精品解析：山东省聊城市第四中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

山东省聊城市第四中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出的值. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或. 故选：A. 2. 设，若，则（ ） A. 80 B. 40 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：B. 5. 已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求. 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列， 5人分为：1,1,3，则有种； 5人分为：1,2,2，则有种， 所以一共有种方法； 故选：C. 7. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ） A. ，具有负相关关系，相关系数 B. 每增加一个单位，平均减少个单位 C. 第二个样本点对应的残差 D. 第三个样本点对应的残差 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的绝对值不超过1可得选项A错误；根据回归直线方程可得选项B错误；根据残差的概念可得选项C正确，选项D错误. 【详解】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误； B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误； C.第二个样本点对应的残差，C正确； D.第三个样本点对应的残差，D错误． 故选：C. 8. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的图象及正态分布的对称性即可逐一判断. 【详解】对于A选项，因为，根据对称性，， 所以，故A错误； 对于B选项，因为，根据对称性，， 所以，，故B正确； 对于C选项，由正态分布定义可知，，故C错误； 对于D选项，，故D正确； 故选：BD. 10. 对于二项式，下列说法正确是（ ） A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为 C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的二项式系数和可判断B选项；在二项式中，令，结合所有项的系数和可判断C选项；利用二项展开式的通项可判断D选项. 【详解】对于A选项，展开式的项数为，A错； 对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对； 对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对； 对于D选项，其展开式的第三项为，D错. 故选：BC. 11. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值即可判断选项A，B，D；利用即可判断选项C. 【详解】对于A，， 故， 所以在和上，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 故A错误； 对于D，由A知，函数的极大值为， 极小值， 则，故D正确； 对于B，， 结合函数在的单调性可知：，故B正确； 对于C，， 所以， 故函数图象关于点中心对称，故C正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，种数为2×2=4 ， 所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12 ，因为三个人去的景点不同的种数为3×2×1=6，所以P（A|B）=. 故答案为 13. 以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为________时，容器的容积最大. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，由圆心角得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则， 因此， 则，令 ，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时容积最大， 把代入，得 由，得， 即圆心角为时容积最大. 故答案为： 14. 已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得， 将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有四个根，，，且，则 由图象可知，，， 又，可得，则 则， 由对勾函数的性质知在上单调递增， ，即 即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 长时间近距离看电子产品会影响视力．泉泉调查了某校1000名学生，发现的学生近视；而该校的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为.请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 参考公式及数据：（i）， 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】表格见解析，认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联 【解析】 【分析】补充完善列联表，计算出卡方，与7.879比较后得到结论. 【详解】列联表 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 100 300 400 否 100 500 600 合计 200 800 1000 零假设为：近视与每天近距离看电子产品时间超过1h无关， 根据列联表中的数据，并计算得到 ， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005 16. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项． 问题：已知二项式，若______，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中所有的有理项． 【答案】（1）； （2），，，. 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项； （2）设第项为有理项，，求出即得解. 【小问1详解】 解：选①，由，得（负值舍去）． 选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0． 由得． 选③，设第项为常数项，，由，得． 由得展开式的二项式系数最大为， 则展开式中二项式系数最大的项为． 【小问2详解】 解：设第项为有理项，， 因为，，， 所以， 则有理项为，，，． 17. 一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量，求： （1）质点位于2的位置的概率； （2）随机变量的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为0 【解析】 【分析】（1）抛掷硬币4次后，质点要位于2，则可知4次中向右移动3次，向左移动1次，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知的可能取值为，求出相应的概率，从而可求得的分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可知，抛掷硬币4次后，质点要位于2，则4次中向右移动3次，向左移动1次， 所以质点位于2的位置的概率为； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为，则 ，， ，， ， 所以的分布列为 0 2 4 所以. 18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24 【解析】 【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用回归方程类型. （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=， ∴=563-68×6.8=100.6. ∴关于的线性回归方程为， ∴关于的回归方程为. （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值 =576.6， 年利润的预报值. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值 ， ∴当=，即时，取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大. 19. 函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）对函数求导后，求得在上递增，在上递减，可得，从而可得，然后构造函数，利用导数可求出其范围. 【小问1详解】 当时，（），则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以上递增，在上递减， 所以的最大值为， 即， ， 因为，所以， 所以的最小值为，即， 所以， 令，，则， 令，得或， 所以当时，， 所以在上单调递增， 所以，所以， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省聊城市第四中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4 2. 设，若，则（ ） A. 80 B. 40 C. D. 3. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（ ） A. B. C. D. 6. 北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加且每名学生只能报一个项目，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 7. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ） A. ，具有负相关关系，相关系数 B. 每增加一个单位，平均减少个单位 C. 第二个样本点对应的残差 D. 第三个样本点对应的残差 8. 已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为 C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为 11 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________． 13. 以半径为R，圆心角为α的扇形铁皮为圆锥的侧面，制成一个圆锥形容器.当扇形的圆心角α为________时，容器的容积最大. 14. 已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 长时间近距离看电子产品会影响视力．泉泉调查了某校1000名学生，发现的学生近视；而该校的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为.请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 参考公式及数据：（i）， 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项． 问题：已知二项式，若______，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； （2）展开式中所有的有理项． 17. 一个质点从数轴上的原点0开始移动，通过抛掷一枚质地均匀的硬币决定质点向左或者向右移动.若硬币正面向上，则质点向右移动一个单位；若硬币反面向上，则质点向左移动一个单位.抛掷硬币4次后，质点所在位置对应数轴上的数记为随机变量，求： （1）质点位于2的位置的概率； （2）随机变量的分布列和期望. 18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 1088 表中，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 19. 函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记在区间上最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $