安徽省县中联盟2024-2025学年高二下学期期末检测数学试题

2024~2025学年第二学期高二期末检测 数学试题 考生注意： 1.满分10分，考试时间120分特 之考生作答时，请将答象答在答题卡上。选择湖身小题选出答常后，用B格笔把答随卡上对应题 日的答发标号涂黑：要选择划请用直径45觉来黑色墨水签字笔在答是卡上各题的答题区战内 作答超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范图：人教成选操性必修第一乐，第二后，第三西。 参考公式：回归直线方程y=x十：中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0 -.q-y-bF 相关系数一 a-(- n(ad-bc) X-u+ca+Ob+其中m=a+b+c十d .05 名14，m5888 一，选择题：本葡共8小题.每小题5分，共0分。在每小藤给出的四个选项中，只有一项是符合圈 目要求的。 L.某商场东面和丙面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门选人商场： 划进入篱场的不同加式共有 A.7种 B.12种 C.14种 D.24种 之已知函数fx)一广，则曲线y一f八)的切线中斜率等于1的切线的条数为 A.1 B.2 C.3 D.不输定 3,过国O2十y一1外的点P(3,2)作O的一条切线，切点为M.则|MP叫一 A.23 h.13 ,2 D,4 4已知二现式(x十〉的展开式中上的系数是10，赐实数： A.=1 B】 C.-2 D.2 5.为了研究y关于工的线性相关美系，收集了五组样本数据（见下表），若已求得一元线性问白方程 y=十034，用下列选项中正确的是 1 3 0.5 0.9 1.1 1.5 【高二期末检渊数学 A.a=0.2 民与y的样本是负相关 C.当x一8时，y的预估值为2.2 D去掉样本点(3,1)后，正与y的标本相关系数，不会政变 G,如图所示，在正方体AD一ABC)中，E为CD的中点，则向量AC在向量D正上的投影 向量是 A CD成 D.DE 乙，已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除碳色外完全相同》， 某学生先从甲箱中随机取出2个球成人乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记从乙箱中取出的 球是黑球”为事件B,则P(B= A品 A ci n &已知双线C后普->0,6>0)的左，右焦点分别为R,R,过下的直线与C在第一象限 交于点P,若P在以F,F:为直轻的圆上，且PE的中点在C的兼近线上，则C的离心形为 A.V2 技√唇 C.2 D.5 二，选择题：本题共3小题，每小题0分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求 全部选对的得6分，部分选对的得都分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A若随机变量X服从两点分布且P(X-0)一，则5X)一 B若陆机变量X一N(4.a)且满足P(X<1)=0.22,P(X3)=0.78.则H=2 C若随机变量X-BC6,号，则P(X-2)-司 D设随机变量X一B(,P),若D(X)3恒成立.则的最大值为12 10.已知数列(a.满足程，ar1a=一64(u∈N,m十ad=a:十a=0,i记数列(@.的前项和为 S。,则下列结论正确的是 A,a=4 且a+a一a C5-2D25 1L.已知函数f(x)=x一扣x十(：∈R),则下列说法正确的是 A.若/(x)有两个零点.则≤一e B若(r)=(x)一f《2一x),期r》无最值 C当a-1时，方程fx)一nx十是有唯一实根 D.若存在x∈(0.十oo,使得f(,)(1一ar十2，则1 卷 第1页（共2页）】 5489B 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 之若精圆E,后+言-1的右焦点为F2,0),则E的长轴长为 13,某校安排4位老角在期术考试的3天值班，发求每人需要值班1天或2天，且每天有两人值庭， 则不同的值班方案有 14.近年来，我同外卖重发感迅延，外卖小哥穿校在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风量线.他们 根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来在于「个外卖店（外卖店的编号分 别为1,2，…，其中≥3)，的定每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等 可能的前往其余一1个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类紫.假设只第2 次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的一1个外卖店取单.段事件A表示第k次取 单恰好是从1号店取单(k∈N)”,P(A,}是事件A发生的每率，显然P(A,)一1，PA)=0,则 PA》= ,P(A+》与P风A)的关系式为 ,(第一空2分.第二空3分》 四，解答题：本髓共3小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤， 15.(本小图满分13分)》 近年来，短视频作为以钱频为线体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中腹盖面越来越 广泛，针对短钱顿的碎片化缺陷，将短视领剪接成长视领势必成为一种新的技能.某机构在网上 随机对100人遗行了一次市场调研，以决策是否开发将短视颗剪接成长筏顿的APP,得到如 下数据： 青年人 中年人 老年人 对知礼境明接发长视赖的AP有雷求 2a十6 200 对短视顿明接成长昆颜的AP印无活求 4+6 150 6 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400。 D求ab的值： (2)根据小概率值：=Q.00]的鞋立性检验，分析对短视策剪接成长视频的APP的需求，青年人 与中老年人是否有差异？ 16.(本小题演分15分) 知图，在三棱接A一CD中，底面△BCD是等接直角三角形，AD⊥底面BD,AD=C=CD =2.M是AD的中点.P是HW的中点.且AG+3C0=. (1)正男：PQ∥平面BD: (2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值. 【高二期末检渊数学 17.(本小题满分15分) 如图，已知直线11y=一3十10与抛物线Cy=2x《>0)交于A,B两点，0为毫标原点，且 04⊥0B. 《1)求抛物线C的方程： (2)若直线与直线！关于y轴对称，试在抛物线C上求一点P,使得点P到直线的距离最 短，并求出最短距离， 18(本小题满分17分) 甲、乙两名操作员对A,B,C三种电子信息传通元件进行袖机连接检测，并制定如下标准：第一 次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任 何一个，若第三次传递后，信息在A元件中，堪该组检测成功，否则该组检测失数.若该组检测 成功，则由原操作员继续操作下一组检满：反之，则由另一操作员按上述规则螺续操作下一组 检测. 《】)求-一组随机连接检测武功的概卓 《2)若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为X,求随机变量 X的分布列与期望： (3)若第1次从乙开始进行连接检测，求第”次由乙操作的概率P. 19.(本小酒分17分) 定文：1，程是函数/(x的两个极值点，若x1十0<f)十/n》,则称fz)为"M函数” (1)若fx)一十F一2为“M函数“，求m的取值范国： (2)已知函数x=。-r-u一1有两个极值点， ①求a的取值花围： ②证明：（x)为“M函数“ 第2项（共2页）】 5489B2024~2025学年第二学期高二期末检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B D C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 1.C 由题意进入商场的不同方式共有4十4+3+3=14种.故选C. 2.B 设切点坐标为(x0,x),由f(x)=x3可得(x)=3.x2,由∫(x)=3.x6=1可得x0= 上，因此曲线y=∫x)的切线中斜率等于1的切线的条数为2，故选B 3.A由题意有|MP|2=|OP|2-2=13-1=12,即1MP1=2√3.故选A. 4.B二项式(x+4)的展开式为C·xr·(ax1)r=a·C·x-r,令5-2r=-1,解得r 7 =3,所以a3·C=10a3=10,a=1.故选B. 5.D x=1+2+3+4+5=3,y-0.5+0.9+1+1.1+1.5=1,所以样本点的中心坐标 5 5 为(3,1)， 将它代入y=a.x+0.34得3a+0.34=1,解得a=0.22,故A错误； 因为a>0,所以x与y的样本是正相关，故B错误； 当x=8时，y的预估值为y=0.22×8+0.34=2.1,故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.故 选D. 6.C设正方体的棱长为1，AB=a,AD=b,AA,=c,则|a=|b1=|c=1,a·b=b·c=c·a =0, AC.-AC-AB+AD-a+b.DE-DD+DE-DD+>DC-c+za. AC.Di-(a+b(e+a)=ac+b:e+a+zab=。=克，Di= √F+-, 向量A,C在向量D上的投影向量是1A,C1os(AC,DD-D应，故选C DE 5 7.D记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件A,(i=0,1,2),根据题意可得P(A)= C 品PA)-e-gPA)g-: P(BA)=吾，P(B1A)=号，P(B1A)=, P(B)=P(Ao)P(BIA)+P(A)P(BIA)+P(A2)P (BIA2 ) 品×+号 号+ 【高二期末检测·数学卷参考答案第1页（共6页）】 5489B 0X20故选D 1×1=7 8.D设FB(c,0),P(mn),渐近线方程为y=士么x,因为P在以 a FF2为直径的圆上，所以PF2⊥PF,因为PF的中点在双曲线的渐 近线上，设PF,的中点为M,则OM∥PF,所以”=-，且 m-c 0 n十c =号解得m。-一公a=2心将P丝地)代人双 曲线的方程可得心2二护1，化简可得41，即有 =5,解得e=√5，故选D. 9.BD对于A,因为随机变量X服从两点分布且P(X=0)=子，所以P(X=1)=, 所以EX)=0X+1×子是，故A错误： 对于B,因为随机变量X一V(4,o2)满足P(X<1)=0.22,P(X<3)=0.78, 所以P(X>3)=PX<1=02,所以A-1士3-2，放B正确： 对于C.因为随机变量X~B(6,,所以P(X=2)=C(号1-'-品，故C结误： 对于D,因为随机变量X~B(n,p),D(X)≤3恒成立，所以D(X)=np(1一p)≤3恒成立， 所以p1-p)=m(p-p)=一n(p-号)+升≤≤3，所以m≤12，故D正确.故选BD. 10.ABD因为4十a2=a十a3=0,所以a=ag=一a2,因为4aa3=-64,即（一a)a2(-a2)=-64, 所以a2=一4，a1=a3=4,故A正确； 因为an+2a+1an=-64(n∈N),所以a+3a+2an+1=-64,所以8,302a-1,即a,+3= aw+24n+14w aw,故B正确： 由am+3=a,可知，数列{an}的周期为3，又a1十a2十a3=4,所以S2o2s=675X (a1十a2十a3)=2700,故C错误； S=n(a1十a十a3)=4,所以S=4,故D正确，故选ABD. 11.BCD对于A,函数f(x)的定义域为(0，十∞)，(x)=1-1=二，令了(x)<0,则0< <1,令f(x)>0,则x>1,所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，十∞)， 所以函数f(x)的极小值为f(1)=1十a,若函数f(x)有两个零点，则a十1<0，解得a<一1， 故A错误； 对于B.若)=x)-f2-).对于函数gx,有9>0解得0<<2，即函数 8x)的定义域为0,2，且fx)=1-1g(x)=∫)-[f2-x)r=2-是2是 =2 x 2-x -+2+-2202 2 (x+2-x) =0,当且仅当x=2一x(0<x<2)时，等号 2 成立，所以函数g'(x)在(0,2)上为减函数，函数g(x)无最值，故B正确； 对于C,当a-1时，方程f)=3nx+是即x一nx+1=3nx+2,即x一 --4In z+1 =0,令u(x)=x-三-4lnx+1,则4(x)=-3)-山(x>0),当x>3或0<x<1 时，(x)>0,当1<x<3时，(x)<0,所以u(x)在(0,1)和(3，十o∞)上单调递增，在(1， 3)上单调递减，所以4(x)极大值=u(1)=一1<0，u(x)极小值=u(3)=3-4ln3<0,4(c) 【高二期末检测·数学卷参考答案第2页（共6页）】 5489B e-3-19>0,所以()在3，十o∞)上有一个零点，所以方程f(x)=3nx+三有唯一实 根，故C正确： 对于D,若存在∈(0，+∞)，使得f()≤1一a)z+2,则a≤2+n,令h(x)= 1+x0 1-Inz-1 2则a(=又x)=a十，令m)=士-hx一1.则m(x)=- 1十x 一1<0，所以m(x)在(0，十∞)上单调递减，又m(1)=0,所以h(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，十o∞)上单调递减，所以h(x)mx=h(1)=1,所以a≤1，故D正确，故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2/10c=2,m2-6=4,m=士√10，长轴长为2√10. 13.90设4位老师分别为甲、乙、丙、丁，由题知，这4人中恰有2人均值班2天，剩下2人均值 班1天，从4人中选2人均值班2天有C一6种选法，下面讨论甲和乙均值班2天的情况： 若甲、乙两人值班的日期都相同，有C=3种不同的结果；若甲、乙两人值班的日期有一天相 同，有CAA=12种不同的结果，所以不同的值班方案有6×(3十12)=90（种）， 14,马PA)=[1-P(A,马 根据题意，事件A表示“第3次取单恰好是从1号店 取单”， 因此PA)=PAA)=P(N)P(AIA)=[1-P(A:)],片，： 同理P(A+1)=P(AA+)=P(A)P(A+1|A)=[1-P(A)门·P(A1|A)=[1一 PA门， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.解：1)由已知得，2+4b)十(a+)二40，西 04……44**4…44…4。 1a+4b=250, 4分 解得a=b=50.…6分 (2)零假设为H。:对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异. …7分 由已知得，如下2×2列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 9分 计算得X-1000XC300X350l00X250》2≈107.711>10.828.. 400×600×450×550 12分 根据小概率值α=0.O01的独立性检验，我们推断H。不成立，所以对短视频剪接成长视频 的APP有需求，青年人与中老年人有差异.…13分 16.(1)证明：在平面BCD内，过点D作DE⊥BD, 由题知，BC⊥CD,BC=CD, 所以∠CDB=45°，所以∠CDE=45°. 因为AD⊥底面BCD,且BD,DE在平面BCD内， 所以AD⊥BD,AD⊥DE, B 所以DB,DE,DA两两垂直，…2分 以D为坐标原点，分别以DB,DE,DA所在直线为x轴、y轴、x轴建 立空间直角坐标系D一xyg如图所示，…3分 【高二期末检测·数学卷参考答案第3页（共6页）】 5489B 则D(0,0,0),A(0,0,2),B(22,0,0).C(2,2,0).M(0,0,1)P(2,0,2),…4分 因为0+3-0.所以Q(3票，3，号》， 5分 所以P0=(-4,32.o, 6分 易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,l),…7分 所以PQ·m=0,所以PQ⊥m, 8分 所以PQ∥平面BCD. 9分 (2)解：由(1)知，AB=(2/2.0,-2),AC=(2,2,-2), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,x), 则A店·n=22x-2x-0, AC·n=√2.x+2y-2x=0, 11分 令x=√2，得x=1y=1,所以n=(1,1,2), 12分 设直线BM与平面ABC所成角为0， 又BM=(-22,0,1)，“ 13分 所以sin0=|cos(Bi,n1=,1Bi·nL=2 |BM·|n3X26 所以直线BM与平面ABC所成角的正弦值为 6 15分 1解：联立210 1分 消去y并整理得9x2-(60+2p)x+100=0, 2分 设A(y),B(x2边)，则1十，=60+22 9 02=100 3分 所以M%=（-31+10)(-3x,+10)=91x2-30(x+2)+100=200-600+202 3 …4分 因为OA⊥OB, 所以0i.0i=1x2+M2=100+200-600+202=0, 9 3 5分 解得力=号， 6分 所以抛物线C的方程为，y=号。 7分 (2)由题知，直线1的方程为y=3x十10，…9分 令直线m平行于直线'，且与抛物线C相切，则切点即为点P 设直线m的方程为y=3x十b, 联立y2-10 , y=3.x+b, 消去y并整理得9x2+(6-)x+=0, a.... 11分 令4=(60) -366=-40b+100-0,解得6=5 Γ18' 12分 所以9x2- 3x+ -0：解得景所以y一3X景+品-， 25 所以点P的坐标为（债，哥）》· 14分 【高二期末检测·数学卷参考答案第4页（共6页）】 5489B 最短距离为d 3x-+10 3510 36 15分 10 18.解：(1)由题知，三次传递所有的传递方法有： A→B→A→B;A→B→A→C；A→B→C→A:A→B→C→B: A→C→A→B;A→C→A→C;A→C→B→A;A→C→B→C, 则共有8种传递方法.第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况， 所以第三次传递后，信息在A元件中的概率为P-号-子， 即一组随机连接检测成功的概率为· …2分 (2)设在前4次检测中，乙操作的次数为X, 依题意，X可取0,1,2,3， 所以PX=0)-()'- P(X=1)-××+××+××是-器， P(X=2)=××+××是+××-器 P(X=3)=×× 3 64 6分 所以X的分布列为 X 0 3 9 64 64 64 6 8分 所以E(X)=0×+1×+2×器+3×是-器 10分 (3)若第1次从乙开始进行连接检测，则第n次由乙操作有两种情况： ①第n一1次由乙操作，第n次继续由乙操作，其概率为P,=P-1(n≥2)；…11分 ②第n-1次由甲操作，第n次由乙操作，其概率为P=(1-)1-P,)=子-子P (≥2)，… 12分 所以P=P,+P,=-P1+子(>2， 13分 所以P.--2（p-1-2）m≥2)… 14分 因为n=1时，P1=1, 所以数列P,一号}是以号为首项，一号为公比的等比数列… 15分 所以P-2-2×() 16分 所以P.=3-(-号)川 17分 【高二期末检测·数学卷参考答案第5页（共6页）】 5489B 19.(1)解：由f(.x)=x3十m.x2-2,求导可得f(x)=3x2+2m.x,…1分 令f(x)=0,解得=0，x2=- 2m 3 2分 由函数f(x)为“M函数”，则x1十x2<0f(x1)十f(x2), 可得0+(-)<0<-2+(-2)+m·（-2)°-2，解得m>3,即m的取值范围为 (3,十∞) …4分 (2)①解：由题可得∫(x)=c-x-a,设g(x)=f(x)=c-x-a,则g'(x)=c-1. 令g'(x)=0,解得x=0, …5分 所以当x∈（一∞，0）时，g(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调 递增， 所以g(x）mn=g(0)=1一a,… …6分 当a≤1时，g(x)=「(x)≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，没有极值点，不符合题意； ……7分 当a>1时，g(x)mm=1-a<0,g(-a)=e“>0,g(a)=e-2a>0, 此时，g(x)=f(x)=一x一a有两个零点p,g,不妨设p<q,则p<0<q 所以当函数f(x)=c-22-ax一1有2个极值点时，a的取值范围是(1，十o∞).…9分 ②证明：由①可得g(x)=f(x)=c一x一a,易知方程g(x)=0存在两个不相等的实 数根， 设为陷，x4,由①不妨设x3<0x4,…10分 令h(x）=g(x)-g(-x)=C2-e1-2x,…11分 求导可得h'(x)=e+ex-2,由e十e≥2，当且仅当x=0时取等号，则h'(x)≥0， 所以函数h(x)在R上单调递增，由h(0)=0,则当x>0时h(x)>0,可得g(x)>g(一x) 由g(x3)=g(x4)>g(一x4),且函数g(x)在（一∞，0）上单调递减，则x3<一x4,可得 十℃1<0；…13分 由当x<x<0时，(x)=g(x)<0,则函数∫(x)在(，0)上单调递减， 由<-x4<0,则f(x3)>f(-x4),所以f(x3)+f(x)>f(-)+f(x4), 要证f(x3)十f(x4)>0,只需证f(一x1)十f(x1)>0,…14分 由f(一x4)十f(x)=十e-x7-2,则令F(x)=e十e-x2-2, 求导可得F(x)=e-e-2x,令G(x)=F(x),则G(x)=e+e-2>≥0， 所以函数G(x)在R上单调递增，则当x>0时，G(x)>G(0)=0,即F(x)>0,…16分 所以函数F(x)在(0，十∞)上单调递增，则当x>0时，F(x)>F(0)=0, 所以不等式c十e-x2-2>0在(0，十o∞)上恒成立，可得f(-x)十f(x4)>0, 综上所述，x3十x4<0<∫(x3)十f(x1),所以函数f(x)为“M函数”.…17分 【高二期末检测·数学卷参考答案第6页（共6页）】 5489B