专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 13 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 例2（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 例4（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 例5（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 例6（24-25·重庆·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值；（3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 例3（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 3．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．    4．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 5．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    7．（24-25八年级下·江苏·专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是 ． 8．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则；④若菱形的边长为1，则的最小值1；⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 11．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 13．（2025·陕西·校考一模）问题提出（1）如图①，已知中，，将绕点O逆时针旋转90°得到，连接.则______； 问题探究（2）如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q，连接，求的最小值； 问题解决（3）如图③，矩形场地为一个货运场，其中米，米，顶点A、D为两个出口，现想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道、、.若修建专用车道的费用为10000元/米（车道宽度不计），当M、P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留根号） 14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长；(2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：；(3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 15．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）阅读材料：如图①，在中，，是等边三角形，为内任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．①的形状是 ；②是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地建设口袋公园，四个顶点、、、为公园入口，公园内有两个凉亭、，为方便市民散步，需修建健身步道连接、、、、．为节约建设成本，应将、修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？ 17.（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.费马点模型 4 模型2.加权费马点模型 9 13 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ （辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② （2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 模型1.费马点模型 例1（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴，∴， ∴、、共线时最短，由于点E也为动点， ∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 例2（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴，∴的最小值．选：D． 例3（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE， 则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°， ∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE． 当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°， ∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=， ∴AE=2AH=．故答案为． 例4（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 【答案】 【详解】解：如图1，将绕A顺时针旋转得到，连接；将绕点D逆时针旋转，得到，连接； 由旋转性质得：， 都是等边三角形，，； 同理：都是等边三角形，， ； 当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长． 故的最小值为线段的长，如图2；设分别交于点P、Q； ，是的垂直平分线，； ，是等边三角形，，， ；，四边形是矩形， ，公里， 即的最小值为公里；故答案为：． 例5（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)见解析 (3)①点M为的中点；②点M为与的交点时，的值最小，图及理由见解析 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下：如图①，∵绕点B逆时针旋转60°得到， ∴，∴是等边三角形； （2））证明：∵和都是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴； （3）解：①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形，∴点M为的中点； ②当点M为与的交点时，的值最小，理由如下： 如图②，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，， 故点M为与的交点时，的值最小． 例6（24-25·重庆·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 模型2.加权费马点模型 例1（2025九年级下·广东·专题练习）在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，并缩小到倍，得到，连接，， 则，，，， 在中，，∴， ∴当点共线时，的值最小，最小值为的长， 过点作的延长线于点，则，∵为等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴的最小值为， ∴的最小值，故答案为：． 例2（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值；（3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 例3（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，，∴， ∴，∴、、共线时最短， 由于点E也为动点，∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 【答案】B 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=30°，AC=2AB=， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE==.故选B． 3．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．    【答案】 【详解】如图所示，连接，交于点P，作交于点F，作交的延长线于点E，      ∵， ∴当点P是和交点时，的值最小，即为的长度， ∵，，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，， ∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 4．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 5．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作交于点， 由题意得：，， 点在与平行，且距离为2的直线上运动，将绕点逆时针旋转得，连接， 则是等边三角形，，， 当、、、共线，且时，最小，其值为的长， 设交于点，，，， ，最小值为，故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作于．    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴点在直线的上方到直线的距离为的直线上运动， 将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形， ∴，，∴，过点作直线于交于点F， 则，，∴ 根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏·专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴， ∴当共线时，值最小，即的值最小， 连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ，∴ ， ∴的最小值为，故答案为：． 8．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转可得和均为等边三角形，∴，∴， 当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离， 设交于点，∵，，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴， ∴的最小值是，故答案为：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则． 由旋转的性质，得，．， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点．，，， ，．，． ，．，， 即的最小值为．故答案为：． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则；④若菱形的边长为1，则的最小值1；⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【详解】解：①∵是等边三角形，∴． ∵，∴．即． 又∵，∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，，∴，∴，故本答案错误； ③假设，且，∴是的垂直平分线．连接， 由①知，∴，∵，∴是等边三角形． ∴．∴，∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O，∵四边形是菱形，∴． ∴点A和点C关于直线对称，∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵，∴是等边三角形，∴．即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知，∴， ∵，∴是等边三角形．∴． ∴．根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F，则，设菱形的边长为a， ∴，．在中，，解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确．故答案为：①④⑤． 11．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴，E为的中点，，∴， ∵，∴，在中，，∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，延长交于N， ∴，过E作于P，则， 在与中，  ，∴，∴， 过E作于Q，∴，∴四边形为矩形， ∵，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，∴， 在与中，，  ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，在中， ， ∴，∴，∴， ∴的最小值为 ． 12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【详解】（1）解：；理由如下： 是等边三角形，， 四点在同一直线上，，， 由旋转得：，，； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时，最小，此时， 由旋转得：，，是等边三角形，，， ，，，，， 在中，故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， ，设正方形的边长为，则有， ，，， 在中，，， 解得：，（舍去），，故正方形的边长为． 13．（2025·陕西·校考一模）问题提出（1）如图①，已知中，，将绕点O逆时针旋转90°得到，连接.则______； 问题探究（2）如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q，连接，求的最小值； 问题解决（3）如图③，矩形场地为一个货运场，其中米，米，顶点A、D为两个出口，现想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道、、.若修建专用车道的费用为10000元/米（车道宽度不计），当M、P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）12；（3）当M建在中点（米）处，点P在过M且垂直于的直线上，且在M上方米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为万元. 【详解】（1）由旋转的性质得， 在中，由勾股定理得故答案为：； （2）∵是等边三角形∴，由旋转得， ∴ 在和中，∴∴ 如图①，连接∵，∴是等边三角形∴ ∴由两点之间线段最短得∴ ∴当点A、P、Q、D在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长 作，交的延长线于点E；∵是边长为的等边三角形 ∴， 则在中，； 则在中，；即的最小值为12；           图①         图② （3）如图②，连接、，将绕点A逆时针旋转，得到，连接、、，设交于点E，则 由（2）知，当M、P、、在同一条直线上时，最小，最小值为 ∵点M在上；∴当时，取最小值；∵是等边三角形， ∴；在中， ，解得；∴ 又∵；∴ ∴最少费用为（万元） ∴当M建在中点（米）处，点P在过M且垂直于的直线上，且在M上方米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为万元. 14．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长；(2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：；(3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，，， ，，，； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点，，，，， ，，，， ，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，， ，； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，，如图，将绕点逆时针旋转得到， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点，，， ，，，，， ， ，的最小值为． 15．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1)(2)的最小值为，此时(3) 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到，， ，，，， ，． 在中，，，，， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到，， ，，是等边三角形，，． 菱形中，，， ，，同理，，． 连接，交于点，则．在中，，，， ，，， ．的最小值为，此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米，千米，，， ，（千米），（千米），， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，∴千米，， ，，的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）阅读材料：如图①，在中，，是等边三角形，为内任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．①的形状是 ；②是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地建设口袋公园，四个顶点、、、为公园入口，公园内有两个凉亭、，为方便市民散步，需修建健身步道连接、、、、．为节约建设成本，应将、修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？ 【答案】（1）①等边三角形②存在，，理由见详解（2）、修建在线段的垂直平分线上，最短距离为米 【详解】解：（1）①∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，∴是等边三角形，故答案为：等边三角形； ②的存在最小值为，理由如下： ∵是等边三角形，∴,， 在与中， ∵是等边三角形，∴， 当点在同一条直线上的时候，的值最小，即为的长， 如图所示，过点作交的延长线于点，,， 由勾股定理得，，， 由勾股定理得，∴的最小值为； （2）如图，分别以线段为边作等边三角形和等边三角形， 将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到， 则都为等边三角形，∴， 同（1）②中的思路可证，∴， 即当在同一条直线上的时候，值最小， 此时，直线为线段的垂直平分线， 由正方形的性质和等边三角形的性质可得， ∴， 所以，应将、修建在线段的垂直平分线上，最短距离为米． 17.（24-25八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过作的延长线于， ∴，∴，设，则， 由勾股定理得，，解得，，∴， 由勾股定理得，，即，解得，，∴的长为5； （2）证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使， ∴，∴，由勾股定理得，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∵，， ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接，                     图3 ∴，，∴， 由勾股定理得，，∵， ∴，∴，∴， ∴当四点共线时，最小，即最小，为， 如图3，过作的延长线于，∵，，∴， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得，，， 解得，，∴，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$