广东省深圳市高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

深圳市高级中学 2024-2025 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：黄克之、雷蕾、李浩宾 审题人：张延伟、王冠 本卷共计19题，满分150分，用时120分钟 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合，则 A． B． C． D． 2. 设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 的展开式中的系数为 A．6 B．-6 C．12 D．-12 4. 曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5. 一次期中数学考试成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于125的概率为 A． B． C． D． 6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是 A. B. C. D. 7. 学校开展数学学科周活动，从高二（1），（2），（3），（4）班各选两名同学组成一个8名同学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级，则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为 A． B． C． D． 8. 已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图是由5个样本数据得到的散点图，根据这5个样本数据建立y关于x的经验回归方程.下列说法正确的是 A．样本数据，，，，的平均数为4 B．去掉后，残差平方和变小 C．经验回归直线经过点 D．相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱 10．已知正数a，满足，则下列说法正确的是 A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 11．已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是 A． B．方程所有根的和为 C．是周期为4的周期函数 D．线段与的图象有6个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.________ 13. 定义在上的奇函数满足，且，则________. 14.互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有1，例如1和4，21和25分别都只有公因数1，所以1和4，21和25分别都是互质的. 2160的不同的正因数有____个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了30人，得到如下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 (1)在样本中的8名女生中随机选取2人，求这2人中至少有1人是近视的概率； (2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为小于男生的近视率，所以甲认为男生更容易近视.请根据小概率值的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 16.已知函数在处取到极值. (1)求a； (2)设，求的最小值. 17.已知函数(且)的图象过点. (1)求a； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得， (i)求和的解析式； (ii)求不等式的解集. 18.有n个不同的球和n个编号为1到n的盒子（每个盒子都能装下至少n个球），现将n个球随机地放入这n个盒子里，记为空盒子的个数. (1)若，设 “1号盒子为空”，求； (2)若，求X4的分布列和期望. (3)若X，Y为随机变量，则. 证明：. 19.(1)实数x，y满足，将y表示为关于x的函数，并求该函数的值域； (2)已知函数，是否存在实数a，使得x也是关于y的函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由； (3)实数x，y满足，求区间I，是y为关于x的函数的充要条件. 高二年级期末考试 数学试题 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二年级期末考试 数学试题 第 1 页 共 4 页 深圳市高级中学 2024-2025 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 命题人：黄克之、雷蕾、李浩宾 审题人：张延伟、王冠 本卷共计 19 题，满分 150 分，用时 120 分钟 一、单项选择题：本题共 8道小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 集合 }3,2,1{},412|{ =−= NxxM ，则 =NM  A．{1,2,3} B．{2,3} C．{3} D． 2. 设 Rx ，则“ 0=x ”是“ 0sin =x ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 3(2 1)x − 的展开式中 2x 的系数为 A．6 B．-6 C．12 D．-12 4. 曲线 y x= 在点 (4,2)处的切线方程为 A． 2 0x y− − = B． 6 0x y+ − = C． 4 4 0x y− + = D． 4 12 0x y+ − = 5. 一次期中数学考试成绩 X服从正态分布 ( )2110,N  .若 ( ) 395 125 5 P X  = ，则从参加这 次考试的考生中任意选取 3 名考生，至少有 2 名考生的成绩高于 125 的概率为 A． 9 125 B． 13 125 C． 44 125 D． 81 125 6. 设函数 ( ) 1 1 f x x x = + + ，则下列函数中为奇函数的是 A. 1)1( +−xf B. 1)1( ++xf C. 1)1( −−xf D. 1)1( −+xf 7. 学校开展数学学科周活动，从高二（1），（2），（3），（4）班各选两名同学组成一个 8 名同 学的志愿者小队，老师从中随机选择四名同学协助工作，已知有两名同学来自同一个班级， 则另外两名同学不是来自同一个班级的概率为 A． 5 2 B． 5 4 C． 15 8 D． 9 8 8. 已知函数 2)( 2 −++= − axeexf xx ， 0)( xf 在R 上恒成立，则实数 a的取值范围是 A． ]0( ，− B． ]01[ ，− C． )1[ +− ， D． )0[ +， 高二年级期末考试 数学试题 第 2 页 共 4 页 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．如图是由 5 个样本数据(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2,⋯ ,5)得到的散点图，根据这 5 个样本数据建 立 y关于 x的经验回归方程 ˆ ˆy bx a= + .下列说法正确的是 A．样本数据 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x 的平均数为 4 B．去掉 ( )3,10D 后，残差平方和变小 C．经验回归直线 ˆ ˆy bx a= + 经过点 (4, 6.8) D．相关系数 r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱 10．已知正数 a，b 满足 2 4a b+ = ，则下列说法正确的是 A． ab的最小值是2 B． 2 2a b+ 的最小值是 16 5 C． 1 1 a b + 的最小值是 3 2 2 4 + D． a b ab + 的最小值是2 11．已知函数 ( )f x 为R 上的奇函数，当0 2x  时， 3( ) 3f x x x= − ，且 ( )f x 的图象关 于点 ( )2,2 中心对称，则下列说法正确的是 A． (3) 6f = B．方程 ( ) 5f x = 所有根的和为12 C． ( ) ( )g x f x x= − 是周期为 4 的周期函数 D．线段 16 3 , [ 2,10] 9 y x x= +  − 与 ( ) [ 2,10]y f x x=  − 的图象有 6 个交点 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12. 1 3 9 1 log 3 8   − + =    ________ 13. 定义在R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( ) ( )2f x f x− = ，且 ( ) ( )11 10 1f f+ = − ，则 ( )1f = ________. 14.互质是数论中一个基础概念，指的是两个整数公因数只有 1，例如 1 和 4，21 和 25 分别都只有公因数 1，所以 1 和 4，21 和 25 分别都是互质的. 2160 的不同的正因数有 ____个，从中选取两个不同的正因数，这两个数互质的概率为_______. 高二年级期末考试 数学试题 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 某学习小组为了研究性别与近视之间是否有关联，在年级随机选取了 30 人，得到如 下列联表： 性别 近视 合计 不近视 近视 男 5 17 22 女 2 6 8 合计 7 23 30 (1)在样本中的 8 名女生中随机选取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人是近视的概率； (2)小组成员甲通过计算发现女生的近视率为 3 4 小 于男生的近视率 17 22 小，所以甲为为男 生更容易近视.请根据小概率值 0.1 = 的独立性检验，分析甲的说法是否正确？ α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + 16.已知函数 ( ) ln a f x x x = + 在 1x = 处取到极值. (1)求 a； (2)设 ( ) ( ) 2g x f x x= + ，求 ( )g x 的最小值. 17.已知函数 ( ) ( )log 2af x x= + ( 0a  且 1a  )的图象过点 3 2 2 2, 2   −    . (1)求 a； (2)当 ( )2,2x − 时，存在偶函数 ( )g x 和奇函数 ( )h x ，使得 ( ) ( ) ( )f x g x h x= + ， (i)求 ( )g x 和 ( )h x 的解析式； (ii)求不等式 ( ) ( )g x h x 的解集. 高二年级期末考试 数学试题 第 4 页 共 4 页 18.有 n个不同的球和 n个编号为 1 到 n的盒子（每个盒子都能装下至少 n个球），现将 n个球随机地放入这 n个盒子里，记 nX 为空盒子的个数. (1)若 2n = ，设 A= “1 号盒子为空”，求 ( )P A ； (2)若 4n = ，求 X4的分布列和期望. (3)若 X，Y为随机变量，则 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y+ = + . 证明： ( )n n E X e  . 19.(1)实数 x，y满足 2 1 0xy x y− + + = ，将 y表示为关于 x的函数，并求该函数的值域； (2)已知函数 2xy e ax= − ，是否存在实数 a，使得 x也是关于 y的函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，说明理由； (3)实数 x，y满足 2 2 3 1 0 4 x y xy y+ + + = ，求区间 I，x I 是 y为关于 x的函数的充要条 件. ! ! ! 深圳市高级中学 2024-2025 学年第二学期期末考试 高二数学（答题卡） ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 一、选择题 （1-8单选题每题 5分，9-11多选题每题 6分，共 58分 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ! A A A A A A A A A A A ! B B B B B B B B B B B ! C C C C C C C C C C C ! D D D D D D D D D D D ! 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把正确答案填在答题卡中横线上） ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 ! ! 条形码粘贴处 不要超出此方格 缺考标志 学 号 姓 名 班 级 试室号 座位号 1. 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。主观题作 答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 2. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 3. 在每页考生信息框中填写姓名及考生号。 4. 务必填写学号和在右侧粘贴考号条形码。 注 意 事 项 命题人：黄克之、雷蕾、李浩宾 审题人：张延伟、王冠 12． ； 13． ； 14． ； . 请勿在此处作答或做任何标记 15.（本题满分 13分） ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ! ! 16． （15 分） 17． （15 分） ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3 ! ! 学 号 姓 名 班 级 试室号 座位号 条形码粘贴处 不要超出此方格 18． （17 分） 19． （17 分） 深圳市高级中学 2024-2025 学年度第二学期期末考试数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D C B A D D ABC BCD ABC 三、填空题 12. 0 13. 1 14. 四、解答题 15.(1)8名女生中，有6名近视，2名不近视，设X为近视的人数 则 所以这2人中至少一个是近视的概率为. …………5分 (2)零假设性别与是否近视无关 根据列联表数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为性别与是否近视无关，甲同学的说法不正确. …………13分 16.(1) 处取到极值，所以，得 代入得时，，时，，符合题意 综上 …………6分 (2) 令， 时，，单调递减，时，，单调递增 所以 …………15分 17.(1) …………3分 (2)(i)因为为偶函数，为奇函数 由 所以 …………10分 (ii)，即 即 因为，即， 即 得 所以不等式的解集为 …………15分 18.(1)1号盒子为空，则两个球都放入了2号盒子 所以 …………3分 (2)X4的可能取值为0,1,2,3 分布列为 X4 0 1 2 3 P …………9分 (3)每个盒子空的概率为 设，则 则 因为，所以 即 令，，当，单调递增 当，单调递减，所以，即时，，所以，得 所以 …………17分 19.（1）由题意得 ， 函数值域为 …………3分 （2）若x是关于y的函数，则对于任意的y，都只有唯一确定的x与之对应 所以对任意的t，方程最多只有一个实数根 …………4分 设 (i)时，，可得，所以x是y的函数 …………5分 (ii)时，令，得 ，单调递减，，单调递增，所以 …………7分 1 当，即时，是单调增函数，所以最多只有1个解，符合题意 …………8分 2 当，即时 由，，所以， ，所以， 当，单调递增，当，单调递减，当，单调递增 设，所以在单调递增 ， 所以，使得，即 所以方程有两个实数根和，不合题意 …………9分 (iii)时，，单调递增 因为，，所以， 且，单调递减，，单调递增 设，所以在单调递减 因为， 所以，所以，，即 所以方程有两个实数根0和，不合题意 …………10分 综上a的取值范围是 …………11分 （3）若存在I，当时，y是关于x的函数，则对，关于y的方程有且仅有唯一实数根 …………12分 令 令，得 …………13分 ， (i)时，在和单调递增，在单调递减 所以的极小值为，且， 所以方程有且仅有1个解 …………14分 (ii)时，，符合题意 …………15分 (iii)时，在和单调递增，在单调递减 因为的极大值，所以仅在的极小值为，即时，方程只有1个解，又，所以方程有且仅有1个解 …………16分 综上t的范围为，所求区间为，当时，y是关于x的函数. …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$深圳市高级中学2024-2025学年度第二学期期末考试数学参考答案 二、选择题 题号1 2 6 8 10 11 答案C A D B D D ABC BCD ABC 三、填空题 12.0 47 13.1 14. 390 四、解答题 15.(1)8名女生中，有6名近视，2名不近视，设X为近视的人数 则P(X21)=1-P(X=0)=1- C_27 28 所以这2人中至少一个是近视的概率为 2 …5分 (2)零假设H。:性别与是否近视无关 根据列联表数据，计算得x 30×(5×6-17×2)}2 30 <2.706 22×8×7×23 1771 根据小概率值=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为性别 与是否近视无关，甲同学的说法不正确。 …13分 16.0f"(x)=1g=x-a Γxx2-x2 x=1处取到极值，所以f'(1)=0,得a=1 代入得0<x<1时，f'(x)<0,x>1时，f'(x)>0,符合题意 综上a=1 …6分 ()g(x)=hx+l+2x 8-日2-212- x2 令g(x)=0,x=1 2 0<x<时.g(<0,g单调递减>时g(>0,g单调递明 所以g(x)=g =3-n2 …15分 170:f(25-2=1g25-月 .a=2 …3分 (2)①因为g(x)为偶函数，(x)为奇函数 f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) 由f(x)=g(x)+h(x) 所以g的-f儿+f_1bg,+2+loex+2-og.l4-r) 2 2 x-f国.g+2-+3- 2+x …10分 2 (g(x)().o:() .2+x 即4-x2 2+x 2-x 因为x∈(-2,2)，即(2-x}≥1， 即2-x≥1 得-2<x≤1 所以不等式的解集为(-2，刂 …15分 18.(1)1号盒子为空，则两个球都放入了2号盒子 所以P(4)= …3分 (2)X的可能取值为0,1,2.3 )-C)-Ci(ci) 21 4416 7 64 Px=-g 分布列为 X 0 1 2 3 P 3 9 21 1 32 16 64 64 E(X)=0× 3+1 0 3 +2 +3×1-81 …9分 3 16 64 6464 8海个金子空的新率为p少-1- 1,号盒子为空 设Y= 0,号盒子非空 则Pg=1=p= 则g=+o-]-- 因为X。=y+y++Y,所以E(X)=E()+E(Y)++E(Y) 即x)=1 令到=h+到，了到x1,当xe(-10列0，)单速 当x∈(0，+o),f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)x=f(0)=0,即x≠0时， l+k,所n}去利-付 所以E(X)<” …17分 e 19.(1)由圈意得y=X-=1-3 x+2 x+2 :、3 中70，∴y1 .函数值域为(-n,1)U1,+o) ……3分 (2)若x是关于y的函数，则对于任意的y,都只有唯一确定的x与之对应 所以对任意的t,方程e-x2=t最多只有一个实数根 …4分 设f(x)=e-ar2 ∴.f'(x)=e-2a ∴f"(x)=e-2a )a=0时，y=e,可得x=ny,所以x是y的函数 ……5分 i)a>0时，令f"(x)=0,得x=ln(2a) x∈(-n,n(2a),f"(x)<0,f'(x)单调递减，x∈(n(2a,+∞，f"(x)>0,f'(x) 单调递增，所以f'(x)mn=f'(n(2a)=2a-2al血(2a） …7分 ①当f八(x)≥0，即0<a≤号时，f(x)是单调增函数，所以e-a2=1最多只有1 个解，符合题意 …8分 ②当f'(x)<0,即a>e时 由f'(0)=1>0,f'(n(2a)<0,所以3a∈(0，n(2a),f'(a)=0 f'(2a)=e2a-(2a)°>0，所以3Be(n(2a),2a,f'(B)=0 当x∈(-n,a),f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(a,B),f'(x)<0,f(x)单调递 减，当x∈(B,+o),f'(x)>0,f(x)单调递增 设E(x)=f(x)-f（),所以(x)在(-o,a)单调递增 E(a)=f(a）-f(B)>0,E(-p)=eB-e°<0 所以x∈(-B,a),使得E(s)=0,即f(x)=f(B) 所以方程e-a2=f(B)有两个实数根B和x,不合题意 …9分 na<0时，f"(x)>0,f'(x)单调递增 因为f'(0)=1>0,f =e<0，所以3e 2a f'()=0 且xe(-n,t),f'(x)<0,f(x)单调递减，xe(1,+o),f'(x)>0,f(x)单调递增 设E(x)=f(x)1,所以E(x)在(-0，)单调递减 因为f0<fo1.f人月-1> 所以E()<0, 日>0，所 E(s)=0,即fx)=1 所以方程e-c2=1有两个实数根0和x,不合题意 …10分 综上a的取值范围是 …11分 (3)若存在I,当xeI时，y是关于x的函数，则对x=1∈I,关于y的方程 ++了+1=0有且仅有唯一实数根 …12分 令p)=y+02++1 4 po=3420+听-02w+8+f)-+M2+9 令p'(y)=0,得片=- …13分 6 01<0时。o)在（以君）台网单调递，在（名分）单调远该 所以o)的服小值为0-1>0.且1-)=r-121+16k0.9名》0 所以方程P()-0有且仅有1个解y（-1-) …14分 ()t=0时，p(y)=y+1,符合题意 …15分 a的1>0时，)在(0号引利名+单调递增，在（行君）单润递减 因为)的极大位号引-1>0.所以收在)的展小值为君司-1号 >0, 即0<1<3刘时，方程)0只有1个解又p(1-少=-任+等+之小0：所以 方程)=0有且仅有1个解5-1-到 ……16分 综上1的范围为(-0,32)，所求区间为1=（-0,32)，当x∈1时，y是关于x的函数 …17分 !! ( 1 2 ． ； 1 3 ． ； 1 4 ． ； . ) ( 请勿在此处作答或做任何标记 ) ( 学 号 姓 名 班 级 试室号 座位号 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。 主观 题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 在每页考生信息框中填写姓名及考生号。 务必填写学号和在右侧粘贴考号条形码。 注意事项 ) ! 深圳市高级中学2024-2025学年第二学期期末考试 ( 命题人： 黄克之、雷蕾、 李 浩宾 审题人： 张延伟、王冠 )高二数学（答题卡） ( 条形码粘贴处 不要超出此方格 ) ( 缺考标志 ) ( 15 . （本题满分 1 3 分） ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 一、选择题 （1-8单选题每题5分，9-11多选题每题6分，共58分 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ! A A A A A A A A A A A ! B B B B B B B B B B B ! C C C C C C C C C C C ! D D D D D D D D D D D ! 二、填空题（本大题共3小题，每小题 5分，共15分。请把正确答案填在答题卡中横线上） ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ( 16 ． （ 1 5分） ) ( 17 ． （ 1 5分） ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ! ! ! ( 学 号 姓 名 班 级 试室 号 座位号 ) ( 条形码粘贴处 不要超出此方格 ) ( 19 ． （ 1 7分） ) ! ( 18 ． （ 1 7分） ) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3 ! ! 学科网（北京）股份有限公司 $$