1.1 集合的概念2025-2026学年高一数学同步讲义人教A版必修一

高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.1集合的概念 学习目标 知识点概览 题型目录 目录 【知识点1】集合的含义 2 【知识点2】元素与集合 3 【知识点3】集合中元素的性质 3 【知识点4】集合的表示方法 4 【知识点5】集合的分类 6 【知识点6】集合相等 8 【易错点1】混淆集合的表示方法而致错 9 【易错点2】不理解集合中元素性质的意义而致错 9 【题型一】判断元素能否构成集合 10 【题型一】判断是否为同一集合 12 【题型一】判断元素与集合的关系 13 【题型一】根据元素与集合的关系求参数 15 【题型一】利用集合元素的互异性求参数 17 【题型一】描述法表示集合 18 【题型一】列举法表示集合 20 【题型一】根据集合中元素的个数求参数 22 【题型一】集合元素互异性的应用 24 【题型一】利用集合中元素的性质求集合元素个数 26 【题型一】列举法求集合中元素的个数 26 【题型一】常用数集或数集关系应用 28 【题型一】集合的分类 30 【题型一】根据两个集合相等求参数 31 课后作业 33 知识点讲解 【知识点1】集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合 【例题1】．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【例题2】．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【知识点2】元素与集合 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【例题】．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 【知识点3】集合中元素的性质 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合． 【知识点4】集合的表示方法 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【例题】．（24-25高一上·全国·课前预习）用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【知识点】自然语言表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的表示方法进行回答. 【详解】①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出． 【例题】．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.94 【知识点】自然语言表示集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【例题】．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 【例题】．（2025·河南·三模）有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上，得到总翻动的次数之和为9个奇数之和为奇数，得到为奇数，分，，，，四种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上， 则总翻动的次数之和为9个奇数之和为奇数，所以总翻动次数为为奇数，即为奇数， 当时，可分三组翻动前三张、中间三张、后三张，每张被翻动1次， 此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动15，第二轮翻动37，第三轮翻动3、4、5、8、9），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动17，第二轮翻动39，第三轮翻动37），此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意； 当时，三轮翻动后，此时9张卡片的正面全部朝下，不符合题意， 所以的取值集合为. 故答案为：. 【知识点5】集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【例题】．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【难度】0.94 【知识点】集合的分类 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 【例题】．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)无限集； (3)空集； (4)无限集； (5)有限集． 【难度】0.94 【知识点】集合的分类 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集 【知识点6】集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【例题】．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 【例题】．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 【易错点1】混淆集合的表示方法而致错 易错提示：用描述法表示集合，注意区分数集和点集，以及集合中的代表元素，对集合的认识是基于对集合中元素的认识 【例题】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 【易错点2】不理解集合中元素性质的意义而致错 注意理解集合中的元素性质，明确集合中元素的确定性，以及元素与集合的关系，可进行适当变形，或者写出一些集合中的元素进行比较。 【例题】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 题型总结 【题型一】判断元素能否构成集合 【例题1-1】．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、方程与不等式 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 【例题1-2】．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、判断是否为同一集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【题型二】判断是否为同一集合 【例题2-1】．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 【例题2-2】．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 【题型三】判断元素与集合的关系 【例题3-1】．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【例题3-2】．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 【例题3-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 【例题3-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【题型四】根据元素与集合的关系求参数 【例题4-1】．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 【例题4-2】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 【例题4-3】．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 【题型五】利用集合元素的互异性求参数 【例题5-1】．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【例题5-2】．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【例题5-3】．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 【题型六】描述法表示集合 【例题6-1】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）由列举法的定义写出集合即可； （2）由列举法的定义写出集合即可； （3）由描述法的定义写出集合即可. 【详解】（1）列举法表示“小于10的自然数组成的集合”为：； （2）列举法表示集合：； （3）描述法表示偶数集为：. 【例题6-2】．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)，且 (2)且 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）先考虑被3除余2的正整数用表示，再考虑正整数及1000以内这两个限制条件，用描述法表示即可； （2）先考虑平面直角坐标系中第二象限内的点的特点是，再考虑集合是点集，用描述法表示即可． 【详解】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且． 【例题6-3】．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 【例题6-4】．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 【题型七】列举法表示集合 【例题7-1】．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 【例题7-2】．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 【例题7-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 【题型八】根据集合中元素的个数求参数 【例题8-1】．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 【例题8-2】．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 【例题8-3】．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 【题型九】集合元素互异性的应用 【例题9-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 【例题9-2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 【题型十】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例题10-1】．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 【题型十一】列举法求集合中元素的个数 【例题11-1】．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 【例题11-2】（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数. 【详解】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 【例题11-3】．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 【例题11-4】．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 【题型十二】常用数集或数集关系应用 【例题12-1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】自然语言表示集合 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 【例题12-2】．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【难度】0.94 【知识点】自然语言表示集合 【分析】略 【详解】略 【例题12-3】．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】常用数集或数集关系应用 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 【例题12-4】．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 【例题12-5】．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 【题型十三】集合的分类 【例题13-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】集合的分类 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 【例题13-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 【题型十四】根据两个集合相等求参数 【例题14-1】．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 【例题14-2】．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 课后作业 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 4．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 5．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 6．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 8.（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 9．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 10．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的描述法转化为列举法表示得解. 【详解】，该集合中的元素有5个． 故选：C． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 12．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法求集合中元素的个数 【分析】（1）通过分论讨论求解，然后再根据元素的互异性即可求解； （2）通过分两类或进行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否满足互异性即可． 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 13．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 14.（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 15．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.1集合的概念 学习目标 知识点概览 题型目录 目录 【知识点1】集合的含义 2 【知识点2】元素与集合 3 【知识点3】集合中元素的性质 3 【知识点4】集合的表示方法 4 【知识点5】集合的分类 6 【知识点6】集合相等 8 【易错点1】混淆集合的表示方法而致错 9 【易错点2】不理解集合中元素性质的意义而致错 9 【题型一】判断元素能否构成集合 10 【题型一】判断是否为同一集合 12 【题型一】判断元素与集合的关系 13 【题型一】根据元素与集合的关系求参数 15 【题型一】利用集合元素的互异性求参数 17 【题型一】描述法表示集合 18 【题型一】列举法表示集合 20 【题型一】根据集合中元素的个数求参数 22 【题型一】集合元素互异性的应用 24 【题型一】利用集合中元素的性质求集合元素个数 26 【题型一】列举法求集合中元素的个数 26 【题型一】常用数集或数集关系应用 28 【题型一】集合的分类 30 【题型一】根据两个集合相等求参数 31 课后作业 33 知识点讲解 【知识点1】集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合 【例题1】．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【例题2】．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【知识点2】元素与集合 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 【例题】．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【知识点3】集合中元素的性质 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合． 【知识点4】集合的表示方法 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【例题】．（24-25高一上·全国·课前预习）用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 【例题】．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【例题】．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 【例题】．（2025·河南·三模）有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意k张进行翻动，使其正面朝上，以后每轮都选择k张翻动，使其朝上面发生改变．若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3，则k的取值集合为 ． 【知识点5】集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【例题】．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【例题】．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【知识点6】集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【例题】．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【例题】．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【易错点1】混淆集合的表示方法而致错 易错提示：用描述法表示集合，注意区分数集和点集，以及集合中的代表元素，对集合的认识是基于对集合中元素的认识 【例题】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【易错点2】不理解集合中元素性质的意义而致错 注意理解集合中的元素性质，明确集合中元素的确定性，以及元素与集合的关系，可进行适当变形，或者写出一些集合中的元素进行比较。 【例题】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 题型总结 【题型一】判断元素能否构成集合 【例题1-1】．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【例题1-2】．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【题型二】判断是否为同一集合 【例题2-1】．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【例题2-2】．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【题型三】判断元素与集合的关系 【例题3-1】．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题3-2】．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题3-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【例题3-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型四】根据元素与集合的关系求参数 【例题4-1】．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【例题4-2】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【例题4-3】．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】利用集合元素的互异性求参数 【例题5-1】．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【例题5-2】．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例题5-3】．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【题型六】描述法表示集合 【例题6-1】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【例题6-2】．（25-26高一·上海·假期作业）用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【例题6-3】．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【例题6-4】．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型七】列举法表示集合 【例题7-1】．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【例题7-2】．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【例题7-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型八】根据集合中元素的个数求参数 【例题8-1】．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【例题8-2】．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【例题8-3】．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【题型九】集合元素互异性的应用 【例题9-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【例题9-2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【题型十】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【例题10-1】．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型十一】列举法求集合中元素的个数 【例题11-1】．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【例题11-2】（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例题11-3】．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题11-4】．（24-25高一上·上海·阶段练习）定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【题型十二】常用数集或数集关系应用 【例题12-1】．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【例题12-2】．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【例题12-3】．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【例题12-4】．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题12-5】．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【题型十三】集合的分类 【例题13-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【例题13-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【题型十四】根据两个集合相等求参数 【例题14-1】．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【例题14-2】．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 B． 课后作业 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 2．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 4．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 8.（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 12．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 13．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 14.（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 15．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$