精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第二学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥市第十一中学 命题教师：孙邦国 审题教师：詹步创 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再一一分析各选项范围内导数正负情况即可得解. 【详解】由题得， 对于A，当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A不符合； 对于B，当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B不符合； 对于C，当时，所以函数在上单调递减，故C不符合； 对于D，当时，所以函数在上单调递增，故D符合； 故选：D 2. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 3. 已知圆，则直线与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系. 【详解】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 4. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 【答案】C 【解析】 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 5. 2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 6. 已知函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“导函数符号为正，则原函数单调递增，导函数符号为负，则原函数单调递减”分析求解即可. 【详解】由图可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，，当时，，且. 对于函数，当时，， 当时，，当时，， 且当时，，当时，，显然选项C符合， 故选：C. 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 10.6 D. 9.4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据去掉的两组数据发现样本中心点没变，求出新的回归直线方程，将代入即可求得. 【详解】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案. 【详解】∵， 构造函数，， 令，则， ∴在上单减， ∴， 故，所以在上单减， ∴， ∵， 构造函数，， 令，则， ∴在上单减， ∴， 故，所以在上单减， ∴， 故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】ABC 【解析】 【分析】依据卡方值结合小概率值的独立性检验思想即可得解. 【详解】由题，所以根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关”， 即有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，故选项D正确，其余都是错误的． 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11. 给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ） A. 存在，使得恒成立 B. C. 对任意，总存在，使得 D. 对任意，总存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知求出、即可判断A；利用累加法结合错位相减法求和求出，即可判断B，结合数列的单调性判断C，求出及的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 则， 显然当时，恒成立，故A正确； 对于B：由，得， 当时， 即， 于是， 两式相减得， 因此，显然满足上式，则，故B正确； 对于C：由， 所以数列是递增数列，则有最小值，无最大值， 当时，不存在，使得，故C错误； 对于D，，由选项B得， 显然数列是递减数列，且， 因此当时，不存在，使得成立，故D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】依据正态分布的对称性得a，关于对称即可求解. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知a，关于对称， 所以，解得. 故答案为： 13. 有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，再考虑考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，利用捆绑法与间接法可求得结果. 【详解】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素， 然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法. 接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑， 其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序， 此时共有种排法. 综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法. 故答案为：. 14. 已知F是抛物线C：的焦点，A是抛物线C的准线与x轴的交点，B是抛物线C上一点，则当取得最大值时，直线AB的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分B与原点重合和B与原点不重合两种情况分析求出最大值时即可求解. 【详解】易知，， 当B与原点重合时，， 当B与原点不重合时，设（），则. 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 当时，直线AB的方程为即， 当时，直线AB的方程为即， 所以直线AB的方程为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； （2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 【答案】（1）相关系数，考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解； （2）根据二项分布概率公式求解概率，即可得分布列． 【小问1详解】 ， 接近考试成绩和错题订正整理情况得分高度相关． 【小问2详解】 考试成绩低于样本平均数的概率记为， 则 x 0 1 2 3 4 p 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点A，分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且．证明直线m过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点． 【解析】 【分析】（1）由焦距和焦点三角形的周长求出，得椭圆C的方程； （2）设直线l方程为，代入椭圆方程，设，韦达定理表示出根与系数的关系，由，得，利用斜率公式结合韦达定理化简得，可得直线l过定点. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，由题意知，解得c＝2． 由椭圆的定义知，的周长为，∴，故． ∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线l：，， 把直线方程代入椭圆方程，整理可得， ，即，∴． ∵，M，N都在x轴上方，且，∴． ∴，即． 将代入， 整理可得，又， 即，整理可得， ∴直线l为．∴直线l过定点． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 17. 如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. （1）证明：. （2）已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：翻折前，在中，，翻折后，有，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）翻折前，在中，，翻折后，有，，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立； （2）由二面角的定义可得，然后以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为二面角为，，， 所以，二面角的平面角为， 以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、. ，，，. 设，，其中， 设平面的法向量为， 由得， 取，可得， ，解得，合乎题意， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. （1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； （2）求第一次取出的是白球的概率； （3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【小问1详解】 记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. 【小问2详解】 所以第一次取到白球的概率为. 【小问3详解】 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时， ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【小问1详解】 当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. 【小问2详解】 由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出，则将原不等式等价转化为证明，再设新函数，利用导数求出其最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第二学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥市第十一中学 命题教师：孙邦国 审题教师：詹步创 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 3. 已知圆，则直线与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 4. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（ ） A. 2.015 B. 2.023 C. 2.031 D. 2.083 5. 2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 10.6 D. 9.4 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B. 在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C. 若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D. 有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 11. 给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ） A. 存在，使得恒成立 B. C. 对任意，总存在，使得 D. 对任意，总存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 13. 有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 14. 已知F是抛物线C：的焦点，A是抛物线C的准线与x轴的交点，B是抛物线C上一点，则当取得最大值时，直线AB的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩作为样本，得到样本数据，其中和分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得． （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩和错题订正整理情况得分的相关程度； （2）已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数．利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的个数为X，求随机变量X的分布列． 附：相关系数． 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点A，分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且．证明直线m过定点，并求出该定点的坐标． 17. 如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. （1）证明：. （2）已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 18. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. （1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； （2）求第一次取出的是白球的概率； （3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $