精品解析：广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷 2025.7 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合B，再求交集即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由知角在第二象限，所以，结合以及解出即可. 【详解】因为，所以角在第二象限，则， 由 ① ② 联立解得：， 故选：D. 4. 若是夹角为的两个单位向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 6. 已知是三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面的位置关系以及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则，故是充分条件， 反之，若，，则或与相交，故不是必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数的定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 8. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，则（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及相关性质，结合古典概型概率公式逐项分析即可. 【详解】A选项：由， 则有，所以， 即，故A不正确； B选项：因为，所以， 又， 所以，所以， 故B选项不正确； C选项：由，， ， 所以， 所以事件与相互独立故C正确； D选项：因为， , 所以，， 由事件与相互独立， 所以， 故D选项不正确， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A，根据幂函数的单调性可判断C，取特殊值可判断BD. 【详解】因为，所以，故A正确； 当，，时，，，，故B错误； 因为在单调递增，所以，故C正确； 当，，时，，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接计算即可判断A；化简的表达式，即可求函数的最小正周期，判断B；代入验证可判断C；根据三角函数的图象平移变换结合诱导公式化简可判断D. 【详解】因为，故，A正确； 又，则最小正周期为，B正确； ，则的图象不关于点对称，C错误； 把函数图象向右平移个单位,得到函数的图象， 而，D正确， 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点的位置再进行证明；C选项作出二面角的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知， 平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合坐标表示垂直可得. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知圆台上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体积. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【详解】根据余弦定理得，因为，所以， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求得参数，反过来验证一下即可； （2）将不等式进行变形，结合指数函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意的定义域为且是奇函数，故，解得， 当时，， 此时，且的定义域为， 所以此时是上的奇函数， 故满足题意； 【小问2详解】 ， 所以满足的的取值范围为. 16. 为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示. 质量指标值 频数 20 30 30 10 10 （1）求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； （2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2）0.4 【解析】 【分析】（1）根据面积之和为1，求得，根据平均数的计算公式进行计算并比较大小即可得解； （2）应在中抽取件，记这三件产品为，在中抽取件，记这两件产品为，结合古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得， 甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：， 乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：， 所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小； 【小问2详解】 从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品， 则应在中抽取件，记这三件产品为， 在中抽取件，记这两件产品为， 则再这5件产品中随机抽取2件进行分析， 抽到的组合可能为：，共10种可能， 这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能， 故所求为. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，点为BC中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）先利用面面垂直的性质定理得平面，进而利用线面垂直的性质和判定定理得平面，根据线面角定义可知所求角为，在直角三角形中由长度关系求解即可. 【小问1详解】 连接，交于，连接，四边形为平行四边形，所以为中点， 又点为BC中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，点为BC中点，所以， 又平面平面，平面平面，， 又平面，所以平面， 取的中点为，连接， 由题意，则， 由平面，平面，得， 因为，且平面，所以平面， 所以直线AC与平面所成角即为，平面，， 设，则，所以， 在中，，即直线AC与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由，为，边上的中线即可得出答案 （2）由，两边平方，设，化简计算后即可得出答案 （3）由是重心，得出，再由（2）即可得出答案 【小问1详解】 因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 【小问2详解】 因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 【小问3详解】 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）求的值域； （3）当时，，求的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由由，可得，结合二次函数性质即可求得答案； （2）令，化简可得，分类讨论，讨论对称轴和已知区间的位置关系，即可求得答案； （3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得的不等式，继而求得答案. 【小问1详解】 时，， 由，得， 而， 当时，取最小值， 故 【小问2详解】 ， 令，则， 当时，在上单调递减， 则，， 故函数值域为； 同理，当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 故函数值域为； 综上可得，当时，值域为； 当时，值域； 当时，值域为， 当时，值域为. 【小问3详解】 当时，易知； 当时，，则，； 因此当时，由（2）知，即， 由于，所以， 故， 则； 当时，则，即， 即， 由于，所以， 所以， 故； 当时，则，即， 即， 由于，所以， 所以， 故； 当时，，则，； 当时，由（2）知，即， 由于，所以， 所以， 故； 综合上述可知当时，取到最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷 2025.7 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是夹角为的两个单位向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B为样本空间中两个随机事件，其中，，则（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则___________. 13. 已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 14. 在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 16. 为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示. 质量指标值 频数 20 30 30 10 10 （1）求频率分布直方图中值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； （2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，点BC中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线AC与平面所成角的正弦值. 18. 在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）求的值域； （3）当时，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $