第一章 空间向量与立体几何（单元测试·基础卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 3．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 6．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 10．在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 13．两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 14．设正方体的棱长为 2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（15分）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，． (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 18．（17分）如图，在四面体中，为等边三角形，，，且. (1)求证：平面平面； (2)若点满足，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 3．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 6．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 10．在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 13．两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 14．设正方体的棱长为 2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（15分）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，． (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 18．（17分）如图，在四面体中，为等边三角形，，，且. (1)求证：平面平面； (2)若点满足，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B A D C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．1或3 13．/0.5 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）点为的中点，， 2分 ， ． 6分 （2）， 由（1）得 8份 ． 13分 16．【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 2分 因为， 所以，解得， 所以或． 5分 （2）因为、、，，， 所以，， 7分 则. 10分 （3）因为，， 12分 又与垂直， 所以， 解得或． 15分 17．【详解】（1）由题意知， 因为，所以， 2分 又平面，又平面，所以， 又平面，且， 所以平面， 4分 又平面，所以. 6分 （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 8分 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 12分 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以. 15分    18．【详解】（1）由题可知， 因为是等边三角形，所以. 由余弦定理得， 所以，因此. 2分 又因为，平面，，所以平面， 又平面，故平面平面. 5分 （2）记的中点为，的中点为，连接，， 所以，又，所以， 因为为等边三角形，所以， 7分 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，，所以，，两两垂直， 9分 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. 12分 ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. 15分 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17分 19．【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 2分 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 4分 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 7分 因为，故，即异面直线与所成角为. 9分 （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 11分 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 13分 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 15分 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、、均为单位向量，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以，， 因此，. 故选：C. 2．如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 3．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 4．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【详解】，，， ，，即，，平面, 平面，又， ，即， ， 故选：A． 6．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 7．如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨以为原点，、、分别为、、轴正方向建立直角坐标系， 设，则，，，设， 结论：，，令得，故当与重合时，，正确； 结论：，，令，故当时，，正确； 结论：与不平行，故点运动时到距离不是定值，又为定值，故的面积不是定值．错误． 结论：到底面距离不变，面积不变，而为定值．正确． 故选：C． 8．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在四面体中，分别是的中点，是和的交点，是空间任意一点，则（    ） A．四边形EFGH是平行四边形 B．直线与是异面直线 C．直线与垂直 D． 【答案】ABD 【详解】在中E，H分别是AB，AD的中点， 所以为的中位线， 所以，且，同理，且， 所以，，即四边形EFGH是平行四边形，A正确； 直线平面，平面， 所以直线与是异面直线，B正确； 平行四边形EFGH不一定是矩形，即与不一定垂直， 所以直线与不一定垂直，C错误； 四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点， 因为E，G分别是AB，CD的中点， 所以， D正确. 故选：ABD 10．在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 【答案】AC 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 【答案】或 【详解】由题意知所在的直线平行， ，， 共线的充要条件是 显然，，符合题意. 当时，由，得 代入，得 综上，的值为1或. 故答案为：1或3. 13．两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 【答案】/0.5 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 14．设正方体的棱长为 2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是 . 【答案】 【详解】在棱长为 2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设点，，在上任取点， ，，依题意，，即， 当时，，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0； 当时，，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，轨迹长度为； 当时，，则，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0； 当时，，，点的轨迹是线段，轨迹长度为； 当时，，点的轨迹是线段，轨迹长度为； 当时，，则，点的轨迹是一个点，轨迹长度为0， 所以曲线的周长是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【详解】（1）点为的中点，， 2分 ， ． 6分 （2）， 由（1）得 8份 ． 13分 16．（15分）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 2分 因为， 所以，解得， 所以或． 5分 （2）因为、、，，， 所以，， 7分 则. 10分 （3）因为，， 12分 又与垂直， 所以， 解得或． 15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点，．    (1)证明：； (2)若为线段上一点，且四点共面，求三棱锥的体积． 【详解】（1）由题意知， 因为，所以， 2分 又平面，又平面，所以， 又平面，且， 所以平面， 4分 又平面，所以. 6分 （2）因为平面，又平面， 所以，又，所以两两垂直， 8分 如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为 则， 不妨令，则所以 12分 设，则， 因为四点共面，则，解得， 即，所以. 15分    18．（17分）如图，在四面体中，为等边三角形，，，且. (1)求证：平面平面； (2)若点满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由题可知， 因为是等边三角形，所以. 由余弦定理得， 所以，因此. 2分 又因为，平面，，所以平面， 又平面，故平面平面. 5分 （2）记的中点为，的中点为，连接，， 所以，又，所以， 因为为等边三角形，所以， 7分 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，，所以，，两两垂直， 9分 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. 12分 ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. 15分 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17分 19．（17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 2分 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 4分 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 7分 因为，故，即异面直线与所成角为. 9分 （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 11分 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 13分 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 15分 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$