1.3 集合的基本运算2025-2026学年高一数学同步讲义人教A版必修一

高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.3 集合的基本运算 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】交集的定义和性质 2 【知识点2】并集的定义和性质 4 【知识点3】全集和补集的定义和性质 6 【知识点4】德摩根定律 7 【知识点5】用Venn图表示集合的基本运算 8 【知识点6】容斥原理 8 【易错点1】考虑问题不全面，等价变换时容易出错 8 【题型一】交集的概念及运算 9 【题型二】根据交集结果求集合或参数 10 【题型三】并集的概念及运算 12 【题型四】根据并集结果求集合或参数 13 【题型五】补集的概念及运算 17 【题型六】根据补集运算确定集合或参数 18 【题型七】交并补混合运算 19 【题型八】根据交并补混合运算确定集合或参数 21 【题型九】集合的应用 23 【题型十】容斥原理的应用 23 【题型十一】根据并集结果求集合元素个数 26 【题型十二】集合新定义 26 【题型十三】利用Venn图求集合 28 知识点讲解 【知识点1】交集的定义和性质 自然语言 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作,读作“A交B”. 符号语言 . 图形语言（用Venn图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集. 如下页图所示. A A B A B （1）A与B有部分公共元素 （2）A与B无公共元素, A B B A A（B） （3）若,则（4）若,则（5） 对交集的理解 （1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来. （3）当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是交集为空集,. 交集的性质 性质 说明 交集运算满足交换律 任何集合与空集的交集都是空集 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 交集运算满足结合律 满足分配律 若,则 交集运算与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任何一个集合的子集 求交集的方法 （1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素. （2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围. 【例题1】．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例题3】．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【知识点2】并集的定义和性质 自然语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作,读作“A并B”. 符号语言 . 图形语言（用Venn图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集. A B A B （1）A与B有公共元素,相互不包含 （2）A与B没有公共部分 B A A B （3） （4） A（B） （5） 对并集的理解 （1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A或集合B的元素组成的. （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况: ①,但; ②,但; ③,且. （3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次. 并集的性质 性质 说明 并集运算满足交换律 并集运算满足结合律 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 若,则 并集运算与子集关系的转化 , 任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集 求并集的方法 （1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性. （2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围. 【例题1】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）设集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【知识点3】全集和补集的定义和性质 全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U. 补集 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称集合A的补集,记作CU A,即 CU A. 用Venn图表示为: U CU A A 对补集的理解 （1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集. （2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“CU A”有三层意思: ① CU A; ② CU A是U的一个子集,及(CU A); ③ CU A表示一个集合. 补集的性质 ①(CU A); ②(CU A); ③ CU (CU A); ④ CU U; ⑤ CU. 【知识点4】德摩根定律 【知识点5】用Venn图表示集合的基本运算 如图所示,集合A , B将全集U分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; （2）②表示(CU B); （3）③表示(CU A); （4）④表示(CU A)(CU B). 【知识点6】容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【易错点1】考虑问题不全面，等价变换时容易出错 准确的理解集合的概念是解题的关键，当无法确定参数的取值范围的时候，需要进行分类讨论。 【例题1】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型总结 【题型一】交集的概念及运算 【例题1-1】．（2025·黑龙江大庆·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】．（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题1-3】．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】根据交集结果求集合或参数 【例题2-1】．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例题2-2】．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2-3】．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 【例题2-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【例题2-5】．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知集合．若，求实数a的取值范围． 【题型三】并集的概念及运算 【例题3-1】．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题3-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【例题3-3】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】根据并集结果求集合或参数 【例题4-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【例题4-2】．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【例题4-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【例题4-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【题型五】补集的概念及运算 【例题5-1】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题5-2】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知全集或，集合，则 ． 【题型六】根据补集运算确定集合或参数 【例题6-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题6-2】．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a使且? 【题型七】交并补混合运算 【例题7-1】．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【例题7-2】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【例题7-3】．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【题型八】根据交并补混合运算确定集合或参数 【例题8-1】．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【例题8-2】．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【例题8-3】．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【题型九】集合的应用 【例题9-1】．（24-25高一上·上海·期中）已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 【题型十】容斥原理的应用 【例题10-1】．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 【例题10-2】．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题10-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题10-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【题型十一】根据并集结果求集合元素个数 【例题11-1】．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【例题11-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型十二】集合新定义 【例题12-1】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【例题12-2】．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例题12-3】．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例题12-4】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，记集合．对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； 【题型十三】利用Venn图求集合 【例题13-1】．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【例题13-2】．（重庆市（康德卷）2024-2025学年高二下学期期末联合检测数学试题）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【例题13-3】．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 课后作业 1（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 12．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合和，满足，，则实数 ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 16．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，. (1)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (2)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 19．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知集合，或. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.3 集合的基本运算 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】交集的定义和性质 2 【知识点2】并集的定义和性质 4 【知识点3】全集和补集的定义和性质 6 【知识点4】德摩根定律 7 【知识点5】用Venn图表示集合的基本运算 8 【知识点6】容斥原理 8 【易错点1】考虑问题不全面，等价变换时容易出错 8 【题型一】交集的概念及运算 9 【题型二】根据交集结果求集合或参数 10 【题型三】并集的概念及运算 12 【题型四】根据并集结果求集合或参数 13 【题型五】补集的概念及运算 17 【题型六】根据补集运算确定集合或参数 18 【题型七】交并补混合运算 19 【题型八】根据交并补混合运算确定集合或参数 21 【题型九】集合的应用 23 【题型十】容斥原理的应用 23 【题型十一】根据并集结果求集合元素个数 26 【题型十二】集合新定义 26 【题型十三】利用Venn图求集合 28 知识点讲解 【知识点1】交集的定义和性质 自然语言 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作,读作“A交B”. 符号语言 . 图形语言（用Venn图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集. 如下页图所示. A A B A B （1）A与B有部分公共元素 （2）A与B无公共元素, A B B A A（B） （3）若,则（4）若,则（5） 对交集的理解 （1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来. （3）当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是交集为空集,. 交集的性质 性质 说明 交集运算满足交换律 任何集合与空集的交集都是空集 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 交集运算满足结合律 满足分配律 若,则 交集运算与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任何一个集合的子集 求交集的方法 （1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素. （2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围. 【例题1】．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先化简集合再取交集即可. 【详解】由，则可以取0，1，2，，由，得，解得，所以. 故选：B 【例题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，，则， 故选：A． 【例题3】．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】确定阴影部分表示的集合，结合集合的基本运算可得结果. 【详解】由图得，阴影部分所表示的集合为. 由题意得，， ∴. 故选：C. 【知识点2】并集的定义和性质 自然语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作,读作“A并B”. 符号语言 . 图形语言（用Venn图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集. A B A B （1）A与B有公共元素,相互不包含 （2）A与B没有公共部分 B A A B （3） （4） A（B） （5） 对并集的理解 （1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A或集合B的元素组成的. （2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况: ①,但; ②,但; ③,且. （3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次. 并集的性质 性质 说明 并集运算满足交换律 并集运算满足结合律 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 若,则 并集运算与子集关系的转化 , 任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集 求并集的方法 （1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性. （2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围. 【例题1】．（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先解方程求出集合，再根据并集的定义即可得出答案. 【详解】因为，解得：或，所以， 因为，所以. 故选：D 【例题2】．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】借助并集定义计算即可得. 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 【例题3】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）设集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据题意，阴影部分表示并集去掉交集，结合交集并集概念计算即可. 【详解】根据题意，阴影部分表示并集去掉交集. ，则. 故阴影部分表示. 故选：C. 【知识点3】全集和补集的定义和性质 全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U. 补集 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称集合A的补集,记作CU A,即 CU A. 用Venn图表示为: U CU A A 对补集的理解 （1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集. （2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“CU A”有三层意思: ① CU A; ② CU A是U的一个子集,及(CU A); ③ CU A表示一个集合. 补集的性质 ①(CU A); ②(CU A); ③ CU (CU A); ④ CU U; ⑤ CU. 【知识点4】德摩根定律 【知识点5】用Venn图表示集合的基本运算 如图所示,集合A , B将全集U分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; （2）②表示(CU B); （3）③表示(CU A); （4）④表示(CU A)(CU B). 【知识点6】容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【易错点1】考虑问题不全面，等价变换时容易出错 准确的理解集合的概念是解题的关键，当无法确定参数的取值范围的时候，需要进行分类讨论。 【例题1】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可. 【详解】（1）当时，可得集合， 所以. ，． （2）由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 题型总结 【题型一】交集的概念及运算 【例题1-1】．（2025·黑龙江大庆·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先确定集合，再求交集即可. 【详解】集合，，则 故选：B. 【例题1-2】．（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义运算即得. 【详解】根据题意，集合A为正奇数集，，则. 故选：B. 【例题1-3】．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、列举法求集合中元素的个数 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 【题型二】根据交集结果求集合或参数 【例题2-1】．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题可得c范围，即可得答案. 【详解】根据，，若， 可得，故的最大值为2， 故选：D. 【例题2-2】．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【详解】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 【例题2-3】．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知集合，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由交集结果可知，由此可根据求得或；分别验证的每个取值对应的交集结果，由此可得的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，解得或， 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述：. 故选：C. 【例题2-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 【例题2-5】．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知集合．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】由已知可得，分和两种情况列不等式分别求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上，实数a的取值范围为. 【题型三】并集的概念及运算 【例题3-1】．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由已知集合，， 则. 故选：B 【例题3-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】首先求出集合的不等式，然后求这两个集合的并集. 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 【例题3-3】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、并集的概念及运算 【分析】先明确集合的元素，再将集合与集合的元素合并起来得到并集. 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 【题型四】根据并集结果求集合或参数 【例题4-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 【例题4-2】．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 【例题4-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 【例题4-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【题型五】补集的概念及运算 【例题5-1】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 【例题5-2】．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知全集或，集合，则 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】由全集或，集合， 则或或， 故答案为：或或. 【题型六】根据补集运算确定集合或参数 【例题6-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】若，且，则，即. 【例题6-2】．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a使且? 【答案】(1) (2)不存在 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】（1）先求出，再结合求解即可； （2）由（1）可得，再根据求解即可. 【详解】（1）集合，则， 而，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知， 由，得或，解得或， 所以不存在实数a使且成立. 【题型七】交并补混合运算 【例题7-1】．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 【例题7-2】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 【例题7-3】．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案. （2）先求得，然后根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以或， 因为， 所以或； （2）因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 【题型八】根据交并补混合运算确定集合或参数 【例题8-1】．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果. 【详解】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 【例题8-2】．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 【例题8-3】．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 【题型九】集合的应用 【例题9-1】．（24-25高一上·上海·期中）已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】集合的应用、集合新定义 【分析】（1）由已知求解可得； （2），一方面，考虑为的非空子集，另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类，讨论可得结论. 【详解】（1），，； （2）， 一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求， . 另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类， 类：最大元素为，1任取，：最大元素为，1到取法与互补. 两类集合一一对应，且不能同时取. 举例：，，因此. 综上所述. 【题型十】容斥原理的应用 【例题10-1】．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】容斥原理的应用、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 【例题10-2】．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】集合的应用、利用Venn图求集合 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 【例题10-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】集合的应用 【分析】由题意画出参加三个项目的人数图形，列方程解出即可； 【详解】      如图所示，设同时参加篮球和排球项目的人数为， 则有， 解得， 故同时参加篮球和排球项目的人数为4． 故选：B. 【例题10-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 【题型十一】根据并集结果求集合元素个数 【例题11-1】．（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算、根据并集结果求集合元素个数 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 【例题11-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合元素个数 【分析】根据并集的概念分析集合的可能情况，再逐个选项分析即可求解. 【详解】由题意，得集合中一定含有，，， 元素和可能是集合的元素也可能不是， 所以A，B，C错误，D正确． 故选：D． 【题型十二】集合新定义 【例题12-1】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 【例题12-2】．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】依题意可得，令，则，再分、、三种情况讨论，分别求出的值（范围），即可得解. 【详解】因为， 且，即， 令，则， 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 为了使，需将正数尽可能的分配给，负数分配给， 如，， 此时，，此时， 所以的最大值为. 故选：C 【例题12-3】．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 【例题12-4】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，记集合．对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】集合新定义 【分析】根据题意给出的集合T新定义，即可得出答案. 【详解】由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下： ，，， ，，， 所以； 【题型十三】利用Venn图求集合 【例题13-1】．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 【例题13-2】．（重庆市（康德卷）2024-2025学年高二下学期期末联合检测数学试题）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 【例题13-3】．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 课后作业 1（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 3．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知集合.若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据列式运算得解. 【详解】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由题意知，再列举出所有符合条件的集合即可. 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 6．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解． 【详解】由题意有， 因为，所以，则满足条件的集合B为，，共2个． 故选：B. 8.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【详解】依题意有即． 9．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 10．（24-25高一上·湖北·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】化简集合，得到集合中的元素，根据阴影部分表示的含义求解. 【详解】对于方程， 当时，，解得， 当时，，即，恒成立， 当时，，解得， ∴. 由题意得，，. 图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为. 故选：D. 11．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据题意，画出集合表示的韦恩图，结合韦恩图，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 12．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（   ） A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】设同时提交三种作品的有人，画出韦恩图，求解即可. 【详解】设同时提交三种作品的有人，集合为提交了楷书作品的人， 集合为提交了隶书作品的人，集合为提交了行书作品的人，如图所示， 则， 解得， 故选：C. 13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解. 【详解】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，，若C的真子集共有3个，则实数m的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】先得到，，故，根据C的真子集个数得到C中只有2个元素，即，故，求出， 【详解】，，， 故，因为C的真子集共有3个， 所以集合C中只有2个元素，即， 所以，即时，经验证，符合题意． 故答案为： 16．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）求出集合，由，得，由此即可求解. （2），从而，当为单元素集时，，当为双元素集时，，由此列式即可求解. 【详解】（1），即，解得或， 所以， 又，， 则， 即，解得或， 当时，，即，符合， 当时，， ，解得，，符合， 故或. （2），则， ①当为单元素集时，，化简得， 即，解得或， 当时，由（1）知，符合题意； 当时，， ，解得， 所以，不符合题意，舍去. ②当为双元素集时，， 所以，无解， 综上：实数的取值范围为. 17．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）根据可得两集合端点的大小关系，解不等式即可； （2）先讨论的情况，再研究时，利用两集合端点值的关系进行求解． 【详解】（1）因为，所以， 解得 （2）因为， 当时，， 当时，或， 解得或， 综上或 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，. (1)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (2)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)能，. 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）当时，, 又因为， 所以， 又由， 因为, 所以这样的集合共有6个：. （2）能. 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知, 当时，，此时,此时不是的一个子集； 当时，，此时,此时是的一个子集； 当时，，此时,此时是的一个子集； 综合可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 19．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知集合，或. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）根据条件得到，由补集定义得到或，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以或，又或， 所以或，或. （2）因为，所以， 当，即时，，满足题意， 当时，由，得到或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$