精品解析：】湖北省武汉市新洲区第一中学阳逻校区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

新洲一中2027届高一下学期期末考试数学试卷 考试时间：7月1日 下午 14：20--16：20 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 实部为（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形面积为 4. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点四等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，与平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 6. 若一组数据1，1，，4，5，5，6，7的25百分位数是2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. .设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A. 若确定，则 唯一确定 B. 若确定，则 唯一确定 C. 若确定，则 唯一确定 D. 若确定，则 唯一确定 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D 若，则 10. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 11. 已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 13. 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心. （1）若正四棱锥的高为，求它的表面积. （2）若正四棱锥的外接球的表面积为，求正四棱锥的体积. 17. 为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： （1）求的值； （2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩； （3）试估计此样本数据的第90百分位数. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为中点，为中点，为线段上一点. （1）若为中点，求证：平面； （2）设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若，求的长度. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，. （1）若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； （2）对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中2027届高一下学期期末考试数学试卷 考试时间：7月1日 下午 14：20--16：20 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算后即可得. 【详解】，其实部为. 故选：B. 2. 设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可. 【详解】、是不共线的两个非零向量， 对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不是； 对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是； 对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是； 对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是. 故选：C 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 4. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的四等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱柱与棱台的体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】因为、分别为，靠近点的四等分点， 所以且， 因为，，，， 所以几何体为三棱台， 设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为靠近点的四等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知直线，与平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；线面垂直的性质定理可判断B；线面平行的性质定理可判断C；线面关系可判断D. 【详解】对于A，若，，，，且相交才有，故A错误； 对于B，若，，，则，故B正确； 对于C，若，，，则，或与异面，或a、b相交，故C错误； 对于D，若直线上存在两点到平面的距离相等，则，或与相交，故D错误. 故选：B. 6. 若一组数据1，1，，4，5，5，6，7的25百分位数是2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可． 【详解】这组数据为：1，1，，4，5，5，6，7 因为，所以这组数据的25%分位数为从小到大的顺序的第2个数和第3个数的平均数， 因此，这组数据的25%分位数为，所以． 故选：C． 7. .设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A. 若确定，则 唯一确定 B. 若确定，则 唯一确定 C. 若确定，则 唯一确定 D. 若确定，则 唯一确定 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，对任意实数恒成立， 所以恒成立， 令，所以， 若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值. 故选：B. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用直三棱柱的性质平面，进而可得，设，，结合条件，利用基本不等式求得，再利用直角三角形的性质，求得球的半径，即可求解. 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为. 故选：B. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，是复数，下列说法正确是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设，， 对于选项A：若，则，可得或， 当时，，则； 当时，，不符合题意； 综上所述：，， 所以是纯虚数，故A正确； 对于选项B：例如，则，符合题意， 但，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 可知在复平面内对应的点的坐标为，即， 且在复平面内对应的点的坐标为， 所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于选项D：若，， 则，，满足， 但、的大小无法比较，故D错误． 故选：AC． 10. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ） A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值判断C；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，， 底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 直三棱柱的体积为，故B不正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C正确； 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义， 即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题． 11. 已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理得出，再结合正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，结合角的范围求出的范围即可. 【详解】因，则， 利用正弦定理得，，即， 则， 则， 因，则，则，即， 因，，，则，则， 则，故BC正确；AD错误. 故选：BC 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12. 已知是关于x实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意分析可知也是方程的一个根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】因为是关于x的实系数方程的一个根， 则也是关于x的实系数方程的一个根， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：12. 13. 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 【答案】18 【解析】 【分析】计算各校人数，标记平均值和方差，确定，，计算得到答案. 【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为， 三所学校共有数学强基学生48人， 甲校的数学强基小组人数24； 乙校的数学强基小组人数为16； 丙校的数学强基小组人数8， 把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把所有学生的平均分记为，方差记为． 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，即，解得， ， 即，解得. 故答案为：18. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据面积公式、正弦定理、余弦定理得出是边长为的等边三角形，再结合极化恒等式可求出. 【详解】设， 则，， 则，，得， 因，则，， 利用正弦定理、余弦定理可得，，即， 则是边长为的等边三角形， 取中点， 则 因的最大值为，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 16. 如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心. （1）若正四棱锥的高为，求它的表面积. （2）若正四棱锥的外接球的表面积为，求正四棱锥的体积. 【答案】（1）9 （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在上，由外接球的表面积为，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高的值，再根据体积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以. 【小问2详解】 设外接球半径为，由外接球表面积，可得. 因为底面积，设底面正方形边长为， 则，，底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 根据正四棱锥体积公式，当时，； 当时，. 17. 为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： （1）求的值； （2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩； （3）试估计此样本数据的第90百分位数. 【答案】（1）；（2）众数75，中位数76.7，平均成绩76.2；（3）93.75. 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图面积之和为1，即可求出的值； (2)根据频率分布直方图，每一组的中间值代表该组的数据，即得到可这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩； (3)根据频率分布直方图，求频率在时的分数，即为此样本数据的第90百分位数的估计值. 【详解】(1)根据频率分布直方图得：， 解得. (2)有众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为， ， 前三个小矩形的面积的和为，而第四个小矩形的面积为：， 中位数应位于内，中位数=， 平均成绩为： . (3)前5个小组的频率之和是， 所以第90百分位数在第五小组内，为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为中点，为中点，为线段上一点. （1）若为中点，求证：平面； （2）设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若，求的长度. 【答案】（1）证明见解析； （2）或1. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，易得为平行四边形，即为中点，可得，再由线面平行的判定证结论. （2）取中点，连接，由中点及线面垂直的性质得底面，则为直线与底面所成角，过作于，连接，，利用线面垂直的判定及性质得，则为二面角的平面角，用线段表示出，结合求的长度. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 底面为正方形，为中点， 且， 四边形为平行四边形. 为中点，又为中点， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 取中点，连接. 为线段中点， 且，又底面， 底面， 为斜线在平面内的射影， 则为直线与底面所成角，即，. 过作于，连接，. 底面，底面， ，又，，面， 平面，平面， ， 综上，为二面角的平面角，即，. 由，知，即. 设，，则，，， 由得：， 化简得，解得或，则或1. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，. （1）若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； （2）对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量运算可得，再借助向量平方与结合余弦定理计算可得，最后利用面积公式及基本不等式计算即可得； （2）先假设，，，由题意可得，，，则，不符；则可设，可得，则三个内角中的最小值为. 【小问1详解】 （ⅰ）证明：因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以，所以是等腰三角形； （ⅱ）因为点D满足， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得，又， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以线段的最小值为； 【小问2详解】 若，则或， 若，，，由， 所以，此时， 与矛盾，不符合题意； 不防设，由，所以， 所以，又，， 所以，解得，即三个内角中的最大值为， 余弦函数在上是单调递减函数，所以三个内角中的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $