专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题03.相似三角形中的基本模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 例2（2025·河南周口·三模）已知，如图（a）所示，是等腰三角形，，D是上一点，过点D作交于点C． (1)将绕点O旋转到图（b）位置，使B，D，C三点在同一直线上，连接，若，则 ；线段，的关系是 ；(2)在（1）的条件下，把改为，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正确结论；(3)如图（c）所示，，连接，，在绕点O的旋转过程中，当 时，请直接写出的长． 例3（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．①与之间的数量关系为_________；②的度数为_________； 【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 例5（2025·安徽滁州·三模）（1）如图①，正方形的顶点E，H 在正方形的边上，则 ； （2）把图①中的正方形都换成矩形，并以点A为旋转中心顺时针旋转如图②，且，此时 ． 例6（24-25·山西太原·九年级校考期中）【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【观察发现】如图2，当时，_________． 【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．      1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 3．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    4．（2025·安徽滁州·三模）如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点E是上一动点（不与点A，B重合），，与交于点F． （1）若为等腰三角形，则 ；（2）当时， 。 5．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，与都是等腰直角三角形，，连接．(1)求证：；(2)如图2，当平分，点C在上时，直接写出图中所有与相等的角．    6．（24-25九年级下·江西九江·期中）【阅读材料】如图，在中，，，则，过B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”的性质可知．在中，因为，所以．所以，即顶角为的等腰三角形的底边长等于腰长的倍． 【问题发现】如图，在菱形中，，，点P，M分别在边，上（均不与端点重合），且，，以和为邻边作菱形，连接，． （1）如图1，与的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当菱形绕点A顺时针旋转时，连接，，，则与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； 【拓展延伸】（3）当时，菱形绕点A顺时针旋转至C，N，M三点共线时，请求出线段的长度． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 8．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 10．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）探究并证明以下问题： (1)如图，矩形的对角线、交于点，且，点为线段上任意一点，以为边作等边三角形，连结，求证：． (2)如图，在正方形中，点为边上任意一点，以为边作正方形，为正方形的中心，连结，直接写出与的数量关系______． (3)如图，在菱形中，：：，点为边上一点，以为对角线作菱形，满足，连结，猜想与的数量关系，并证明你的结论． 11．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 13．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 14．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 15．（2024·湖北·模拟预测）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是的边上一点，以为边在右侧作，且，，连接． (1)如图1，若．①求证：；②填空：_______； (2)如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若于D，且，求的长． 16．（2024·山西太原·三模）综合与实践 已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与交于点，与直线交于点，，交于点， (1)如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论； (2)①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由； ②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________；(3)继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，在图4上将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.相似三角形中的基本模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴，∴； ②∵当时，∴∴， ∵∴，是等腰直角三角形 ∵∴，即∴∵∴ ∵平分∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴； （2）如图所示，连接， ∵∴， ∵∴， 同（1）可得，∴ ∴设，则同（1）可得，∴ ∴∴． 例2（2025·河南周口·三模）已知，如图（a）所示，是等腰三角形，，D是上一点，过点D作交于点C． (1)将绕点O旋转到图（b）位置，使B，D，C三点在同一直线上，连接，若，则 ；线段，的关系是 ；(2)在（1）的条件下，把改为，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正确结论；(3)如图（c）所示，，连接，，在绕点O的旋转过程中，当 时，请直接写出的长． 【答案】(1)；(2)不成立，正确结论为， (3)的长为 【详解】（1）解：如图 1，∵，， ，，，， ∵，是等边三角形，， ，是等边三角形， ，，， ，，， ，，， ，故答案为：； （2）解：（1）中结论不成立，正确的结论为， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 即：； （3）解：如图3，在中，，∴， 过点作于，则， 在中，，∴， ∴，∴，∴， 同理：，∴， ∵，∴，， ，，延长相交于， ， ， ，，， 在中，，，设， 则，过点作于，， 在中，，，， ，， 在中，，根据勾股定理得，， ，（舍去）或，． 例3（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，回答下列题： 【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．①与之间的数量关系为_________；②的度数为_________； 【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【详解】解：（1）①， ，， 又，，，， ②设与交于点，由①知，，， ，， ，故答案为：①；②； （2）中，，．∴ 同理得：∴，∵，∴， ∴．∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，．∴， ∵，∴，∴，∴由勾股定理得， 在中，，∴，同（2）可证明：， ∴，∴， 如图3-2中，连接，作于H，同法可得，，∴， ∵，∴，∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 例5（2025·安徽滁州·三模）（1）如图①，正方形的顶点E，H 在正方形的边上，则 ； （2）把图①中的正方形都换成矩形，并以点A为旋转中心顺时针旋转如图②，且，此时 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于F，∵四边形和都是正方形， ，，，，即， ，∴四边形是矩形，，同理可得：， ，是等腰直角三角形，∴．故答案为：． （2）连接，，∴ ，∴，∴，， ∴，即， ∴，，∴， ∵，，∴ ∴．故答案为：． 例6（24-25·山西太原·九年级校考期中）【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【观察发现】如图2，当时，_________． 【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．      【答案】观察发现：；方法迁移：；拓展延伸： 【详解】观察发现：如图1，∵分别是的中点，∴是的中位线， ∴, 由勾股定理得, ∴, 如图2，由旋转得∴即 又∵∴,∴故答案为 方法迁移：理由如下：连接，如图，              ∵，点E，F分别是的中点，∴， 在矩形中， 在中，由勾股定理得，同理可求得 ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 拓展延伸：连接过点A作于点H，如图5， ∵，点E，F分别是的中点，四边形分别是平行四边形， ∴∴∴∴ ∴∴ ∴同理可得，； 如图6，连接由旋转得，∴ 又∵∴∴故答案为：． 1．（24-25·北京顺义·九年级校考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴．故选B． 2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 3．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【详解】∵在中，，，，∴ ∵∴，∴∴∴ ∵∴∴ ∴∴．故答案为：． 4．（2025·安徽滁州·三模）如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点E是上一动点（不与点A，B重合），，与交于点F． （1）若为等腰三角形，则 ；（2）当时， 。 【答案】 1 【详解】（1）解：∵，为等腰三角形，∴为等边三角形，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，即， ∴，∴ ，故答案为：1； （2）如图，作，垂足为点M．设，则，， 此时， ，．∵，∴， ∵，∴， ，， ∵，∴ 又∵，∴． 在和中，∵，， ∴，，故答案为：． 5．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，与都是等腰直角三角形，，连接．(1)求证：；(2)如图2，当平分，点C在上时，直接写出图中所有与相等的角．    【答案】(1)见详解 (2)，，， 【详解】（1）∵与都是等腰直角三角形∴， ∴,∴ ∴∴ （2）∵平分∴ ∵,∴, ∵∴同理（1）可得： ∴ ∵∴∴与相等的角有：，，， 6．（24-25九年级下·江西九江·期中）【阅读材料】 如图，在中，，，则，过B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”的性质可知．在中，因为，所以．所以，即顶角为的等腰三角形的底边长等于腰长的倍． 【问题发现】如图，在菱形中，，，点P，M分别在边，上（均不与端点重合），且，，以和为邻边作菱形，连接，． （1）如图1，与的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当菱形绕点A顺时针旋转时，连接，，，则与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； 【拓展延伸】（3）当时，菱形绕点A顺时针旋转至C，N，M三点共线时，请求出线段的长度． 【答案】（1）； （2）与之间的数量关系不发生变化；理由见详解（3）或 【详解】解：（1）延长，交于， 四边形是菱形，，，， ，， 四边形是菱形，，，，， 四边形是平行四边形，，，同理，，， ，，，由顶角为的等腰三角形的底边长等于腰长的倍， 得，；故答案为：； （2）与之间的数量关系不发生变化； 理由： 连接,四边形是菱形，，，， ，，，同理，， ，，，； （3）①当点在线段上时，如图所示：连接，作，交的延长线于点， 四边形是菱形，，，， C，N，M三点共线时，，中，，， 设，则，，当时，，，， 由顶角为的等腰三角形的底边长等于腰长的倍,得，， ，即，解得（负值已舍去），； ②当点在线段上时，如图所示：连接，作，交的延长线于点， 当时，，，，由顶角为的等腰三角形的底边长等于腰长的倍, 得，，四边形是菱形，， ，，C，N，M三点共线时，， 中，，， 设，则，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ，， ； 综上所述，C，N，M三点共线时，线段的长是或． 7．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1)(2)(3)6 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，，∴，，∴． 在和中， ，∴，∴； （2）解：结论：，理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，．∵， ∴，∴，∴，∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形，∴，． ∵，∴，∴， ∴．∵，∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为，∴，∴， 解得（舍去），．∴正方形的边长为6． 8．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形，∴，，， 即：，∴， 在和中，，∴，∴，即：故答案为： （2）∵，，，∴、均为等腰直角三角形， ∴，，，即：，∴， 在和中，，∴∴即： （3）∵，D为AB的中点，，∴，， ∵，与交于点，∴， 在中，，∴如图5所示， 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【详解】解：（1）在中，，， ，，即， 在和中，，，， ，，故答案为：； （2），理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ，，∵，， ，，，∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知，， ∴，即，， ，，， ，，在中，，， ，，，， ，2×，． 10．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）探究并证明以下问题： (1)如图，矩形的对角线、交于点，且，点为线段上任意一点，以为边作等边三角形，连结，求证：． (2)如图，在正方形中，点为边上任意一点，以为边作正方形，为正方形的中心，连结，直接写出与的数量关系______． (3)如图，在菱形中，：：，点为边上一点，以为对角线作菱形，满足，连结，猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵以为边作等边三角形，∴，，即 在和中，，∴，∴； （2）连接，∵四边形是正方形，F为正方形的中心， ∴，，；即，， ∴，∴即，故答案为：． （3）．理由：∵四边形为菱形，∴，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴即， ∵，，∴， ∴， ∴， 即． 11．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 【答案】（1）；（2），（3）． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∵，∴，∴, ∴，设．，则， ∵，∴，设，同理可得，， ∴，，∴；∴，∴,∴； （2）过D作，交的延长线于H，作于N，如图：∴ ∵是等腰直角三角形，， 由旋转的性质可知：，， ∴和是等边三角形，∴， ∵ ∴， ∴，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴,∴； （3）过点N作于点H，如下图， 在等边中，，在等边中，， ∴，∴，即, ∵，∴，∴， ∴点N总在直线上，即垂直平分， 点N总过的路径为一条线段，起点为M、A重合时点N的位置，终点为的中点H， 如图所示，在等边中，点M、A重合时，， 此时等边三角形“三线合一”的性质可得,∴点N经过的路径长为：． 12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴，∴； ②∵当时，；∴；∴， ∵；∴，是等腰直角三角形 ∵；∴，即；∴ ∵；∴；∵平分；∴；∴ ∵；∴ ∵；∴；∴ ∵；∴；∴； （2）如图所示，连接，∵；∴， ∵；∴， 同（1）可得，；∴；∴设，则 同（1）可得，；∴；∴；∴． 13．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN． 14．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12， 【详解】（1）∵，，．∴， ∴，， ∴即，∵∴，∴． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，∴， ∵是中线∴，∴， ∵，∴即， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵∴四边形矩形，∴， ∴，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得；∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q， ∵，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴，故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得； 故． 15．（2024·湖北·模拟预测）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是的边上一点，以为边在右侧作，且，，连接． (1)如图1，若．①求证：；②填空：_______； (2)如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若于D，且，求的长． 【答案】(1)①见解析；②1(2)；(3) 【详解】（1）①证明：∵，∴， ∵，∴、均为等边三角形， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，； ②由①得，∴，故答案为：1； （2）解：，理由如下：∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵，∴由（2）得，∵，， ，，， ，，，，， ，∴，，，， ，，过点P作于点E，如图所示： ，，， ， 16．（2024·山西太原·三模）综合与实践 已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与交于点，与直线交于点，，交于点， (1)如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论； (2)①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由； ②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________；(3)继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，在图4上将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时的长． 【答案】(1)见详解(2)①菱形，理由见详解，②(3) 【详解】（1）证明：连接，∵四边形，为矩形，且， ∴，，∴， ∵，∴，∴； （2）解①：四边形 为菱形 如图， ∵四边形，为矩形，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴四边形为菱形； ②如图， ∵矩形矩形，∴，∴，∴， 设，则，∴在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，∴，故答案为：； （3）解：补全图形如图： 过点Q作的垂线交于点R，于点K， ∵四边形，为矩形，∴，， ∴，∴，由题意得：，∴，∴， ∵，，∴，∴， 在中，由勾股定理可得，∴， ∵，，∴ ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴在中，由勾股定理求得， ∴，∴在中，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$