外接球的表面积为． （2）由题意知，，， ∴，， 设点到平面的距离为d，且点到平面的距离为3， ∴， ∴， ∴． （3）在平面中，延长、，使得，连接， ∵直三棱柱中，M为的中点， ∴， ∴． 又直三棱柱中，平面， ∴即为平面与平面所成的角． 在中，，， ∴， 平面与平面所成角的余弦值是． 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$