专题03 圆中的重要模型之圆与全等三角形常见模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册

专题03 圆中的重要模型之圆与全等三角形常见模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 9 模型3、蝴蝶模型 14 模型4、手拉手（旋转）模型 9 模型5、对角互补模型 14 17 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【详解】∵，是圆的两条切线∴ ∵∴（）∴，故A正确，不符题意； ∴，故C正确，不符题意； ∵∴在中，故B正确，不符题意； 若，连接，∵，∴∴是等边三角形， ∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D 例2（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆．(1)证明：是的切线；(2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵为半径，∴为半径，又∵，∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得，∴， 设的半径为r，则，∴，由（1）得， ∴，∴，在中，由勾股定理得， 即，解得：， 在中，由勾股定理得，即，∴． 例3（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ，是的切线，，，， ，，． 在和中，，，，， 是的半径，是的切线； （2）解：，是的切线，平分，平分， ，，， ．，，． 在中，，在中，， ，． 模型2、燕尾模型 例1（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，连接，，为直径，，， ， ，过圆心，，，，为等边三角形，； （2）解：如图，连接，，，， ，， ，，， 设的半径为，则，，， ，，根据勾股定理可得， 即，解得（负值舍去），所以的半径为． 例2（24-25·重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由圆的基本性质可知：，， ∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形， ∵和的顶角均为， ∴，， ∴，∴，故B正确； ∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点， ∴不一定等于，故C错误； 在和中，∴，∴，故D正确；故选：C． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 【答案】，是小圆O的切线，证明见解析 【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中,∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意可得：，， 由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，， ，即，，． 在与中，，． （2）解：当为直径时，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为直径，∴，即， ∴，∴优弧的长度为． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：如图，连接，，，，， 在和中，，，． 例2（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________． ∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴．∵于E点，于点F∴ 在与中，∴．∴． ∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 例3（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析 【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C， 在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）； （2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°， ∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B， ∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD； （3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：    ∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2， ∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1， ∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为， ∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 【答案】32 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵是圆内接四边形，∴，， 又∵，∴，又∵，∴， ∴，，∴， ∴，故答案为：． 例2（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，， (1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴ ∴，∴平分圆周角，∴圆中存在“爪形D” ． （2）证明：如图：延长至点E，使得，连接， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，∴，∴为等边三角形，∴，即． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3) 【详解】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）过点作于点，在中， ∴，，∴，， 在中，，， ，．， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于，， 是等腰直角三角形∴， 即 ． 例4（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为．①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 图1                 图2                  图3 【答案】(1)(2)①，②证明见解析．(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意得：四边形是圆美四边形， ，，． （2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接， ，，，， ，，．故答案为：． ②如图，连接，在（1）的条件下，，， 平分，，，， 是等边三角形，延长到，使得， 又，，，，， ，为等边三角形， 则，即，． （3）如图，延长和交于点，在（1）的条件下，，， 是直径，，，， ，，在中，，， 即，解得：． 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则， ， 平分，，，， 四边形是圆的内接四边形，， ，， 在和中，，，， 是圆的直径，，平分，， 、是等腰直角三角形， ，，， ，，，， ，故选：D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中，，， ，，， ，，故选：D． 2．（2025·北京·校考一模）如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（    ）    A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：∵切于，∴，，， ∵在和中，∴，    ∴，∴，故B正确．故选：B． 3．（2024·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 【答案】BCD 【详解】解：连接、，、，设切点分别为E、F、G、H，    ∵为的切线，∴，， ∵，，∴，∴， ∴是线段的垂直平分线，∵，，∴， 由切线长定理知，，∴， ∵，∴也是线段的垂直平分线， ∴A，O，C三点共线，，故选项B、C、D正确； 的大小是变化的，故选项A错误，故选：BCD． 4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA．∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON， ∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM， 在Rt△ONC和Rt△OMA中，∵OC=OA，CN=AM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：；(2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)四边形是菱形，理由见解析 【详解】（1）证明：是直径，， 在和中，，，， ，； （2）解：四边形是菱形，理由如下：，，，∵，， 在和中，，， ，四边形是平行四边形， ，，四边形是菱形． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴，即， ∴，即，∴； （2）解：．证明：由（）得，， 在和中，，∴； （3）解：如图，连接， ∵，∴，同理（）可得，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，设，， 在中，由勾股定理得，∴， 又∵的面积为，∴，∴，∴， ∴，∴． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，连接， 以点为圆心，同样长度为半径画圆弧， 又，． （2）解：，，∴， ∵，∴，解得：， ∵，∴为等腰直角三角形．∵，∴，∴， ∵，∴． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切． 【答案】见解析 【详解】连接，过点O作于E，∴， ∵与小圆相切于点D，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴是小圆的半径，∴与小圆相切． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）解：①，，，． ②连接，过作，垂足为， ，，是等腰直角三角形，且， ，，是等腰直角三角形，， 在直角三角形中，，； （2）证明：延长交圆于点，连接，则， ，，，，， ，，为该圆的圆心； （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点D，连接，， ，，是等腰直角三角形，， ，，，是直径，， ，，，， ，. 10．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，， ∴，∴四边形是矩形，∵，是的等垂弦，∴， ∵，，∴，∴矩形是正方形； （2）①证明：连接，∵，，∴，∴，       ∵，∴∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴、是的等垂弦． ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示： 由①得，，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，， ∵，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴垂直平分，∴， ∵，∴∴， ∵，∴∴，∴． 11．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，AB是的直径，BD切于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且，连接． （1）求证：CD是的切线；（2）若，OP：：2，求PC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：如图所示，连接OC． ∵DB切⊙O于点B，∴∠OBD=90°．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO． ∵OD∥AC，∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠BOD，∴∠COD=∠BOD． 又∵OC=OB，OD=OD，∴≌(SAS)，∴∠OCD=∠OBD=90°， 即OC⊥CD，且OC为直径，∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵AB=12，AB是直径，∴OB=OA=OC=6． ∵OP∶AP=1∶2，∴OP=2，AP=4．∵CE⊥AB，∴∠OPC=90°， 在Rt△OPC中，由勾股定理，PC=，∴． 12．（24-25·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）已知：，于点，于点．求证：． 证明：∵，∴．∵，，∴，，∴． 在和中，， ∴（HL），∴． （2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接． 由（1）可知，当时，．在和中，， ∵∴（HL），∴，即平分． 13．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． （2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______． （3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值． （4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）；（4） 【详解】（1）证明：由旋转得，，，， ，， 、、三点在同一条直线上，， 是等边三角形，， ，是等边三角形，， ； （2）是的弦，且的半径为， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是，故答案为：． （3）类比迁移解：如图，，， 是的直径，且圆心在上，，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ，，、、三点在同一条直线上， ，， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ，的最大值是， ，周长的最大值是． （4）拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，，， 连接、，，， ，，， ，，，的最小值为． 14．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为． 下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接．缺失（1） 在与中，，∴．∴，，， 又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 【答案】【问题背景】；【问题探究】见解析；【结论应用】 【详解】解：问题背景：∵点、、、均为上的点，， ∴．故答案为：； 问题探究：证明：延长至点使，连接． ∵四边形为的内接四边形，∴， 又∵，∴． 在与中，，∴．∴， ∵，，，∴， ∴，∴为等边三角形，∴，∵∴， ∵，，∴． 结论应用：延长至点使，连接，． 同理可证，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． ∵，，∴，∴是直径， ∴，∴．∵四边形的周长， ∴要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值， ∴当过圆心时，取得最大值，的最大值为， ∴四边形周长的最大为：．故答案为：． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)10． 【详解】（1）证明：平分，，弧弧，， 弧弧，，，； （2）证明：如图：弧弧，，且， ，， 且，为等边三角形； （3）解：如图：设，为等边三角形， ，弧弧，，， 弧弧，，弧弧，， ，，， ，， 在上截取，且，是等边二角形，， ，且， ，，． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证：(2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵平分，∴ 又∵，．∴，∴，∴． （2）解：如图：延长到，使，过作于点， ∵，，∴， ∵，，∴， 又∵，∴∴，， ∵，，，∴在中，， ∴，∴． 17．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：作于M，交延长线于N，∴，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 18．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，正方形内接于，点M为劣弧上一点，连接，点N在弦上，，连接．试判断与的数量关系； 【问题解决】（2）如图2，是某市高新技术产业开发区的一块空地，为满足民众不断增长的健身需求，区政府计划在这块空地上修建一座全民健身中心，的内接四边形为全民健身中心的设计图，对角线为两条走廊，在上取点N，将区域规划为功能训练区，根据设计要求，，，为了合理预算，设计师需要知道与的数量关系，请你帮助设计师计算出与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：, 理由是：∵正方形内接于，∴ 又∵，∴，∴； （2）在上截取，如图， ∵,∴垂直平分，∴∴，∴，∵∴， ∴，∴∴∴， ∵，∴，∴， ∴，即 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆中的重要模型之圆与全等三角形常见模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 9 模型3、蝴蝶模型 14 模型4、手拉手（旋转）模型 9 模型5、对角互补模型 14 17 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 例2（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆．(1)证明：是的切线；(2)已知 ，求的长． 例3（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 模型2、燕尾模型 例1（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于．(1)如图1，若过圆心，求的度数；(2)如图2，若与相交于，求的半径． 例2（24-25·重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知线段、为的弦，且，求证：． 例2（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________． ∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 例3（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 例2（24-25·浙江绍兴·九年级校考期中）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，， (1)证明：圆中存在“爪形D”；(2)若，求证： 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例4（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为．①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 图1                 图2                  图3 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·北京·校考一模）如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（    ）    A． B．6 C．8 D．10 3．（2024·山东潍坊·校考一模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 4．（24-25·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：；(2)试判断四边形的形状，并说明理由． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 8．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，与小圆相切于点D．求证：与小圆相切． 9．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考（2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 10．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度．    11．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，AB是的直径，BD切于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交于点E，且，连接． （1）求证：CD是的切线；（2）若，OP：：2，求PC的长． 12．（24-25·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 13．（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． （2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______． （3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值． （4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值． 14．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为． 下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接．缺失（1） 在与中，，∴．∴，，， 又，∴，∴，∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证：(2)如图2，若，求证：． 17．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长   18．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】（1）如图1，正方形内接于，点M为劣弧上一点，连接，点N在弦上，，连接．试判断与的数量关系； 【问题解决】（2）如图2，是某市高新技术产业开发区的一块空地，为满足民众不断增长的健身需求，区政府计划在这块空地上修建一座全民健身中心，的内接四边形为全民健身中心的设计图，对角线为两条走廊，在上取点N，将区域规划为功能训练区，根据设计要求，，，为了合理预算，设计师需要知道与的数量关系，请你帮助设计师计算出与的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$