山东省潍坊中学2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题

高二下学期期末模拟 数 学 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1．样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．现有2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为0.9，且互不影响，则2台机床都不需要照看的概率为（    ） A．0.81 B．0.9 C．0.1 D．0.09 3．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 4．甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图： 下列说法正确的是（    ） A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小 B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小 C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小 D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大 5．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 6．已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 7．如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.杨辉三角有很多有趣的性质，例如，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.在如图所示的杨辉三角中，记实线上的数1，3，6，10，…构成数列，即第2行第3个数是，第3行第3个数是，第4行第3个数是，第5行第3个数是，…第行第3个数是，则（    ） A． B． C． D． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确（    ） （参考数据：，，） A． 配重的平均数为 B． C． D．10000使用该器材的人中，配重超过的有135人 10．某校有名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他名同学的成绩单位：分分别为，若这名同学的平均成绩为，则下列结论正确的是（    ） A．甲同学的竞赛成绩为 B．这名同学竞赛成绩的方差为 C．这名同学竞赛成绩的第百分位数是 D．从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为 11．以码的方式在信道内发送位码数据流，前位为信息码，最后一位为奇检验码，使得位码数据流中的个数为奇数，如若信息码为，则检验码为，所发送数据流为.每位码信号的传输相互独立，发送时，收到的概率为，收到的概率为.接收方收到数据后，若数据流中的个数是偶数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则（    ） A．位码数据流传输无误的概率为 B．接收方要求重新发送该数据的概率为 C．若所接收数据流中的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为 D．若所接收数据流中的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 13．在的展开式中，含项的系数为 ． 14．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16.（本小题满分15分）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 17.（本小题满分15分）在二项式的展开式中 (1)若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项； (2)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中系数最大的项． 18.（本小题满分17分） 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8）的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 164 176 165 168 182 体重 60 72 77 72 55 （近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （1）现从这8名员工中选取2人进行复检，求至少一人值“正常”的概率. （2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在部分体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为的员工体重为.计算得到的其他数据如下：，. ①求的值及表格中体重的平均值； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为增加为，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为的员工的体重. （附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，. 19.（本小题满分17分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 期末模拟试卷 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$期末模拟试卷 第 1 页 共 6 页 高二下学期期末模拟 数 学 一､单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.） 1．样本数据为 2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除 a后的新数据与原数据平均数相同， 则 a为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．现有 2台机床，已知每台机床不需要照看的概率均为 0.9，且互不影响，则 2台机床都不需 要照看的概率为（ ） A．0.81 B．0.9 C．0.1 D．0.09 3．已知 na 是公差不为零的等差数列， 1 2a   ，若 3 4 6, ,a a a 成等比数列，则 10a （ ） A． 20 B． 18 C．16 D．18 4．甲、乙两人进行了 10轮的投篮练习，每轮各投 10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折 线图： 下列说法正确的是（ ） A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小 B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小 C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小 D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大 5．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从 初中部和高中部两层共抽取 60名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400名和 200名学生， 则不同的抽样结果共有（ ）． 期末模拟试卷 第 2 页 共 6 页 A． 45 15400 200C C 种 B． 20 40 400 200C C 种 C． 30 30 400 200C C 种 D． 40 20 400 200C C 种 6．已知数列 na 是公差为 2的等差数列，且 4 73a a ，则数列 na 的前 20项之和为（ ） A．80 B．208 C．680 D．780 7．如果今天是星期一，则 5555 天后是（ ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.杨辉三角有很多有趣的性质，例如，三角形的两个 腰上的数都是 1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.在如图所示的杨辉三角中，记实线上的 数 1，3，6，10，…构成数列 na ，即第 2行第 3个数是 1 1a  ，第 3行第 3个数是 2 12 3a a   ， 第 4行第 3个数是 3 23 6a a   ，第 5行第 3个数是 4 34 10a a   ，…第  1n 行第 3个数是 na ，则 1 2 2024 2025 1 1 1 1 a a a a      （ ） A． 2024 2025 B． 4048 2025 C． 2025 2026 D． 2025 1013 二､多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 9．坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的 坐式高拉训练器锻炼人群的配重 X（单位：kg）符合正态分布  27.5,4N ，下列说法正确（ ） （参考数据：   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        ，  3 3 0.9973P X        ） A．配重的平均数为 27.5kg B． (23.5 29.5) 0.8186P X   C． 2  D．10000使用该器材的人中，配重超过33.5kg的有 135人 10．某校有5名同学参加国家安全知识竞赛，甲同学得知其他 4名同学的成绩 (单位：分 )分别 期末模拟试卷 第 3 页 共 6 页 为80,84,86,90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是（ ） A．甲同学的竞赛成绩为 95 B．这5名同学竞赛成绩的方差为26.4 C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.6 11．以0 /1码的方式在信道内发送5位0 /1码数据流，前 4位为信息码，最后一位为奇检验码， 使得5位0 /1码数据流中1的个数为奇数，如若信息码为1100，则检验码为1，所发送数据流为 11001 .每位0 /1码信号的传输相互独立，发送  0,1k k  时，收到1 k 的概率为  0 1   ，收 到 k的概率为1  .接收方收到数据后，若数据流中1的个数是偶数个，则数据传输错误，要求 重新发送该数据，则（ ） A．5位0 /1码数据流传输无误的概率为  51  B．接收方要求重新发送该数据的概率为   51 1 2 2   C．若所接收数据流中1的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为     5 5 2 1 1 1 2      D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为  41  三､填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．已知等比数列 na 为严格增数列，其前 n项和为 ,nS 若 1 10 8a a a ， 4 1 21 4 S S  ，则该数列的 公比为 ． 13．在 832 )12(...)12()12(  xxx 的展开式中，含 2x 项的系数为 ． 14．小桐操场跑圈，一周 2次，一次 5圈或 6圈.第一次跑 5圈或 6圈的概率均为 0．5，若第一 次跑 5圈，则第二次跑 5圈的概率为 0．4，6圈的概率为 0．6；若第一次跑 6圈，则第二次跑 5圈的概率为 0．6，6圈的概率为 0．4．小桐一周跑 11圈的概率为 ；若一周至少跑 11圈为动量达标，则连续跑 4周，记合格周数为 X，则期望 ( )E x  四､解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 期末模拟试卷 第 4 页 共 6 页 15.（本小题满分 13 分）某科技公司 2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数 据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得 到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 3m 170 2n 无需求 m 120 n 已知调查了 400个学校和 150个自由开发者. (1)求m和 n的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：         2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       .  2P k  0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 16.（本小题满分 15 分）已知数列 na 中， 1 4a  ，  11 2 3 2,nn na a n n     N . (1)证明数列 2nna  是等差数列，并求 na 的通项公式； (2)设 2 n n n ab  ，求 nb 的前 n项和 nS ． 17.（本小题满分 15 分）在二项式 1 2 2 n x x      的展开式中 期末模拟试卷 第 5 页 共 6 页 (1)若 n为满足8 12n  的整数，且展开式中有常数项，求 n的值和常数项； (2)若展开式后三项的二项式系数的和等于 46，求展开式中系数最大的项． 18.（本小题满分 17 分） 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用 身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式 是    2 2 kg :m BMI  体重 单位: 身高 单位 .中国成人的BMI数值标准为： 18.4BMI  为偏瘦；18.5 23.9BMI  为正常；24 27.9BMI  为偏胖； 28BMI  为肥胖.为了解某公司员工的身体质量指数，研究人 员从公司员工体检数据中，抽取了 8名员工（编号 1~8）的身高  cmx 和体重  kgy 数据，并计 算得到他们的 BMI值（精确到 0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高  cm 164 176 165 168 182 体重  kg 60 72 77 72 55 BMI（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （1）现从这 8名员工中选取 2人进行复检，求至少一人BMI值“正常”的概率. （2）某调查机构分析发现公司员工的身高  cmx 和体重  kgy 之间有较强的线性相关关系，在 部分体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程 为  0.5y x a  ，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为 71kg .计算得到的其他数据 如下： 170x  ， 8 1 89920   i i i x y . ①求 a的值及表格中体重的平均值 y； 期末模拟试卷 第 6 页 共 6 页 ②在数据处理时，调查员乙发现编号为 8的员工体重数据有误，应为增加8kg为 63kg，身高数 据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的 员工的体重. （附：对于一组数据  1 1,x y ， 2 2,x y ，…， ,n nx y ，其回归直线  y bx a  的斜率和截距的最 小二乘法估计分别为： 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx         ， a y bx   . 19.（本小题满分 17 分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继 续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙 每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1次投篮的人是甲、乙的概率各 为 0.5． (1)求第 2次投篮的人是乙的概率； (2)求第 i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量 iX 服从两点分布，且    1 1 0 , 1,2, ,i i iP X P X q i n       ，则 1 1 n n i i i i E X q           ．记前 n次（即从第 1次到第 n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求  E Y ． 答案第 1页，共 11页 高二下学期期末模拟数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C D B B D ABC AB 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据平均数的定义代入计算可得结果. 【详解】删除 a后的新数据的平均数为  1 12 3 4 4 5 5 6 7 9 45 5 9 9            ， 则原数据的平均数也为 5，因此数据总和为 50，所以可得 45 50a  ， 解得 5a  . 故选：C 2．A 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求出. 【详解】2台机床都不需要照看的概率为0.9 0.9 0.81  ， 故选：A. 3．C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列 na 的公差为  , 0d d  ， 因为 3 4 6, ,a a a 成等比数列，且 1 2a   ， 所以 2 4 3 6a a a ，即     22 3 2 2 2 5d d d       ，解得 2d 或 0d  （舍去）， 所以 10 1 9 2 9 2 16a a d       . 故选：C. 4．C 【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用中位数定义求解判断；C.根据折线图的波动判 断；D.利用极差的定义求解判断. 【详解】解：甲的数据：8,10,9,6,7,9,6,9,10,8 ，乙的数据：9,5,10,5,3,6,4,3,6,10 ， A．甲投中个数的平均数为 8 10 9 6 7 9 6 9 10 8 8.2 10           ， 答案第 2页，共 11页 乙投中个数的平均数为 9 5 10 5 3 6 4 3 6 10 6.1 10           ，故错误； B. 甲的数据从小到大排序为： 6,6,7,8,8,9,9,9,10,10 ，则中位数为 8 9 8.5 2   ， 乙的数据从小到大排序为：3,3,4,5,5,6,6,9,10,10 ，则中位数为 5 6 5.5 2   ，故错误； C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标 准差小，故正确； D.甲投中个数的极差为 10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误， 故选：C 5．D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 40060 40 600   人，高中部共抽取 20060 20 600   ， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 40 20 400 200C C 种. 故选：D. 6．B 【分析】根据题意求出等差数列 na 的首项，可得到通项公式以及前 n项和，再根据通项公 式判断出前 20项中，前 8项为负数，后 12项为正数，故所求数列的前 20项之和为 20 82S S ， 代入计算即可得到答案. 【详解】因为  4 7 1 13 3 3 6a a a d a d     ，即  1 13 2 3 6 2a a     ，解得 1 15a   ， 所以 17 2na n   ，前 n项和   215 16 2 17 2 n n S n n n      ， 所以数列 na 的前 20项中，前 8项为负数，后 12项为正数， 所以 1 2 20 1 2 8 9 10 20 20 82a a a a a a a a a S S                 2 220 16 20 2 8 16 8 208        . 故选：B． 7．B 【分析】根据二项式定理计算 5555 被 7除余数后即可求解. 答案第 3页，共 11页 【详解】55 55 55 0 55 0 1 54 1 54 1 54 55 0 5555 55 55 55(56 1) C 56 ( 1) C 56 ( 1) C 56 ( 1) C 56 ( 1)           0 55 0 1 54 1 54 1 54 55 55 55C 56 ( 1) C 56 ( 1) C 56 ( 1) 1        ， 而 0 55 0 1 54 1 54 1 54 55 55 55C 56 ( 1) C 56 ( 1) C 56 ( 1)      为 7的倍数， 故 5555 被 7除余数是 6，所以 5555 天后是星期日. 故选：B. 8．D 【分析】利用二项式展开式的第三项二项式系数记为  2 1 1 C 2n n n n a     ，然后通过裂项相 消法求和即可. 【详解】由杨辉三角结合二项式系数可知：  2 1 1 C 2n n n n a     ， 所以   1 2 1 12 1 1na n n n n        ， 即 1 2 2024 2025 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 2 2 2024 2025 2025 202 1 6a a a a                                     1 20252 1 2026 1013        ， 故选：D. 9．ABC 【分析】根据配重 X （单位： kg）符合正态分布  27.5,4N ，可得 27.5, 2   ，结合正 态分布的性质逐个分析判断即可 【详解】因为配重 X （单位： kg）符合正态分布  27.5,4N ， 所以 27.5, 2   ， 所以配重的平均数为 27.5kg 所以 AC正确， 对于 B，因为 27.5, 2   ， 所以 (23.5 29.5)P X  ( 2 )P X        ( 2 2 ) ( ) 2 2 P X P X                 答案第 4页，共 11页 0.9545 0.6827 0.8186 2 2    ，所以 B正确， 对于 D，因为 ( 33.5) ( 3 )P X P X      ( 3 3 )0.5 2 P X         0.99730.5 0.00135 2    ， 所以 10000使用该器材的人中，配重超过33.5kg的有 0.00135 10000 13.5 14   （人），所以 D错误， 故选：ABC 10．AB 【分析】根据判平均数的计算公式，可判定 A正确；利用方差的公式，可判定 B正确；利 用百分位数的计算方法，可判定 C错误；根据竞赛成绩高于平均成绩的概率为 0.4 ，可判定 D错误． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 A中，设甲的成绩为 x， 则有 1 ( 80 84 86 90) 87 5 x      ，解可得 95x  ，所以 A正确； 对于 B中，甲的成绩为 95，则这5名同学竞赛成绩的方差 2 2 2 1 [(95 87) (80 87) 5 s     2 2 2(94 87) (86 87) (90 87) ] 26.4       ，所以 B正确； 对于 C中，五人的成绩从小到大排列，依次为：80、84、86、90、 95， 因为5 40% 2  ，则其第 40百分位数是 1 (84 86) 85 2   ，所以 C错误； 对于 D中，五人的成绩中，高于平均分的有 2人， 则从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为 2 0.4 5  ，所以 D错误． 故选：AB． 11．ABC 【分析】利用独立事件的概率公式可判断A选项；设接收方要求重新发送该数据的概率为 P， 不用重新发数据的概率为Q，利用独立重复试验的概率公式可得出  5 1 1 2 P Q P Q         ，求 出 P，可判断 B选项；利用条件概率公式可判断 CD选项. 【详解】对于 A选项，每位数据码传输正确的概率均为1  ，传输错误的概率为 ， 答案第 5页，共 11页 由独立事件的概率公式可知，5位0 /1码数据流传输无误的概率为  51  ，A对； 对于 B选项，设接收方要求重新发送该数据的概率为 P，不用重新发数据的概率为Q， 接收方要求重新发送该数据，意味着数据码在传输时传错的数码的个数为5或3或1， 则    2 40 5 2 3 45 5 5C C 1 C 1P             ，      3 51 4 3 2 55 5 5C 1 +C 1 +C 1Q            ， 所以，  51 1P Q       ，①        55 50 5 1 4 55 5 5C C 1 C 1 1 1 2P Q                         ，② ①②得  52 1 1 2P    ，则   51 1 2 2 P    ，B对； 对于 C选项，由①②可得  52 1 1 2Q    ，则   51 1 2 2 Q    ， 记事件 :A 所接收数据流中1的个数是奇数个，事件 :C 信息码传输正确， 则     51 1 2 2 P A    ， 事件 AC意味着，数据流前四位是正确的，最后一位也是正确的， 所以，    51P AC   ， 由条件概率公式可得              5 5 5 5 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 P AC P C A P A              ， 所以，若所接收数据流中1的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为     5 5 2 1 1 1 2      ，C对； 对于 D选项，记事件 :B 所接收数据流中1的个数是偶数个，则     51 1 2 2 P B    ， 事件 BC意味着数据流前四位是正确的，最后一位是错误的， 则    41P BC    ， 由条件概率公式可得              4 4 5 5 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 P BC P C B P B                ，D错. 答案第 6页，共 11页 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率  P B A 的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算  P A 、  P AB ； （3）代入公式求      P AB P B A P A  . 12． 4 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列 na 的公比为 q，由 1 10 8a a a ，则 9 71 1 1a a q a q ，解得 21a q ， 由 4 1 21 4 S S  ，则   4 1 1 1 21 1 4 a q a q     ，代入上式可得   4 2 2 1 1 21 1 4 q q q q     ， 去分母可得 4 3 24 21 21 4 0q q q q    ，易知 0q  ， 可得 3 24 21 21 4 0q q q    ，分解因式可得    1 4 1 4 0q q q    ， 易知 1q  ，解得 1 4 q  或 4， 当 1 4 q  时， 1 16a  ，则 1 3116 4 4 n n na         ，单调递减，不合题意. 故答案为： 4 . 13．64 【分析】应用二项式定理，写出原式中各二项式展开式的含 2x 项，即可得该项的系数. 【详解】在 2 3 8(2 1) (2 1) (2 1)     Lx x x 的展开式中， 含 2x 项为 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 22 3 4 5 6 7 8C (2 ) C (2 ) C (2 ) C (2 ) C (2 ) C (2 ) C (2 )x x x x x x x      ， 则含 2x 项的系数为 4 (1 3 6 10 15 21 28) 64        . 故答案为：64 14． 0.6 3.2 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑 11圈为事件 A，设第一次跑 5圈为事件 B，设第二次跑 5圈为事件C， 则          | | 0.5 0.6 0.5 0.6 0.6P A P B P C B P B P C B       ； 答案第 7页，共 11页 若至少跑 11圈为运动量达标为事件D，        | 0.6 0.5 0.4 0.8P D P A P B P C B      ， 所以  4,0.8X B ，   4 0.8 3.2E X    ； 故答案为：0.6；3.2 15．(1) 100, 50m n  (2) 19 28 ； (3)有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【分析】（1）根据题意列出关于 m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【详解】（1）由题得 3 400 100 2 150 50 m m m n n n          ； （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为 300 170 100 19 400 290 150 28 P      ； （3）列出2 2 列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设 0H ：学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得  22 840 300 170 100 270 11200 17.863 6.635 400 440 570 270 627            ， 根据小概率值 0.01  的独立性检验，推断 0H 不成立， 所以有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 16．(1)证明见解析， 2 3 1nna n   (2) 3 55 2n n nS n    【分析】（1）利用已知条件转化推出 2nna  是以 2为首项，3为公差的等差数列，然后求 答案第 8页，共 11页 解通项公式； （2）化简 2 n n n ab  ，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当 2n  时， 1 11 12 3 2 2 3 n n n n n na a a           ， 所以，  112 2 3n nn na a     ， 又 1 4a  ，所以 1 2 2a   ， 故 2nna  是以 2为首项，3为公差的等差数列， 故  2 2 1 3 3 1nna n n       ，所以， 2 3 1nna n   ． （2） 2 3 1 3 11 2 2 2 n n n n n n a n nb       ， 所以， 2 2 2 5 3 1 2 5 3 11 1 1 2 2 2 2 2 2n n n n nS n                                   ， 令 2 2 5 3 1 2 2 2n n nT     ，① 则 2 3 1 1 2 5 3 1 2 2 2 2n n nT      ，② ①②得： 2 3 1 1 3 3 3 3 11 2 2 2 2 2n n n nT         ， 1 1 1 1 11 4 2 3 1 5 3 51 3 1 2 2 21 2                     n n n n n ，故 3 55 2n n nT   ， 所以， 3 55 2n n nS n    ． 17．(1) 9n  ，常数项为 6 39C 2 672  ； (2) 3 3 7 5 2 2 7 1 9C 2 1152T x x     ， 8 7 3 3 8 1 9C 2 1152T x x     . 【分析】（1）首先写出通项公式，根据展开式中存在常数项，得到 3 0 2 r n  ，根据 n的取 值范围，即可求解 ,n r，再求常数项； （2）根据二项式系数的性质求 n，再代入不等式法求系数最大的项，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式   3 2 2 1 1C 2 C 2 2 n r rr nr r r n r n nT x xx              ， 因为展开式有常数项，所以 3 0 2 r n  ，8 12n  ， 所以 9n  时， 6r  ，满足条件， 10,11n  时， r不是正整数，不满足条件， 答案第 9页，共 11页 所以 9n  ，常数项为 6 39C 2 672  ； （2）展开式的后三项的二项式系数和前三项的二项式系数和一样， 所以 0 1 2C C C 46n n n   ，所以  1 1 46 2 n n n     ，整理为： 2 90 0n n   ， 解得： 9n  ，或 10n   （舍）， 设 91 2 2 x x      中第 1r  项的系数最大，第 1r  项为   9 3 92 9 2 1 9 9 1C 2 C 2 2 r rrr r r rT x xx              ， 所以系数为 2 9 9C 2 r r ， 则 2 9 1 2 11 9 9 2 9 1 2 7 9 9 C 2 C 2 C 2 C 2 r r r r r r r r               ，             2 9 2 11 2 9 2 7 9! 9!2 2 ! 9 ! 1 ! 10 ! 9! 9!2 2 ! 9 ! 1 ! 8 ! r r r r r r r r r r r r                     ， 得 2 2 2 1 10 1 2 9 1 r r r r         ，解得：7 8r  ，且 Nr ， 所以 7r  或8， 则系数最大的项为 3 3 7 5 2 2 7 1 9C 2 1152T x x     ， 8 7 3 3 8 1 9C 2 1152T x x     . 18．（1） 25 28 ；（2）①  19 a ； 66y ；②  0.8 69y x  ；75kg . 【解析】（1）直接由古典概型概率计算公式求解； （2）①把 180x  ， 71y  代入线性回归方程求 a，再由样本点的中心一定在回归直线上求 y； ②求出更正后的b与 a的值，可得更正后的线性回归方程，则答案可求. 【详解】解：（1）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有 5人， 则从这 8名员工中选取 2人进行复检，至少一人 BMI值“正常”的概率 2 3 2 8 251 28 CP C    ； （2）①根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为 71kg， ∴ 71 0.5 180 a   ，得  19 a . ∵样本点的中心一定在回归直线上，∴ 0.5 170 19 66y     ； ②由①知更正前的数据 170x  ， 66y ， 答案第 10页，共 11页 ∵   8 1 8 22 1 8 0.5 8 i i i i i x y x y b x x          ， ∴ 8 8 2 2 1 1 8( ) 2 8i i i i i x x x y x y             2 (89920 8 170 66) 320      ， 更正后的数据 170  x x ， 66 8 8 67 8    y ， 8 8 8 8 1 1 1 8 182 8i i i i i i i i i x y x y x x y              ，8 8 ( 1) 8 8 170x y x y x y       ， ∴     88 11 8 82 2 2 2 1 1 182 8 (8 8 170)8 8 8( ) i ii i ii i i i i x y x yx y x y b x xx x                          960.5 0.8 320    ， 故  67 0.8 170 69a y bx        . 当 180x  时，  0.8 180 69 75y     . ∴预估一名身高为180cm的员工的体重为75kg . 【点睛】本题考查古典概型及其概率的求法，考查线性回归方程的计算及应用，考查运算求 解能力，是中档题. 19．(1)0.6 (2) 11 2 1 6 5 3 i       (3) 5 2( ) 1 18 5 3 n nE Y            【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设  i iP A p ，由题意可得 1 0.4 0.2i ip p   ，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第 i次投篮的人是甲”为事件 iA，“第 i次投篮的人是乙”为事件 iB， 所以，              2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1| |P B P A B P B B P A P B A P B P B B     0.5 1 0.6 0.5 0.8 0.6      . （2）设  i iP A p ，依题可知，   1i iP B p  ，则 答案第 11页，共 11页              1 1 1 1 1| |i i i i i i i i i i iP A P A A P B A P A P A A P B P A B        ， 即    1 0.6 1 0.8 1 0.4 0.2i i i ip p p p        ， 构造等比数列 ip  ， 设  1 2 5i i p p     ，解得 1 3    ，则 1 1 2 1 3 5 3i i p p        ， 又 1 1 1 1 1, 2 3 6 p p   ，所以 1 3i p     是首项为 1 6 ，公比为 2 5 的等比数列， 即 1 11 1 2 1 2 1, 3 6 5 6 5 3 i i i ip p                   ． （3）因为 11 2 1 6 5 3 i ip         ， 1,2, ,i n   ， 所以当 *Nn 时，   1 2 21 1 5 25 126 3 18 5 31 5 n n n n nE Y p p p                         ， 故 5 2( ) 1 18 5 3 n nE Y            ． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式， 然后根据数列的基本知识求解． 高二下学期期末模拟数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C D B B D ABC AB 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据平均数的定义代入计算可得结果. 【详解】删除a后的新数据的平均数为， 则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得， 解得. 故选：C 2．A 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求出. 【详解】2台机床都不需要照看的概率为， 故选：A. 3．C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 4．C 【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用中位数定义求解判断；C.根据折线图的波动判断；D.利用极差的定义求解判断. 【详解】解：甲的数据：，乙的数据：， A．甲投中个数的平均数为， 乙投中个数的平均数为，故错误； B. 甲的数据从小到大排序为：，则中位数为， 乙的数据从小到大排序为：，则中位数为，故错误； C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确； D.甲投中个数的极差为10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误， 故选：C 5．D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 6．B 【分析】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案. 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 7．B 【分析】根据二项式定理计算被7除余数后即可求解. 【详解】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 8．D 【分析】利用二项式展开式的第三项二项式系数记为，然后通过裂项相消法求和即可. 【详解】由杨辉三角结合二项式系数可知：， 所以， 即， 故选：D. 9．ABC 【分析】根据配重（单位：）符合正态分布，可得，结合正态分布的性质逐个分析判断即可 【详解】因为配重（单位：）符合正态分布， 所以， 所以配重的平均数为 所以AC正确， 对于B，因为， 所以 ，所以B正确， 对于D，因为 ， 所以10000使用该器材的人中，配重超过的有 （人），所以D错误， 故选：ABC 10．AB 【分析】根据判平均数的计算公式，可判定A正确；利用方差的公式，可判定B正确；利用百分位数的计算方法，可判定C错误；根据竞赛成绩高于平均成绩的概率为，可判定D错误． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A中，设甲的成绩为， 则有，解可得，所以A正确； 对于B中，甲的成绩为，则这名同学竞赛成绩的方差 ，所以B正确； 对于C中，五人的成绩从小到大排列，依次为：、、、、， 因为，则其第百分位数是，所以C错误； 对于D中，五人的成绩中，高于平均分的有人， 则从这名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，所以D错误． 故选：AB． 11．ABC 【分析】利用独立事件的概率公式可判断A选项；设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为，利用独立重复试验的概率公式可得出，求出，可判断B选项；利用条件概率公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，每位数据码传输正确的概率均为，传输错误的概率为， 由独立事件的概率公式可知，位码数据流传输无误的概率为，A对； 对于B选项，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为， 接收方要求重新发送该数据，意味着数据码在传输时传错的数码的个数为或或， 则， ， 所以，，① ，② ①②得，则，B对； 对于C选项，由①②可得，则， 记事件所接收数据流中的个数是奇数个，事件信息码传输正确， 则， 事件意味着，数据流前四位是正确的，最后一位也是正确的， 所以，， 由条件概率公式可得， 所以，若所接收数据流中的个数是奇数个，则信息码传输正确的概率为，C对； 对于D选项，记事件所接收数据流中的个数是偶数个，则， 事件意味着数据流前四位是正确的，最后一位是错误的， 则， 由条件概率公式可得，D错. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 12． 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 13．64 【分析】应用二项式定理，写出原式中各二项式展开式的含项，即可得该项的系数. 【详解】在的展开式中， 含项为， 则含项的系数为. 故答案为：64 14． 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 若至少跑11圈为运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 15．(1) (2)； (3)有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【详解】（1）由题得； （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为； （3）列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 16．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 17．(1)，常数项为； (2)，. 【分析】（1）首先写出通项公式，根据展开式中存在常数项，得到，根据的取值范围，即可求解，再求常数项； （2）根据二项式系数的性质求，再代入不等式法求系数最大的项，即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式， 因为展开式有常数项，所以，， 所以时，，满足条件，时，不是正整数，不满足条件， 所以，常数项为； （2）展开式的后三项的二项式系数和前三项的二项式系数和一样， 所以，所以，整理为：， 解得：，或（舍）， 设中第项的系数最大，第项为，所以系数为， 则，， 得，解得：，且， 所以或， 则系数最大的项为，. 18．（1）；（2）①；；②；. 【解析】（1）直接由古典概型概率计算公式求解； （2）①把，代入线性回归方程求，再由样本点的中心一定在回归直线上求； ②求出更正后的与的值，可得更正后的线性回归方程，则答案可求. 【详解】解：（1）由表中的数值可知，8名员工中数值为“正常”的员工有5人， 则从这8名员工中选取2人进行复检，至少一人值“正常”的概率； （2）①根据回归方程预估一名身高为的员工体重为， ∴，得. ∵样本点的中心一定在回归直线上，∴； ②由①知更正前的数据，， ∵， ∴， 更正后的数据，， ，， ∴， 故. 当时，. ∴预估一名身高为的员工的体重为. 【点睛】本题考查古典概型及其概率的求法，考查线性回归方程的计算及应用，考查运算求解能力，是中档题. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$