1.2 集合间的基本关系2025-2026学年高一数学同步讲义人教A版必修一

高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.2 集合间的基本关系 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】Venn图 2 【知识点2】子集 2 【知识点3】集合相等 4 【知识点4】真子集 5 【知识点5】空集 6 【易错点1】忽视对空集的讨论而导致出错 8 【易错点2】忽视端点值能否取到而出错 9 【题型一】子集的概念 10 【题型一】判断集合的子集和真子集的个数 11 【题型一】求集合的子集或真子集 12 【题型一】判断两个集合的包含关系 13 【题型一】根据集合的包含关系求参数 15 【题型一】判断两个集合是否相等 18 【题型一】根据两个集合相等求参数 20 【题型一】空集的概念以及判断 21 【题型一】空集的性质及应用 21 【题型一】根据集合相等关系进行计算 24 【题型一】利用Venn图求集合 25 【题型一】集合新定义 25 【题型一】 错误！未定义书签。 知识点讲解 【知识点1】Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【例题】．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】分别求出集合，，由集合间关系即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C 【知识点2】子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【注意】集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【例题】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【例题】．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 【例题】．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【知识点3】集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【例题】．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可； 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以， 从中任取一个元素，，所以, 所以， 故选：C 【例题】．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义，可推出的值，得解. 【详解】由题意可知且， ，， ，， 故. 故选：C. 【知识点4】真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【例题】．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 【例题】．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 【例题】．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由题意利用列举法写出集合的元素，进而写出交集，利用公式，可得答案. 【详解】因为， 所以， 故其非空真子集的个数为． 故选：B. 【知识点5】空集 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【例题】．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 【例题】．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 【易错点1】忽视对空集的讨论而导致出错 在子集问题中，易忽视空集的特殊性而出现错误，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中，若未指明集合非空，则要考虑空集。 例如，则需要从B是空集和B不是空集两方面考虑， 【例题】．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 【易错点2】忽视端点值能否取到而出错 用数轴表示出集合的关系，得出参数的范围，再检验端点处是否满足题意。 【例题】．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【例题】．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型总结 【题型一】子集的概念 【例题1-1】．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）下列四个说法：①空集没有子集；②空集是任何集合的子集；③空集中的元素个数为零；④任意一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】子集的概念 【分析】根据集合的子集的概念可得结论. 【详解】对于①空集是它本身的子集，故①错误；对于②空集是任何集合的子集，故②正确； 对于③空集中的元素个数为零，故③正确；对于④空集的子集是它本身，只有一个子集，故④错误. 故选：B. 【例题1-2】．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、子集的概念 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. 故选：B. 【例题1-3】．（24-25高一上·上海·课后作业）若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】子集的概念、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐一论证即可求解. 【详解】对于①，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“且”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故①符合题意； 对于②，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“或”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故②符合题意； 对于③④，若，则当且仅当，即当且仅当，故③④符合题意； 所以与等价的有4个. 故选：D. 【题型二】判断集合的子集和真子集的个数 【例题2-1】．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 【例题2-2】．（24-25高一上·吉林·阶段练习）设集合，则集合的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】化简集合A，再由子集个数公式得解. 【详解】由 故集合的子集个数为， 故选：C 【例题2-3】．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 【题型三】求集合的子集或真子集 【例题3-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、子集的概念 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 【例题3-2】．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 【题型四】判断两个集合的包含关系 【例题4-1】（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：B 【例题4-2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 【例题4-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 【例题4-4】．．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合，即可判断集合间的关系. 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 【题型五】根据集合的包含关系求参数 【例题5-1】．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因为，，且MN， 所以， 故选：A 【例题5-2】．．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 【例题5-3】．．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 【例题5-4】．．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 【例题5-5】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【题型六】判断两个集合是否相等 【例题6-1】．．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【例题6-2】．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合元素的性质可判断ACD的正误，算出B中后可判断B的正误. 【详解】对于A，是数的集合，而是点的集合，故不是同一集合，故A错误； 对于B，，，故不是同一集合，故B错误； 对于C，不是同一个点，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由集合元素的无序性可得，故D正确； 故选：D. 【例题6-3】．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 【题型七】根据两个集合相等求参数 【例题7-1】．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 【例题7-2】．（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 【例题7-3】．．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 【题型八】空集的概念以及判断 【例题8-1】．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【例题8-2】．．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据一次不等式的解集求参数即可. 【详解】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 【题型九】空集的性质及应用 【例题9-1】．．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等、空集的性质及应用 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 【例题9-2】．．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】对于ABC，根据空集的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：C 【例题9-3】．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空集的性质及应用 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【例题9-4】．．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【答案】0或1或 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【例题9-5】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.85 【知识点】空集的性质及应用 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【题型十】根据集合相等关系进行计算 【例题10-1】．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 【例题10-2】．．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算、集合元素互异性的应用 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 【题型十一】利用Venn图求集合 【例题11-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】利用补集的定义判断A；由图结合补集的定义判断B；由图结合补集的定义以及集合的包含关系判断CD. 【详解】对于A，当时，显然成立，故A正确； 对于B，若，则由图1可得M不可能是的子集，故B错误； 对于C，若，则由图2可得成立，故C正确； 对于D，若，则由图3可得成立，故D正确.    故选：ACD. 【题型十二】集合新定义 【例题12-1】．．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知非空集合，是集合的子集，若同时满足条件“若，则”和条件“若，则”，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（   ） A．3 B．9 C．12 D．20 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】集合新定义、子集的概念 【分析】根据“互斥子集组”的定义，利用列举法求得正确答案. 【详解】根据“互斥子集组”的定义，列举如下： 所以不同“互斥子集组”的个数是. 故选：C 【例题12-2】．．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 【例题12-3】．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 课后作业 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得. 【详解】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系逐一判断即可. 【详解】①根据子集定义可知，①错误； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：B. 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 6（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 7．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 8．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】用列举法找出满足条件的子集即可. 【详解】最小元素是2的有，共10个； 最小元素是3的有，共6个； 最小元素是4的有，共3个； 最小元素是5的有，共1个，所以. 故选：A 9（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 10．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据本题集合的新定义，逐个判断即可. 【详解】A选项：，且，故A选项正确； B选项：的子集和为, 满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确； C选项：的子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确； D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设 设为数列的前项和，则，∴ 要想最小，则，，此时，故D选项正确； 故选：ABD 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、集合新定义、集合的分类 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 12（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 15．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据两个集合相等求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 17．（24-25高一上·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数、列举法求集合中元素的个数 【分析】（1）根据集合相等的概念列式计算即可求； （2）由，根据题意，结合，准确运算，即可证明. 【详解】（1）因为集合可表示为，也可表示为， 即. 则满足，且，解得，， 所以. （2）证明：若，则； 若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另外两个元素和. 18．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等条件求解即可. 【详解】由，，可知，，解得：． 20．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】利用根的判别式可解. 【详解】依题意，一元二次方程无实根， 则， 即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.2 集合间的基本关系 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】Venn图 2 【知识点2】子集 2 【知识点3】集合相等 4 【知识点4】真子集 5 【知识点5】空集 6 【易错点1】忽视对空集的讨论而导致出错 8 【易错点2】忽视端点值能否取到而出错 9 【题型一】子集的概念 10 【题型一】判断集合的子集和真子集的个数 11 【题型一】求集合的子集或真子集 12 【题型一】判断两个集合的包含关系 13 【题型一】根据集合的包含关系求参数 15 【题型一】判断两个集合是否相等 18 【题型一】根据两个集合相等求参数 20 【题型一】空集的概念以及判断 21 【题型一】空集的性质及应用 21 【题型一】根据集合相等关系进行计算 24 【题型一】利用Venn图求集合 25 【题型一】集合新定义 25 【题型一】 错误！未定义书签。 知识点讲解 【知识点1】Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【例题】．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2】子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【注意】集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【例题】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【例题】．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【例题】．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【知识点3】集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【例题】．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 【例题】．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【知识点4】真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【例题】．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【例题】．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【例题】．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点5】空集 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【例题】．（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例题】．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【易错点1】忽视对空集的讨论而导致出错 在子集问题中，易忽视空集的特殊性而出现错误，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中，若未指明集合非空，则要考虑空集。 例如，则需要从B是空集和B不是空集两方面考虑， 【例题】．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【易错点2】忽视端点值能否取到而出错 用数轴表示出集合的关系，得出参数的范围，再检验端点处是否满足题意。 【例题】．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【例题】．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 题型总结 【题型一】子集的概念 【例题1-1】．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）下列四个说法：①空集没有子集；②空集是任何集合的子集；③空集中的元素个数为零；④任意一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例题1-2】．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【例题1-3】．（24-25高一上·上海·课后作业）若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】判断集合的子集和真子集的个数 【例题2-1】．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【例题2-2】．（24-25高一上·吉林·阶段练习）设集合，则集合的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【例题2-3】．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型三】求集合的子集或真子集 【例题3-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【例题3-2】．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【题型四】判断两个集合的包含关系 【例题4-1】（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【例题4-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【例题4-4】．．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【题型五】根据集合的包含关系求参数 【例题5-1】．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题5-2】．．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【例题5-3】．．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【例题5-4】．．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【例题5-5】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【题型六】判断两个集合是否相等 【例题6-1】．．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题6-2】．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例题6-3】．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【题型七】根据两个集合相等求参数 【例题7-1】．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【例题7-2】．（24-25高三下·全国·开学考试）已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【例题7-3】．．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【题型八】空集的概念以及判断 【例题8-1】．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【例题8-2】．．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【题型九】空集的性质及应用 【例题9-1】．．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【例题9-2】．．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【例题9-3】．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【例题9-4】．．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ． 【例题9-5】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【题型十】根据集合相等关系进行计算 【例题10-1】．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例题10-2】．．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【题型十一】利用Venn图求集合 【例题11-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型十二】集合新定义 【例题12-1】．．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知非空集合，是集合的子集，若同时满足条件“若，则”和条件“若，则”，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（   ） A．3 B．9 C．12 D．20 【例题12-2】．．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【例题12-3】．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 课后作业 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 6（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 7．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 9（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 10．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 12（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 13．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 14．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 15．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 17．（24-25高一上·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 18．（24-25高一上·北京·期中）设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 20．（25-26高一上·全国·课前预习）若由一元二次方程的实数根组成的集合是空集，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$