【第三章 一次方程（组） 04讲 一元一次方程的应用】暑假小升初衔接训练2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 04讲 一元一次方程的应用 目录 【知识点1. 列方程解应用题解题步骤】…………………………………………… 1 【题型1. 行程问题】………………………………………………………………… 2 【题型2. 配套问题】………………………………………………………………… 4 【题型3. 工程问题】………………………………………………………………… 7 【题型4. 和差倍分问题】…………………………………………………………… 9 【题型5. 销售盈亏问题】…………………………………………………………… 11 【题型6. 比赛积分问题】…………………………………………………………… 13 【题型7. 方案选择问题】…………………………………………………………… 15 【题型8. 数字问题】………………………………………………………………… 17 【题型9. 几何问题】………………………………………………………………… 18 【题型10. 动点问题】……………………………………………………………… 19 【题型11. 电费和水费问题】……………………………………………………… 20 【题型12. 日历问题】……………………………………………………………… 23 【题型13. 古代问题】……………………………………………………………… 25 【题型14. 其他问题】……………………………………………………………… 27 【课后作业】………………………………………………………………………… 31 知识清单 1、列方程解应用题解题步骤 直击考点 题型1. 行程问题 例1．2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 例2．小明平时骑自行车上学，骑行的速度为千米/时．某天因自行车维修，他改为步行，步行的速度为千米/时．已知他比平时早出发了分钟，且到校时间与平时相同．若小明步行和骑车的路线相同，求小明家距学校的路程． 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设小明家距学校的路程为千米，由此列方程求解即可． 【详解】解：设小明家距学校的路程为千米， 根据题意，得， 解得． 答：小明家距学校的路程为千米． 例3．A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 【分析】考查了一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，设慢车出发小时后两车相遇，根据等量关系：路程和为310千米列出方程求解即可； （2）设出发后y小时快车追上慢车，根据等量关系：路程差为310千米列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设慢车出发小时后两车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车出发小时后两车相遇； （2）解：设出发后y小时快车追上慢车，根据题意可得： ， 解得：， 答：出发后小时快车追上慢车． 变式1．甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设甲港口到丙港口之间的距离为，根据该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，列方程即可求解． 【详解】解：设甲港口到丙港口之间的距离为，由题意得： ， 解得，答：甲港口到丙港口之间的距离为． 变式2．小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 变式3．2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． （1）设公交车出发后x分钟时与轿车相遇，根据相遇问题列一元一次方程求解即可； （2）设他们y分钟追上这辆公交车，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设公交车出发后x分钟时与轿车相遇， 由题意可得：，解得：． 答：公交车出发后分钟时与轿车相遇． （2）解：设他们y分钟追上这辆公交车， 由题意可得：，解得：． 答：他们分钟追上这辆公交车． 题型2. 配套问题 例1．学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？ 【分析】 本题考查了配套问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 先设安排x人编织花心，再根据“每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣”列出方程求解． 【详解】 解：设安排x人编织花心，则安排（30﹣x）人编织花瓣， 根据题意得：， 解得：． 答：安排人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套． 例2．2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）设y人制作盒身，则人制作盒底，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工25人，有女工65人； （2）解：设y人制作盒身，则人制作盒底， 由题意得：， 解得：， 答：应该安排50人制作盒身，40人制作盒底，才能使每天生产的产品刚好配套． 变式1．某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程． （1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题； （2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可； 【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人， 根据题意得：， 解得， ， 答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； （2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个， 根据题意，得， 解得． 答：这一天有名工人加工甲种零件． 变式2．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 变式3．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 题型3. 工程问题 例1．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，则“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可． 【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟． ， 解得． 答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间． 例2．某市为了迎接大型马拉松比赛，某条道路需要重新修建．已知每个工程队单独修需要18天，现计划先安排若干个工程队修4天，然后增加3个工程队再一起修2天，全部完成，则应先安排几个工程队先修4天？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意直接假设未知数，找准等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设应先安排个工程队先修4天，根据题意得， ， 解得：， 所以，应先安排2个工程队先修4天． 变式1．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 变式2．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意可得方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工28天． 变式3．甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲单独完成A工程要天，乙、丙两队各自单独完成B工程分别需要天、天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程．几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下的乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成，请问丙队与乙队合作了多少天？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的工程问题，根据“工作总量=工作时间×工作效率”来列方程是解题的关键． 设A的工程量为1，则B的工程量，再分别表示出甲乙丙的工作效率，然后根据题意列出方程可算出两项工程总用时，进而求出丙队和乙队合作的天数． 【详解】解：设A的工程量为1，则B的工程量为， 由题意得：甲的工作效率为：， 乙的工作效率：， 丙的工作效率：， 设甲乙丙三队完成A、B两项工程用了x天， 根据题意得， 解得：， ∴丙队和乙队合作了（天）． 答：丙队和乙队合作了天． 题型4. 和差倍分问题 例1．中国动漫电影《哪吒2》在2025年春节档正式上映，放假期间某校组织教师和学生去电影院现场观看，看完后有学生感叹道：我要学习哪吒“我命由我不由天”的精神，通过150分钟的电影，讲述哪吒的成长历程，传达了逆境中坚持自我、改变命运的主题已知某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班观看电影的教师和学生各多少人？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设这个班观看电影的教师有x人，则学生有人，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：设这个班观看电影的教师有x人，则学生有人，由题意得： ， 解得：， ∴学生人数为； 答：这个班观看电影的教师有4人，学生有46人． 例2．山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷号和长农号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田，各亩，试验田种植晋谷号，试验田种植长农号，收获后统计发现，长农号亩产量是晋谷号的倍，两块试验田单次共收获谷子千克，求晋谷号的亩产量是多少千克？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意、正确列出方程是解题关键． 设晋谷号的亩产量是千克，则长农号的亩产量是千克，结合题意，构建一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设晋谷号的亩产量是千克． 根据题意，得：， 解得：． 答：晋谷号的亩产量是千克． 变式1．某小学举行六年级数学竞赛，参加竞赛的女生人数比男生人数多28名，根据成绩，男生全部列为优良，女生有没有达到优良成绩，男女生取得优良成绩的总人数是42名，参加比赛的男女生人数占全年级总人数的，求六年级共有多少人？（用方程解答） 【分析】本题考查的是分数和百分比的应用，简单方程的应用， 设参加竞赛的女生有x人，则参加竞赛的男生有人，根据女生有没有达到优良成绩，男女生取得优良成绩的总人数是42名，列方程求解即可． 【详解】解：设参加竞赛的女生有x人，则参加竞赛的男生有人，女生获得优良人数为：人， 由题意得， ， ， 解得：， 参加竞赛的男生有人， 六年级共有（人）， 答：六年级共有人． 变式2．甲和乙两个人的钱数之比是，如果甲给乙5元钱，则甲和乙的钱数之比是，甲原来有多少钱？ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据“甲和乙两个人的钱数之比是”可设甲原来有元，则乙有元，再根据“甲给乙5元钱，则甲和乙的钱数之比是”，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲原来有元，则乙有元， ， 解得：， ， 答：甲原来有250元钱． 变式3．解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲带了元，则乙带了元，根据两人剩下的钱一样多列方程，然后进行计算即可解答； （2）设两地相距千米，根据“甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇”列方程，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设甲带了元，则乙带了元， 由题意得：， 解得：， 当时，（元）， ∴甲带了84元，则乙带了54元； （2）解：设两地相距千米， 由题意得：， 解得：， 答：两地相距176千米． 题型5. 销售盈亏问题 例1．2025年海南中考体育科目考试的必考项目为男生1000米跑、女生800米跑，分值30分．为考试作好充分训练准备，某同学决定从网购甲，乙两种品牌的运动鞋，已知购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，并且1双甲种品牌运动鞋比乙种品牌运动鞋多50元．求甲种品牌运动鞋和乙种品牌运动鞋各1双的单价分别是多少元？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是甲种品牌运动鞋每双的价格为x元，则乙种品牌运动鞋每双的价格为元，根据购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种品牌运动鞋每双的价格为x元，则乙种品牌运动鞋每双的价格为元，由题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲种品牌运动鞋每双的价格为250元，乙种品牌运动鞋每双的价格为200元． 例2．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件． （2）解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元． 变式1．“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． (1)上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 【分析】本题考查一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系式解题的关键. （1）根据题意两种茶饮共70杯，总销售额为1200可建立关系式：“巴渠云雾茶”加“龙珠茶”等于销售总额. （2）根据“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，两者共计可冲泡35杯，可建立关系式为：“龙珠茶”加“巴渠云雾茶”等于总杯数. 【详解】（1）解：设上周末售出“巴渠云雾茶”x杯，上周末售出“龙珠茶”杯； 解得： （杯） 答：上周末售出“巴渠云雾茶”30杯，上周末售出“龙珠茶”40杯. （2）设：“龙珠茶”每杯成本是元，“巴渠云雾茶”每杯成本是元. 解得： 经检验：是原分式方程的解， 答：“龙珠茶”每杯成本是8元. 变式2．列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 【分析】（）设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； （）根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台， 由题意得，， 解得， ∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)， 新办法后第一个月型汽车台数：(台) ， 答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， 答：的值为． 题型6. 比赛积分问题 例1．某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，得 ， 解得． 答：九（1）班胜了7场． 例2．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数， 设八（2）班答错了道题，则不答的题数为． 由题意可得， 解得． 答：八（2）班答错了3道题． 变式1．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 变式2．某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 变式3．投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 3分 1分 -2分 在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由． 【分析】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握正确列出算式和方程． （1）根据计分规则用数量乘以分数求和即可得到答案； （2）根据规则分数列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：珍珍第一局的得分：（分）； （2）不可能， 理由：由题意，得， 解得， 为正整数， 不符合题意， 即珍珍的本局得分不可能比第一局提高． 题型7. 方案选择问题 例1．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 先设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，由题意得：，求出一、二级质量标准的苹果质量，再分别求出两个方案的收入，比较即可． 【详解】解：设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为， 由题意得：， 解得：（吨）， 则达到一级质量标准苹果的质量为（吨）， 那么方案一：总收入：（万元）， 方案二：总收入：（万元）， ∵， ∴方案一收入更高，即按分等级出售方案比较合算． 例2．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 变式1．今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解； （2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 所以优惠方案二更划算； （2）解：设学生人数为人，则成人人数是人， 依题意得， 解得， 则， 答：学生人数为人，则成人人数是人． 变式2．某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 【分析】本题主要考查代数式的运用，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题意列式即可； （2）①把代入（1）中的式子计算即可；②根据两个店的情况，在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，代入计算，进行比较即可求解； （3）根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：学校要购买篮球个，跳绳条， 网店：买一个篮球送一条跳绳，所付费用为：（元）； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款，所付费用为：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， ①网店的费用为：（元），网店的费用为：（元）， ∵， ∴在网点购买交合算； ②购买个篮球，条跳绳， 在网点购买个篮球，送了条跳绳，费用为：（元）， 再在网点购买条跳绳，费用为：（元）， 合计：（元）， ∵， ∴在网点购买个篮球，再在网点购买条跳绳，这种方按最省钱，所付费用为元； （3）解：， 解得，， ∴当跳绳购买数为条时，两家网点花钱一样多． 变式3．某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，代数式，正确理解题意列出对应的方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意，按照不同方法求解即可； （2）根据题意，分别求出选座车和选座车的费用，比较即可求解； 【详解】（1）方法一：；或 方法二：，或； 选方法一：由题意，得 解出 （人） 选方法二：由题意，得 或 解出； 故答案为：；或 ，或 （2）解：由题意，若选座车，费用 若选座车，费用 当时，选座车的费用高，应该选座车； 当时，两种车的费用相等； 当时，选座车的费用高，应该选座车． 题型8. 数字问题 例1．有一个两位数，两个数位上的数字和是6，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大18，求原两位数． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用；由题意可设十位数字为x，则个位数字为，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 根据题意得：， 解之得：． ，原数为24． 答：原数是24． 变式1．一个五位数，个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意，设原五位数去掉个位数后的四位数为，则原五位数可表示为，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设原五位数去掉个位数后的四位数为，则原五位数可表示为， 根据题意得， 解得， ， 答：原五位数是37644． 变式2．小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键． （）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）由（）可得若可以使这五个数的和等于，需要满足由（）所得的代数式的和为，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为， （2）解：能，理由： ∵五个数的和能等于， ∴， 解得：， ∴这个数分别为：，，，，． 题型9. 几何问题 例1．如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设原正方形纸片的边长为，根据题意列方程计算即可. 【详解】解：设原正方形纸片的边长为，则根据题意，得 ， 解得， ∴原正方形纸片的边长为． 变式1．如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意表示出各边长进而得出答案； （2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案． 【详解】（1）解：，，且点是边的中点，， ，， 四边形面积为； （2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则， ， 解得：， 如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则 ， 解得：， 答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 题型10. 动点问题 例1．已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 【分析】本题主要考查了数轴上动点的运动，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离计算是解题关键． （1）运动2秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （2）运动秒时，求得、，再根据，两点表示的数分别为，，即可求解； （3）由（2）得点、对应的数，求得、两点之间的距离为，根据当、两点相遇时距离为时即可求解； （4）根据题意得，计算即可求解． 【详解】（1）解：运动2秒时，，， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （2）解：点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度， ，， 点对应的数为，点对应的数为． 故答案为：，． （3）解：由（2）得：点对应的数为，点对应的数为， 、两点之间的距离为， 当、两点相遇时，， 解得：， 点在数轴上对应的数为． （4）解：由（3）得：、两点之间的距离为，且，两点之间的距离为6， ， 当时，解得：； 当时，解得：． 综上所述，当，两点之间的距离为6时，的值为或． 变式1．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，为原点．且满足，是单项式的次数的相反数．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)求出数轴上点表示的数和点表示的数，用含的式子表示出数轴上点表示的数； (2)当点在点的左侧运动时，、分别是线段、的中点，求的值； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，运动多少秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是多少？ 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示，相反数性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，属于基础题型，解题的关键理解题意，掌握以上相关知识点，结合数轴进行分析． （1）根据已知条件，是单项式的次数的相反数，即可求出，，的值，再根据数轴上的点左移减，右移加，即可求出点表示的数； （2）表示出，，利用中点的性质表示出 ，，进一步即可表示出； （3）设运动秒，、两点重合，根据题意得：，解方程，进而求得点在数轴上的点对应的数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又单项式的次数是，是其次数的相反数， ， 点表示的数是，点表示的数是， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数是：． （2）解：当点在点的左侧运动时，，， 、分别是、的中点， ，， ． （3）解：设运动秒，、两点重合，根据题意得： ， 解得：， ， 所以秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是． 变式2．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点与点之间的距离记为），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点表示的数分别是 和 ； (2)当点运动到点时，求的值； (3)若点一直沿数轴负方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点运动多少秒时追上点？此时点和点表示的数是多少？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据点M，N的运动速度及方向可找出秒时点M，N表示的数，再代入即可得出结论； （2）先求出当运动到点时所用的时间，从而求出点N移动的距离，然后把点M和点N移动的距离相加即可； （3）先求出点运动到点时所用时间，得出此时，设此时点运动秒时追上点，得出，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为． （2）解：当运动到点时，点所用的时间为，则点移动的距离为， ∴． （3）解：点运动到点时，， 此时点表示的数为，则此时， 设此时点运动秒时追上点， 则：， 解得：， 即：点运动秒时追上点． 点、所表示的数为． 题型11. 电费和水费问题 例1．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可； （2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：； （2）解：设该用户2月份用水， 依题意得，， 解得，， ∴该用户2月份用水． 变式1．学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 变式2．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 题型12. 日历问题 例1．如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 【分析】本题以生活中常见的日历为背景，考查了有理数的运算及一元一次方程的求解． （1）根据图形的数字计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 答：Y形框框中的这四个数字之和为29． （2）设框住的这四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为． 根据题意，得， 解得． 答：这四个数字中最小的数是15． 变式1．如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据框最中间的数，表示出其余个数是解决问题的关键． （1）根据框最中间的数，表示出其余个数，再列出个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，，然后根据数的位置解答即可． 【详解】（1）解：解：∵框最中间的数为a，则其余4个数分别为，，，， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下：当时，， 结合日历表，得出当正中间的数为17时，右上角、右下角的数不存在，所以这5个数的和不能等于85． 变式2．（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______． （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，第3行3个数的和为．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，列代数式，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握日历中数字规律． （1）根据日历中数的特点表示出另外两个数，然后三个数相加即可； （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据四个数的和为80，列出方程，解方程即可； （3）根据正方形框中位于最中心的数，，得出，求出x的值即可． 【详解】解：（1）一横行左右相邻的三个数，设最小的为，则另外两个数为，，这三个数的和为：； 一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，则另外三个数为，，这三个数的和为：； 故答案为：；． （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据题意得： ， 解得：， ∴存在被框出的4个数的和为80，且最小的数为16； （3）若正方形框中位于最中心的数，则： ， ， ∵， ∴， 解得：或， 根据图可知，在日历中最右边的一列数中，因此不符合题意， 故此时正方形框中位于最中心的数． 题型13. 古代问题 例1．《九章算术》是我国著名的数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，其中有这样一道题：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，请问大小船各有几只？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设有x只小船，则大船只，根据“共8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满”列方程，解方程求出x值和值，即可． 【详解】解：设有x只小船，则大船只， 依题意得，解得，， ∴， ∴大船有3只，小船有5只． 例2．古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 例3．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 变式1．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 变式2．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 变式3．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，问有多少间房？多少人？ 【分析】设店中共有间房，根据住店的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】解：设有间房， 由题意得：， 解得． 人． 答：有8间房，63人. 题型14. 其他问题 例1．陕西是中华民族和华夏文明重要发祥地之一，“中国”二字最早出现在陕西出土的西周早期的一种青铜器“何尊”铭文上．为触摸“青铜史诗”背后绵延数千年的“中国”脉搏，某校计划组织师生共570人前往青铜器博物院开展研学之旅，如果租用7辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多18个，求每辆大客车的乘客座位数． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设每辆大客车的乘客座位数为个，则每辆小客车的乘客座位数为个，根据“租用7辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满”建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：设每辆大客车的乘客座位数为个，则每辆小客车的乘客座位数为个． 根据题意，得， 解之，得． 答：每辆大客车的乘客座位数为55个． 例2．如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解图示，找出数量关系正确列式是关键． 设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为，结合题意得到小卡片的边长为，由此得到卡片左边缘到盒子左边缘的距离为，即可求解． 【详解】解：设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为， ∵卡片的面积为礼物盒上表面面积的， ∴，且小卡片为正方形， ∴小卡片的边长为， ∴， 解得， ∴卡片上边缘到盒子上边缘的距离为， ∵卡片右边缘到盒子右边缘的距离和卡片上边缘到盒子上边缘的距离相等， ∴卡片左边缘到盒子左边缘的距离为， 答：卡片左边缘到盒子左边缘的距离为． 例3．2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每小时分拣快递多少件？ 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设1个分拣员每小时分拣快递x件，根据一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设1个分拣员每小时分拣快递x件，则1台智能机器人每小时分拣快递件，根据题意，可列方程为， 解得， （件）， 答：每台智能机器人每小时分拣快递610件． 变式1．数学来源于生活，生活中也处处离不不开数学．在去年7月份上映的电影《抓娃娃》中一位扮作商贩的演员和小男孩的一段对话中提到：“我尝试着回忆了一下，我记得：斤牛腱子的价格等于斤鸡胸脯的价格，鸡胸脯比猪五花便宜元，斤牛腱子和斤猪五花一共要用元钱，那么问题来了，斤鸡胸脯和斤猪五花分别是多少钱呢？”请你运用学过的知识，帮小男孩解决这个问题． 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，根据题意列方程是解题的关键； 根据题意列方程求解即可； 【详解】解：设1斤鸡胸脯的价格为元，则1斤牛腱子的价格为元，1斤猪五花的价格为元； 根据题意列方程：， 解得：， 猪五花价格为：， 答：1斤鸡胸脯的价格是元，1斤猪五花的价格是元； 变式2．网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 【分析】本题主要了一元一次方程的应用、列代数式等知识点，弄清题意、正确列出方程是解本题的关键． （1）根据网约打车的费规则进行计算即可求解； （2）根据题意，由所付车费列出方程计算出堵车的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得，应付车费：元； （2）解：设堵车时长为分钟， 则， 解得：， 答：堵车时长为分钟． 变式3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 课后作业 一、单选题 1．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，用长的围栏靠墙围成一块长方形果园，长与宽的比是，这块长方形果园的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该长方形果园的长为，宽为，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设该长方形果园的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴该长方形果园的长为，宽为， ∴这块长方形果园的面积是．故选：B． 3．（2025·河南·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，先根据一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺，得到绳子的长，再将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可知绳长为尺，则将绳子对折后的长度为尺， ∴可列方程为． 故选：A． 4．（2025年广东省清远市中考二模九年级数学试卷）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程—行程问题，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，根据题意乙走了500米花的时间等于甲走米的时间，然后列方程即可． 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有 故选：A． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 解得，选项A不符合题意； B.∵，， ∴， 解得，选项B不符合题意； C.∵，， ∴， 解得，选项C符合题意； D.∵，， ∴， 解得，选项D不符合题意； 故选：C． 6．（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用。 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设定价高的为x元，定价低的为y元，然后列代数比较大小，并根据差额为50元求出解答即可． 【详解】解：设定价高的为x元，定价低的为y元， 则， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题关键能准确找出题目中的现期量、基期量和增长率； 根据同比增长率公式“现期量=基期量×(1+增长率)”，列出方程即可． 【详解】解：设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，根据题意得 ． 故选：A． 8．（24-25六年级下·山东淄博·期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 9．（2025·河北·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由记录表格可知，答对一道题得5分，答错一道题扣1分，设答对x道题，则得分分，逐一对选项求解，根据x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：由甲同学得分情况可知，答对一道题得分， 由乙同学得分情况可知，答错一道题扣分， 丙同学得分也符合； 设学生丁答对x道题，则答错道题， ∴得分，且x为正整数， A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，符合题意； C、，解得：，不合题意； D、6x-20=62，解得：，不符合题意； 故选：B． 10．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 15 学生会员租赁 30 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 某班级40名学生集体骑行，由于部分学生已经是会员身份，故这部分学生使用学生会员租赁，其余使用标准租赁．若本次单程总租赁费用为70元（不包括办会员时的费用），且学生会员每人骑行30分钟，标准租赁每人骑行20分钟，则使用学生会员的人数（   ） A．10人 B．20人 C．30人 D．40人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． 设使用学生会员租赁的人数为，则标准租赁人数为，根据题意可得，解方程即可解答． 【详解】解：设使用学生会员租赁的人数为，则标准租赁人数为， 根据题意得：， 解得：， ∴使用学生会员的人数为30人， 故选：C． 二、解答题 11．（24-25七年级下·重庆·自主招生）甲种酒精纯酒精含量为，乙种酒精纯酒精含量为，混合后纯酒精含量为．如果每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为．第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了x升，y升，则，可求出，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；设第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了x升，y升， 由题意得，， ∴， ∴ ， ∴， ∵每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为， ∴， 解得， ∴， 答：甲、乙两种酒精各取了12升，30升． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，书中记载了这样一个问题：今有驿卒，需传递文书至远方驿站．若每日行八十里，则比规定时间迟到两日；若每日行一百二十里，则比规定时间早到一日，问此驿卒应行走的路程及规定时间各是多少？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设规定时间为日，根据“若每日行八十里，则比规定时间迟到两日；若每日行一百二十里，则比规定时间早到一日，”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设规定时间为日， 根据题意，得， 解得， （里）， 答：此驿卒应行走的路程为720里，规定时间为7日． 13．（2025·海南·模拟预测）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A款机器人每件的成本为x万元，则B款人形机器人每件的成本为万元，根据5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同，列方程，解方程即可． 【详解】解：设A款机器人每件的成本为x万元，则B款人形机器人每件的成本为万元， 由题意得：， 解得， ， 答：A款机器人每件的成本为12万元，B款人形机器人每件的成本为10万元． 14．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据“用6000元购进A、B两种文具”列方程求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列式计算即可． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件， 根据题意得：， 解得：， ∴（件）， 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件； （2）解：（元）， 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 15．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购，两种菜苗开展种植活动．经调研，种菜苗每捆的价格比种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆种菜苗和20捆种菜苗共需430元，问：，两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设种菜苗每捆的价格是元，则种菜苗每捆的价格是元．根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设种菜苗每捆的价格是元，则种菜苗每捆的价格是元． 由题意，得， 解得， 则． 答：种菜苗每捆的价格是15元，种菜苗每捆的价格是5元． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）三潭枇杷是安徽黄山的特色产品，有着非常悠久的历史．某果农今年共投入元，枇杷喜获丰收，他了解到枇杷的市场销售信息为：新鲜的枇杷直接销售每斤元，若将枇杷储存一个月再销售，售价为每斤元，但重量会减少，还需要租用储存的仓库，租金为元． (1)设今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共x斤，求枇杷储存一个月再销售的总销售利润； (2)若此果农最终决定储存一个月再销售，且这样销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，求今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共多少斤？ 【分析】本题考查的是一次方程的销售问题的应用，根据题目意思列出关系式是解决本题的关键． （1）由题意得销售总额减去成本等于总销售利润，可以列关系式； （2）根据题意销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，可以列方程. 【详解】（1）解：由题意可得，枇杷储存一个月再销售的总销售利润为 （2）由题意及（1）可得，． 解得． 答：今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共4000斤． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）某中学七年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【分析】（1）由第一名即可求出胜一场的得分，由最后一名即可求出负一场的得分； （2）由（1）所求胜一场的得分和负一场的得分即可求出m和n的值； （3）设该班胜场次数为场，则负场次数为场，根据题意列出关于的等式，解出即可． （4）设该班级胜场，则负场，根据题意列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）2，1 （2）m= 15 n= 13 （3）解：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 经检验，符合题意 答：该班级胜2场 （4）他的说法不正确 理由：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确． 18．（23-24七年级上·广西河池·期末）【问题情境】某班计划购买 20 个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从甲、乙两家商店了解到，同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元；甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架，乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折．设某班购买x个书架． 【初步分析】 （1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示）． （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示） 【提出问题】 （3）若规定只能到其中一家商店购买所有物品，该班购买多少个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多？ 【分析】（1）根据“甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架”即可解答； （2）根据“乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折”即可解答； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付元， 故答案为：； （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付元， 故答案为：； （3）由题意得， 解得 答：该班购买40个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多． 19．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）求出点到达点时的用时，即可求出答案； （2）分当点P在上时和当点P在上时两种情况列出代数式即可； （3）分当相遇前和当相遇后两种情况列方程进行解答即可； （4）分两种情况画出图形列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：当点到达点时，用时， 则点走过的路程为． （2）当点P在上时，，其中， 当点P在上时，，其中， ∴ （3）当相遇前在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 或 解得或， 当相遇后在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，则 解得， 综上可知，当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，t的值为或或． （4）当在上，在上时，此时，,其中， ∴ ∵ ∴ 解得，符合题意， 当在上，在上时，此时，,其中， ∵ ∴ 解得， 综上可知，或， 即当三角形的面积与三角形的面积相等时，或 21．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 22．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元． （2）解：由题意得： 总价， 答：该企业需要支付元． 24．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程和整式加减的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求甲的花费时分和两种情况，求乙的花费时分和两种情况； （2）分当，和三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，甲商场购物的花费为x元， 当时，甲商场购物的花费为元； 当时，乙商场购物的花费为x元， 当时，乙商场购物的花费为元； （2）解：当时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费一样； 当时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少； 当时，解得，故当时，此时到两个商场购物花费一样； ∵， ∴当时，， ∴当时，到乙商场购物花费少； 当时，，此时到两个商场购物花费一样； 当时，，此时到甲商场购物花费少； 综上所述，当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少． 25．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 26．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． （1）设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为，根据等量关系列方程求解即可得； （2）根据题意求出木材可制作200个桌面，进而求解即可． 【详解】（1）解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为 根据题意得， 解得， ∴， ． 答：应用木材作桌面，木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子； （2）解：∵木材可制作20个桌面 ∴木材可制作200个桌面 ∴这样制作，一共能制作200套． 27．（2025·陕西西安·二模）汉中仙毫产自地处秦巴山区的汉中市，是中国国家地理标志产品，富含天然锌、硒等微量元素．某茶叶店举办促销活动，一罐特级仙毫先按成本价提高标价，再按照标价的八折出售，利润为42元，求该茶叶店此类特级仙毫每罐的成本价是多少元？ 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列方程是解题的关键．设该茶叶店此类特级仙毫每罐的成本价是元，一罐特级仙毫先按成本价提高标价，再按照标价的八折出售，利润为42元，据此列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶叶店此类特级仙毫每罐的成本价是元， 则 解得， 答：该茶叶店此类特级仙毫每罐的成本价是元． 28．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若2017年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时 a 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 (1)上表中，_______，若居民乙用电200千瓦时，应交电费______元； (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费为 元 ； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电位于第二档，其当月的平均电价为元/千瓦时，该用户用电为多少千瓦时？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式,正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据结合应交电费60元即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；再由，结合应交电费超出150千瓦时的部分即可求出结论； （2）根据应交电费超出300千瓦时的部分，即可得出结论； （3）设该居民用电m千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时为元，由m在第二档及第三档考虑，根据总电费等于均价乘以数量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出m值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 若居民乙用电200千瓦时，， 应交电费（元）． 故答案为：；； （2）解：当时， 应交的电费（元）； （3）解：设该居民用电m千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时为元， 当该居民用电处于第二档时， ， 解得：； 答：该用户用电250千瓦时． 29．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“购买袋甲和袋乙共需要元”列方程，解方程即可求解； （2）设甲种绿色袋装食品购进袋，则乙种绿色袋装食品购进袋，由全部售完后总利润（利润售价进价）为元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲种绿色袋装食品打了折，分别求解袋的进价和售价，根据袋的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题得：依题意得：， 解得， （元）， 答：甲种食品的进价是元袋、乙种食品的进价是元袋． 故答案为：，； （2）设小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋， 由题意得：， 解得， 则． 答：小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋； （3）解：设甲商品打了折，则由题意得： ． 解得， 答：甲商品打了折． 30．（24-25七年级上·北京·期中）【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据数轴上两点之间的距离公式求解；再根据两点之间的距离列出方程，求出解； 对于（2），先设时间为x秒，即可表示两点运动的路程，再根据两点之间的距离分两种情况列出方程，求出解. 【详解】解：（1）①由题意可知，数轴上表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：4； （2）由题意，得， ∴或， 解得或； 故答案为：2或； （2）设x秒后，点P在数轴上运动的路程是，点Q运动的路程是， 分两种情况： 当两只蚂蚁相遇前在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得； 当两只蚂蚁相遇后在数轴上距离是10个单位长度时，， 解得. 所以两只蚂蚁在数轴上距离是10个单位长度的时间是14或18秒. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 04讲 一元一次方程的应用 目录 【知识点1. 列方程解应用题解题步骤】…………………………………………… 1 【题型1. 行程问题】………………………………………………………………… 2 【题型2. 配套问题】………………………………………………………………… 4 【题型3. 工程问题】………………………………………………………………… 7 【题型4. 和差倍分问题】…………………………………………………………… 9 【题型5. 销售盈亏问题】…………………………………………………………… 11 【题型6. 比赛积分问题】…………………………………………………………… 13 【题型7. 方案选择问题】…………………………………………………………… 15 【题型8. 数字问题】………………………………………………………………… 17 【题型9. 几何问题】………………………………………………………………… 18 【题型10. 动点问题】……………………………………………………………… 19 【题型11. 电费和水费问题】……………………………………………………… 20 【题型12. 日历问题】……………………………………………………………… 23 【题型13. 古代问题】……………………………………………………………… 25 【题型14. 其他问题】……………………………………………………………… 27 【课后作业】………………………………………………………………………… 31 知识清单 1、列方程解应用题解题步骤 直击考点 题型1. 行程问题 例1．2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 例2．小明平时骑自行车上学，骑行的速度为千米/时．某天因自行车维修，他改为步行，步行的速度为千米/时．已知他比平时早出发了分钟，且到校时间与平时相同．若小明步行和骑车的路线相同，求小明家距学校的路程． 例3．A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 变式1．甲乙两港口相距，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行速度为，水流速度为，现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同，求甲港口到丙港口之间的距离． 变式2．小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 变式3．2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 题型2. 配套问题 例1．学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？ 例2．2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 变式1．某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 变式2．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 变式3．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 题型3. 工程问题 例1．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 例2．某市为了迎接大型马拉松比赛，某条道路需要重新修建．已知每个工程队单独修需要18天，现计划先安排若干个工程队修4天，然后增加3个工程队再一起修2天，全部完成，则应先安排几个工程队先修4天？ 变式1．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 变式2．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 变式3．甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲单独完成A工程要天，乙、丙两队各自单独完成B工程分别需要天、天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程．几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下的乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成，请问丙队与乙队合作了多少天？ 题型4. 和差倍分问题 例1．中国动漫电影《哪吒2》在2025年春节档正式上映，放假期间某校组织教师和学生去电影院现场观看，看完后有学生感叹道：我要学习哪吒“我命由我不由天”的精神，通过150分钟的电影，讲述哪吒的成长历程，传达了逆境中坚持自我、改变命运的主题已知某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1080元．这个班观看电影的教师和学生各多少人？ 例2．山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷号和长农号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田，各亩，试验田种植晋谷号，试验田种植长农号，收获后统计发现，长农号亩产量是晋谷号的倍，两块试验田单次共收获谷子千克，求晋谷号的亩产量是多少千克？ 变式1．某小学举行六年级数学竞赛，参加竞赛的女生人数比男生人数多28名，根据成绩，男生全部列为优良，女生有没有达到优良成绩，男女生取得优良成绩的总人数是42名，参加比赛的男女生人数占全年级总人数的，求六年级共有多少人？（用方程解答） 变式2．甲和乙两个人的钱数之比是，如果甲给乙5元钱，则甲和乙的钱数之比是，甲原来有多少钱？ 变式3．解应用题 (1)甲、乙两人到书店买书，两人所带钱数总和为138元，甲买一本英汉词典用去所带钱的，乙买一本同步练习册花了18元钱，这样两人剩下的钱一样多，问：甲、乙两人买书各带了多少钱？ (2)甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是，甲车行了全程的后再行2千米，正好与乙车相遇，问两地相距多少千米？ 题型5. 销售盈亏问题 例1．2025年海南中考体育科目考试的必考项目为男生1000米跑、女生800米跑，分值30分．为考试作好充分训练准备，某同学决定从网购甲，乙两种品牌的运动鞋，已知购买2双甲种品牌运动鞋和3双乙种品牌运动鞋共需1100元，并且1双甲种品牌运动鞋比乙种品牌运动鞋多50元．求甲种品牌运动鞋和乙种品牌运动鞋各1双的单价分别是多少元？ 例2．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 变式1．“一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．开州故城一茶馆售卖特色茶饮“巴渠云雾茶”和“龙珠茶”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渠云雾茶”每杯售价20元，“龙珠茶”每杯售价15元． (1)上周末售出这两种茶饮各多少杯？ (2)已知每大罐“巴渠云雾茶”的成本为180元，每大罐“龙珠茶”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渠云雾茶”每杯成本是“龙珠茶”每杯成本的1.5倍，每杯“龙珠茶”的成本是多少元？ 变式2．列方程解决下列问题： 年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？ (2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值． 题型6. 比赛积分问题 例1．某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 例2．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 变式1．学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 变式2．某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 变式3．投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 3分 1分 -2分 在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由． 题型7. 方案选择问题 例1．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 例2．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 变式1．今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？ 变式2．某初级中学为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价元，跳绳每条定价元．现有两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 网店：买一个篮球送一条跳绳； 网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知该学校要购买篮球个，跳绳条． (1)若在网店购买，需付款_____元，若在网店购买，需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)①当时，①通过计算说明在哪家网店购买较为合算？②此时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元？ (3)为何值时，在两家网店花钱一样多（列方程解答）？ 变式3．某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用座的客车，则刚好坐满；若只租用座的客车，则可少租用辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_____________；租用座的客车辆，则参观总人数又可以表示为____________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用座的客车需要____________辆；租用座的客车需要____________辆，根据题意列方程． (2)若座的客车每辆租金是元，座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 题型8. 数字问题 例1．有一个两位数，两个数位上的数字和是6，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大18，求原两位数． 变式1．一个五位数，个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数． 变式2．小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 题型9. 几何问题 例1．如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 变式1．如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 题型10. 动点问题 例1．已知数轴上，两点表示的数分别为，．如图，若点和点分别从点，同时出发，都沿数轴的负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，设运动的时间为秒． (1)运动2秒时，两点对应的数分别为_____，_____； (2)运动秒时，两点对应的数分别为_____，_____；（用含的代数式表示） (3)当，两点相遇时，求点在数轴上对应的数； (4)当，两点之间的距离为6时，求的值． 变式1．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，为原点．且满足，是单项式的次数的相反数．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)求出数轴上点表示的数和点表示的数，用含的式子表示出数轴上点表示的数； (2)当点在点的左侧运动时，、分别是线段、的中点，求的值； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，运动多少秒时、两点重合，此时点在数轴上的点对应的数值是多少？ 变式2．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点与点之间的距离记为），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点表示的数分别是 和 ； (2)当点运动到点时，求的值； (3)若点一直沿数轴负方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点运动多少秒时追上点？此时点和点表示的数是多少？ 题型11. 电费和水费问题 例1．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 变式1．学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 变式2．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 题型12. 日历问题 例1．如图，这是2025年1月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为1，求Y形框框中的这四个数字之和． (2)在表中移动Y形框的位置，若Y形框框住的四个数字之和为85，求这四个数字中最小的数． 变式1．如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 变式2．（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______． （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，第3行3个数的和为．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 题型13. 古代问题 例1．《九章算术》是我国著名的数学专著，它的出现标志着中国古代数学体系的形成，其中有这样一道题：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，请问大小船各有几只？ 例2．古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 例3．列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 变式1．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 变式2．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 变式3．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，问有多少间房？多少人？ 题型14. 其他问题 例1．陕西是中华民族和华夏文明重要发祥地之一，“中国”二字最早出现在陕西出土的西周早期的一种青铜器“何尊”铭文上．为触摸“青铜史诗”背后绵延数千年的“中国”脉搏，某校计划组织师生共570人前往青铜器博物院开展研学之旅，如果租用7辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多18个，求每辆大客车的乘客座位数． 例2．如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 例3．2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本对于物流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每小时分拣快递多少件？ 变式1．数学来源于生活，生活中也处处离不不开数学．在去年7月份上映的电影《抓娃娃》中一位扮作商贩的演员和小男孩的一段对话中提到：“我尝试着回忆了一下，我记得：斤牛腱子的价格等于斤鸡胸脯的价格，鸡胸脯比猪五花便宜元，斤牛腱子和斤猪五花一共要用元钱，那么问题来了，斤鸡胸脯和斤猪五花分别是多少钱呢？”请你运用学过的知识，帮小男孩解决这个问题． 变式2．网约打车已成为人们打车出行的首选，某网约车软件的计费规则如下表：车费由起步费、时长费、里程费三部分构成．例如：小王打车10千米，路上花费时间15分钟，则费用是元． 项目 起步费（3千米，9分钟） 时长费（超过9分钟部分） 里程费（超过3千米部分） 单价 10元 元/分钟 元/千米 (1)如果将行车里程记为m千米（），行车时间为n分钟（），则应付车费多少元？（用含m、n的整式表示，并化简） (2)彭老师准备网约打车，打开高德地图查询出到目的地里程为20千米，时间约为25分钟，实际网约车行驶过程中遇上堵车，最后付款46元，请问堵车时长为多少分钟？ 变式3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 课后作业 一、单选题 1．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，用长的围栏靠墙围成一块长方形果园，长与宽的比是，这块长方形果园的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025年广东省清远市中考二模九年级数学试卷）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用。 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 7．（2025·辽宁铁岭·二模）2024年入冬以来，到哈尔滨赏冰玩雪的游客络绎不绝．2024年12月1日至21日，哈尔滨机场运送旅客万人次，同比增长，求2023年同期哈尔滨机场运送旅客多少万人次．若设2023年同期哈尔滨机场运送旅客x万人次，则符合题意的方程是（） A． B． C． D． 8．（24-25六年级下·山东淄博·期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 9．（2025·河北·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校组织了传统文化知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题均为必答题．下表统计了3名参赛学生甲，乙，丙的得分情况，则另一名参赛学生丁的得分可能是（    ） 参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分 甲 20 0 100 乙 18 2 88 丙 10 10 40 A．54分 B．64分 C．78分 D．93分 10．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 15 学生会员租赁 30 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 某班级40名学生集体骑行，由于部分学生已经是会员身份，故这部分学生使用学生会员租赁，其余使用标准租赁．若本次单程总租赁费用为70元（不包括办会员时的费用），且学生会员每人骑行30分钟，标准租赁每人骑行20分钟，则使用学生会员的人数（   ） A．10人 B．20人 C．30人 D．40人 二、解答题 11．（24-25七年级下·重庆·自主招生）甲种酒精纯酒精含量为，乙种酒精纯酒精含量为，混合后纯酒精含量为．如果每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为．第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 12．（2025·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，书中记载了这样一个问题：今有驿卒，需传递文书至远方驿站．若每日行八十里，则比规定时间迟到两日；若每日行一百二十里，则比规定时间早到一日，问此驿卒应行走的路程及规定时间各是多少？ 13．（2025·海南·模拟预测）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ 14．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 15．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购，两种菜苗开展种植活动．经调研，种菜苗每捆的价格比种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆种菜苗和20捆种菜苗共需430元，问：，两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）三潭枇杷是安徽黄山的特色产品，有着非常悠久的历史．某果农今年共投入元，枇杷喜获丰收，他了解到枇杷的市场销售信息为：新鲜的枇杷直接销售每斤元，若将枇杷储存一个月再销售，售价为每斤元，但重量会减少，还需要租用储存的仓库，租金为元． (1)设今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共x斤，求枇杷储存一个月再销售的总销售利润； (2)若此果农最终决定储存一个月再销售，且这样销售完之后的总销售利润是直接销售总销售利润的1.4倍，求今年此果农收获的新鲜三潭枇杷共多少斤？ 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）某中学七年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 18．（23-24七年级上·广西河池·期末）【问题情境】某班计划购买 20 个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从甲、乙两家商店了解到，同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元；甲商店的优惠方案为每买1个书柜赠送1个书架，乙商店的优惠方案为所有商品打 8 折．设某班购买x个书架． 【初步分析】 （1）若某班到甲商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示）． （2）若某班到乙商店购买书柜和书架，则应支付 （用含x的式子表示） 【提出问题】 （3）若规定只能到其中一家商店购买所有物品，该班购买多少个书架时到甲商店和到乙商店的花费一样多？ 19．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 20．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，．动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当点到达点时，求点走过的路程． (2)在点在到达终点之前的运动过程中．用含的代数式表示的长． (3)当、两点在运动路线上相距的路程为6个单位长度时，求t的值． (4)连结、、、．当三角形的面积与三角形的面积相等时，直接写出的值 21．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 22．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 24．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 25．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 26．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材． (1)应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子呢？ (2)这样制作，一共能制作多少套？ 27．（2025·陕西西安·二模）汉中仙毫产自地处秦巴山区的汉中市，是中国国家地理标志产品，富含天然锌、硒等微量元素．某茶叶店举办促销活动，一罐特级仙毫先按成本价提高标价，再按照标价的八折出售，利润为42元，求该茶叶店此类特级仙毫每罐的成本价是多少元？ 28．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若2017年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时 a 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 (1)上表中，_______，若居民乙用电200千瓦时，应交电费______元； (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费为 元 ； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电位于第二档，其当月的平均电价为元/千瓦时，该用户用电为多少千瓦时？ 29．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 30．（24-25七年级上·北京·期中）【问题情境】： 我们在教材中曾学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可以记作． 【独立思考】： （1）数轴上表示和3两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则x=______． 【实践探究】： （3）已知A、B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，那么几秒后，P、Q两点间的距离是10个单位长度？ 18 学科网（北京）股份有限公司 $$