24.3 正多边形和圆课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆 人教版 九年级上册 学习目标 1.理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形； 2.了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念；3.会计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积． 观察这些图片，你能否看到正多边形？ 情境导入 正多边形与圆有什么关系呢？ 探究一：从旧知识过渡到新知识 活动2 整合旧知 等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 4 认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充。 探究二：等分圆周，正多边形的有关概念 活动1 为什么等分圆周就能得到正多边形呢？ 重点、难点知识★▲ 我们现以正五边形为例进行证明。 同理可证： ∴ 五边形ABCDE是正五边形。 ∵A、B、C、D、E在⊙O上， ∴五边形ABCDE是圆内接正五边形。 如图， 5 思考、交流自己的见解，进行作图，方法不限。 ②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图2。 探究二：等分圆周，正多边形的有关概念 活动2 如何三等分圆周呢？ 重点、难点知识★▲ （1）度量法： ①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图1。 图1 图2 6 新知讲解 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 7 C A B D E 正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 新知讲解 ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 ⌒ ⌒ 5 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. ⊙O是五边形ABCDE的外接圆. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 新知讲解 证明：连结OA、OB、OC， 则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. A B C D E P Q R S T O 把圆分成5等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点构成五边形求证：这个五边形是圆的外切正五边形. 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA ⌒ ⌒ ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. A B C D E P Q R S T O 把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 总结归纳 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且 这两个圆是同心圆. 当堂练习 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 . 3 4. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值） 14 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， 则半径为 ∴⊙O的面积为 ∴正方形的边长AB=2. 新知讲解 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性， 所以会画正多边形应是学生必备能力之一. 怎样画一个正多边形呢？ 已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. 120 ° ①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°． A O C B 16 新知讲解 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形. 17 新知讲解 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形. 18 拓广思考 　　如何作出圆内接正方形呢？ 19 拓广思考 　　还可以怎么作正六边形和正方形呢？ 20 拓广思考 　　类比，如何作出圆内接正八边形呢？ 21 $$