专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 例3（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例4（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 例5（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 例6（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 例7（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 4.（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 7．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ． 8．（2025·河南·二模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    9.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °． 10．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，是的外接圆，将沿着弦折叠交于点P，则 ． 12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ． 13．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，是的内接三角形，，将沿折叠恰好经过中点，连接，若，，则的半径长为 ，的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 15．（2025·河南周口·校考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ．    16．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ． 17．（24-25·广东汕头·九年级校考期中）如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径． 18．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴， ∵，∴， 根据翻折可得，，，∴， ∴．故选：C． （24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是，∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， 如图所示，连接，在上截取，连接，∴， ∵的度数为，∴∴， ∵，∴都是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，故答案为：． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴，∴，在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心，∴，故选：A． 例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将沿弦翻折过圆心，交弦于点，，则长为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形， ∵，∴，∴． 例3（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，∵是直径，∴，    ∵，∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴， 又∵，∴，∴．故选D． 例4（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】7 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，， ，， ，，， ，．故答案为：7． 例5（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且交于点D，如图2所示，若弧为，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可得：，，， 为直径，．故答案为：． 例6（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，∵是的中点，∴，故A正确， ∵∴，故B正确，∴， ∵∴又∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴矩形是正方形，∴， 又∵，∴∴∴ ∴是等腰直角三角形，∴，故C正确∴，故D不正确故选：D． 例7（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，；(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合，∴， 在中，，即，解得； ∴，即，∵， ∴，∴弧的长为． （2）解：如图2，连接，∵是直径，∴ ∵，∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴，∴，∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、，∵，∴的半径为， 由（2）知：，∵，∴， ∴，∴，∴ 在中，， 在中，． 例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示，当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，故答案为：；或．       （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，， 由折叠可知，，， ，，， ，和是等边三角形，， ∴弓形的面积等于弓形的面积，∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积；，则，， ，∴阴影部分面积，故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ，，， ∵E是的中点，，，， 设，则，， 是直径，，，，， ，，，则是等腰直角三角形， ，，， ， ，∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【详解】解：如图，连接，是直径，，， ，， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，， ，，．故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，交于，过点作于，过点作于，连接、， ∵为边上的中线，，∴，，∴， ∵将沿翻折后刚好经过点，，交于，∴点为点的对应点，， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴四边形是正方形， ∴，∴，∴， ∵，∴．故选：B． 3.（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如下图，∵四边形内接于，∴，    ∵点在上的对应点为点，∴根据折叠的性质有， ∵，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴是直角三角形， ∵，在中，， 在中，， ∵，∴，∵，∴是等边三角形， ∴，，∴的长为：．故选：C． 4.（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆． ∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：． 又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴． ∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；故选：B． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ，垂直平分，， ，，是等边三角形，， ，， ，，，，故选：A 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 【答案】 【详解】解：过O作于D，交于C，连接，设， 由折叠可知：，中，，， 根据勾股定理，得：，∴，解得：（负值已经舍去）故答案 ：． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ． 【答案】 【详解】解：解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，，，∴，，又，∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是，∴，则， ∵，∴，则， 在中，， 在中， ∴．故答案为：． 8．（2025·河南·二模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    【答案】 【详解】解：如图，连接，,过点作于点，则， ∵是的直径，∴，在中，，， ∴，，， ∵，，∴是的中位线，∴， =，故答案为：．   9.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，弧与交于点D，若度数，则的度数为 °． 【答案】 【详解】解：设为直径的圆的圆心为点O， 如图2，设上的点D翻折前为点E，连接，， 由折叠的性质得到：，，∴，∴， ∵为直径，∴三段弧度数和为，三段弧度数和为， 度数，度数为， ∴度数，∴，故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，∴，根据折叠可知：，，， ∴，∴，即， ∵，∴，∴，∵为的直径，∴， ∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，设，，则，，， ∵，∴，整理得：， ∴，∴． 11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，是的外接圆，将沿着弦折叠交于点P，则 ． 【答案】 【详解】连接，过点C作交与E，设点P由点折叠得到， 由折叠可知：关于直线对称， ∵点A，，C，B在圆上，∴， 又，，，，， ，，，∴，，即， ，，，， 又，∴，．故答案为： 12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，点为圆心，过点作交于点，连接、、， ∵在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点， ∴和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，， ∴和所对的圆心角也相等，∴，∴， 又∵，，，∴设，则， ，，， ，∵， ∴，整理得：，， ∴或，解得：，（负值舍去）， ∴半圆的直径，故答案为：． 13．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，是的内接三角形，，将沿折叠恰好经过中点，连接，若，，则的半径长为 ，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵中点， ∴，，∴； 如图：过点C作垂足为E，作D关于的对称点F，连接， ∵是四边形的外接圆，∴， ∵将沿折叠恰好经过中点，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∴．故答案为：，． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，，∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为，∴， ∴，∴，∴， 在中，， 在中，，，∴．故答案为：． 15．（2025·河南周口·校考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ．    【答案】8 【分析】由图可知，当时，，此时，，点与点重合，由此即可解题． 【详解】解：由图可知，当时，， 此时，，点与点重合，如图，取的中点，连接、，     ，根据对称性，得，， ，是等边三角形，，， 为直径，，在中，，， ，长为．故答案为：． 16．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，．则，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴故答案为： 17．（24-25·广东汕头·九年级校考期中）如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，BC垂直平分DE， ∴∠CBD＝∠CBE，∴，∴，∴AC＝EC； （2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图： 设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，∴OC⊥AD， ∴AH＝AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，∴CH＝＝＝3， ∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：， 解得：r＝，即⊙O的半径为． 18．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．(1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径r； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数． (3)如图2，如果，，求的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）设点D关于弦的对称点为F，连接，交于点E，则， 因为，所以，设，则， 根据勾股定理，得，解得，故圆的半径r为1． （2）设点D关于弦的对称点为F，连接，， 根据题意，得，，所以，所以； 因为为直径，所以， 所以． （3）如图，连接，，过点C作于点G，根据（2）得到，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，， 所以，， 所以． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$