精品解析：河北省部分名校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、计数原理、概率与统计. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，小明要将封面分别写有“福”“禄”“寿”“喜”的四个红包分给甲、乙、丙三位亲友，要求每位亲友至少得到一个红包，且红包全部分配完，若“福”字红包不能分给甲，那么不同的分法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 6. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，均为正数，且，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若是的一个零点，是的一个极小值点，则不等式的解集是__________. 13. 在的展开式中，所有有理项的系数和等于__________.（用数字作答） 14. 若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 16. 某学校每天中午都将学校的阅览室提供给中午不出校园的学生自习，并且安排有关的老师在阅览室值班.学校的食堂每天中午为不出校园的学生提供午餐，午餐分为，两种套餐，每个学生可以选择其中一种套餐，套餐素菜多，套餐荤菜多. （1）本学期食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了进一步的改善，学校为了解就餐的学生对于改善前后的套餐的满意度，对就餐的学生进行了调查，并从中随机抽取了50名就餐学生对于套餐的满意度的数据，如下表（单位：人）： 套餐改善后 套餐改善前 合计 满意 13 10 23 不满意 7 20 27 合计 20 30 50 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于套餐的满意度与套餐的改善有关联？ （2）若套餐拟提供3种品类的素菜，（是不小于3的正整数）种品类的荤菜，供就餐的学生自由选择其中的4种菜品，记学生小李选择两个荤菜两个素菜的事件为，求的最大值，并求此时的值. 参考数据：，其中. 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 设正数，满足．证明： （1）； （2）． 18. 某电视台举办知识竞赛活动，其中决赛在甲、乙两人之间进行.比赛规则如下：两人轮流答题，答对积1分，答错不得分，甲、乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，每一轮结束时有人领先2分则比赛立即结束，且领先者获得比赛的胜利.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，答对与否相互独立，已知第一轮答题后甲、乙两人积分相同的概率为.记比赛结束时甲、乙两人的答题轮数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜的概率. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，，且，都有，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、计数原理、概率与统计. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意用列举法表示出集合；再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当时，即， ， 因此由能推出， 当时，显然当时成立，但是不成立， 因此由不一定能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性计算即可. 【详解】由正态分布的对称性可知， 故. 故选：D. 4. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性，故. 【详解】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 5. 春节期间，小明要将封面分别写有“福”“禄”“寿”“喜”的四个红包分给甲、乙、丙三位亲友，要求每位亲友至少得到一个红包，且红包全部分配完，若“福”字红包不能分给甲，那么不同的分法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】分成两种情况：甲分得除写有“福”的另外两个红包和甲分得除写有“福”的另外一个红包计算即可. 【详解】按照题意，可以分为两类. 第一类，甲分得除写有“福”的另外两个红包，共有种分法； 第二类，甲分得除写有“福”的另外一个红包，共有种分法， 所以不同的分法共有种. 故选：B. 6. 若函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于的二次不等式，求解即可. 【详解】要使函数有意义， 须满足，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 又因为， 函数，，在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数. 则不等式可化为 即， 所以，解得. 故选：D. 7. 若，，均为正数，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把指数式转化为对数式然后应用对数的换底公式乘法运算得出，利用基本不等式及换底公式求出，利用求出，进而求出，从而确定选项. 【详解】设，则，，， 所以. 因为，所以， 即，而，所以； 又因为，所以. 故选：B. 8. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及切点在曲线上建立等式得出，，代入化简整理即可求解. 【详解】由可得：； 由可得：. 由曲线在点处的切线与曲线相切于点， 得，， 则. ， 所以，整理得：， 结合，可得：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，利用不等式的基本性质进行判断；C选项，作差法比较大小；D选项，举出反例. 【详解】A选项，因为，，所以，即，故A正确； B选项，因为，，所以，故B错误； C选项，由A知，，又，因为，所以，故C正确； D选项，当，，，时，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】易知函数是奇函数，关于原点对称， 在AC图象中是向右平移个单位，则， 当时，，故A错误，C正确； 在BD图象中是向左平移个单位，则， 当时，，故B正确，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，求导得出为常函数，设，从而判断A，等式两边求导，得出的图象关于点对称，令进行计算即可判断B，因为和，求出即可判断C，由函数是以4为周期的函数，即可判断D. 【详解】对于A，因为，则，令， 则，所以为常函数，设， 其中为常数，当时，， 此时不是奇函数，故A错误； 对于B，等式两边求导得， 即，所以的图象关于点对称， 在等式中，令可得，即，故B正确； 对于C，因为，则，可得， 所以，故C正确； 对于D，在等式两边同时求导得， 即，所以函数是以4为周期的周期函数， 因为， 所以，，因为， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若是的一个零点，是的一个极小值点，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点，极小值点的定义可判断出一元二次函数的对称轴开口方向及对应方程的两个根，结合一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】依题意，的图象是开口向上的抛物线，对称轴为， 方程的一个根是，另一个根是， 因此，，于是由，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 13. 在的展开式中，所有有理项的系数和等于__________.（用数字作答） 【答案】512 【解析】 【分析】由题知所有奇数项为有理项，再求奇数项系数和即可. 【详解】展开式的通项为， 是偶数0，2，4，⋯，10时是有理项， 所以有理项的系数和等于， 故答案为：512. 14. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简再结合基本不等式计算得出，即可得出最小值. 【详解】因为， 所以，两边同时除以， 得到，则， 当且仅当，时取“”.两边取自然对数，则， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. 【小问2详解】 当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增， 所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 16. 某学校每天中午都将学校的阅览室提供给中午不出校园的学生自习，并且安排有关的老师在阅览室值班.学校的食堂每天中午为不出校园的学生提供午餐，午餐分为，两种套餐，每个学生可以选择其中一种套餐，套餐素菜多，套餐荤菜多. （1）本学期食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了进一步的改善，学校为了解就餐的学生对于改善前后的套餐的满意度，对就餐的学生进行了调查，并从中随机抽取了50名就餐学生对于套餐的满意度的数据，如下表（单位：人）： 套餐改善后 套餐改善前 合计 满意 13 10 23 不满意 7 20 27 合计 20 30 50 根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于套餐的满意度与套餐的改善有关联？ （2）若套餐拟提供3种品类的素菜，（是不小于3的正整数）种品类的荤菜，供就餐的学生自由选择其中的4种菜品，记学生小李选择两个荤菜两个素菜的事件为，求的最大值，并求此时的值. 参考数据：，其中. 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）能 （2）最大值是， 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验思想可求解. （2）利用古典概型的概率公式及数列相关知识可求解. 【小问1详解】 零假设：学生对于套餐的满意度与套餐的改善无关联， 根据表中数据得到， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即学生对套餐的满意度与套餐的改善有关联. 【小问2详解】 根据题意可得：（是不小于3的正整数）. 令， 由得 解得， 因为是不小于3的正整数， 所以，此时， 所以的最大值是，此时. 17. 设正数，满足．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：因为，，且， 所以，所以， 而， 因为，在上单调递增， 所以，即成立． （2）证明： ， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，，， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）把双变量问题转化成单变量问题，再利用二次函数的单调性进行证明； （2）将不等式左边的两项中的，分别用来表示，再通过化简与通分得到含有的式子，再利用求出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某电视台举办知识竞赛活动，其中决赛在甲、乙两人之间进行.比赛规则如下：两人轮流答题，答对积1分，答错不得分，甲、乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，每一轮结束时有人领先2分则比赛立即结束，且领先者获得比赛的胜利.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，答对与否相互独立，已知第一轮答题后甲、乙两人积分相同的概率为.记比赛结束时甲、乙两人的答题轮数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程计算即可； （2）当时，设乙获胜为事件，时比赛结束为事件，求出则和，通过条件概率公式求即可； （3）甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜，若，则比分为；若，则比分为或；若，则比分为或或，再由题意计算即可. 【小问1详解】 由题意第一轮答题后甲、乙两人积分相同的概率为， 可得，解得. 【小问2详解】 当时，设乙获胜为事件，时比赛结束为事件， 则， ， 则. 【小问3详解】 甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜，则甲答题的次数可能有2，3，4， 设这三个事件分别为，，， 若，则比分为，， 若，则比分为或，， 若，则比分为或或， ， 故甲在4轮比赛之内获胜的概率. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，，且，都有，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）设，得到在上单调递增，所以恒成立，由基本不等式求出，从而得到，求出答案； （3）变形得到，构造函数，求导，结合零点存在性定理得到，当且仅当时取等号，其中，当时，成立. 当时，，所以，推出矛盾，从而得到答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，即， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，即. 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，当且仅当时取等号. 令，则在上单调递增， 又因为，，所以存在唯一， 使得，① 所以，当且仅当时取等号. 当时，成立. 当时，由①知，， 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $