1.3 集合的基本运算 （第2课时）（导学案）数学人教A版2019必修第一册

1.3 集合的基本运算（第1课时） 导学案 1.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集。 2.掌握集合的交、并、补综合运算，能使用Venn图、数轴等工具表达集合的基本关系与基本运算。 3.提升数学抽象素养，通过类比实数运算，理解集合运算的定义和性质；培养逻辑推理能力，推导补集的性质；提高数学运算能力，求解补集及相关参数问题；增强数据分析能力，通过补集的性质列不等式组解决问题；培养数学建模能力，用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 教学重点：全集与补集的定义：理解全集的相对性，掌握补集的求法；集合的交、并、补综合运算：熟练运用Venn图、数轴等工具进行集合运算。 教学难点：Venn图解决一些与集合的运算有关的问题：如何准确地用Venn图表示集合关系并进行运算；涉及补集的参数问题求解：如何通过补集的性质列不等式组求解参数范围。 一、自主学习——温故知新 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称这个集合为 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 ∁UA＝{ } 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝ ，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝ ； (4)A∪(∁UA)＝ ；A∩(∁UA)＝∅ 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 问题情境引入：垃圾分类中的集合智慧 同学们，大家都知道垃圾分类是我们生活中非常重要的一项环保行动。现在，我们来思考一个垃圾分类中的问题。 假设我们有一个小区，小区里有100户居民。为了更好地进行垃圾分类，小区物业决定对居民的垃圾进行分类收集。他们将垃圾分为三类：可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾。现在，我们来定义几个集合： · 集合U：小区内所有居民产生的垃圾。 · 集合A：小区内所有居民产生的可回收垃圾。 · 集合B：小区内所有居民产生的有害垃圾。 · 集合C：小区内所有居民产生的其他垃圾。 问题1：如果小区内所有居民都按照规定将垃圾正确分类，那么集合A、B、C与集合U之间有什么关系呢？ 引导学生思考：集合A、B、C是集合U的子集，且它们之间没有交集，即A∩B=∅，A∩C=∅，B∩C=∅。同时，集合A、B、C的并集等于集合U，即A∪B∪C=U。 问题2：现在，物业发现有些居民没有将有害垃圾正确分类，导致有害垃圾混入了其他垃圾中。那么，我们如何用集合的语言来描述这个问题呢？ 引导学生思考：集合B与集合C有交集，即B∩C≠∅。这就意味着有些垃圾既属于有害垃圾，又属于其他垃圾，这是不符合规定的。 问题3：为了纠正这个问题，物业决定对所有垃圾进行重新分类。那么，我们如何用集合的语言来描述这个重新分类的过程呢？ 引导学生思考：我们需要找到集合B与集合C的交集，即B∩C，然后将这些垃圾重新分类。同时，我们需要找到集合B的补集，即∁UB，也就是所有不属于有害垃圾的垃圾，将它们重新分类为可回收垃圾或其他垃圾。 通过这个垃圾分类的问题，我们可以看到集合的运算在实际生活中有着广泛的应用。今天，我们就来深入学习集合的基本运算，包括全集、补集以及集合的交、并、补综合运算。通过这些知识，我们不仅能够更好地解决垃圾分类问题，还能在其他许多实际问题中发挥重要作用。 设计意图： 1. 贴近生活：垃圾分类是学生生活中常见的问题，能够引起学生的兴趣和共鸣。 1. 统领全文：通过垃圾分类问题，引出集合的基本运算概念，包括子集、交集、并集、补集等，为后续学习奠定基础。 1. 实际应用：让学生感受到集合运算在实际生活中的重要性，增强学习的动力和目的性。 希望这个引入能够帮助学生更好地理解和掌握本节课的内容，同时激发他们的学习兴趣。 （一）温故知新 回顾上节课知识： 提问：什么是集合的子集、真子集和集合相等？如何判断集合之间的关系？ 提问：集合的Venn图表示方法是什么？它有什么作用？ 引入新课： 提问：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 提问：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集。 探究点1：全集的定义与理解： (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 探究点2：补集的定义与理解： 自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 图形语言 【设计意图】通过具体实例，引导学生自主归纳补集的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解子集的概念，为后续学习打下基础。 【教学建议】教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到子集的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调子集的概念，引导学生注意符号的规范使用。 （2） 典例分析 例5. 设U={x|x是小于9的正整数}，,求,. 解:根据题意可知,,所以, 变式1:设是小于7的自然数,求. 【解析】 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形, 求. 解: 变式2:设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,   则___. 解析:    1.设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则(　　) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 2.设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 5.已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 8.已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 9.设全集为，则( ) A．    B．    C．     D． 10.已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 12.设全集为R，若，，则是（　　） A． B．或 C．或 D．或 13.（多选）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 14.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 15.（多选）集合，且，实数a的值为 （   ） A．0 B．1 C． D．2 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1．知识清单： (1)全集与补集及性质． (2)交、并、补集的综合运算． (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点．求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． (1)。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩∅=∅，A∪∅＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算（第1课时） 导学案 1.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集。 2.掌握集合的交、并、补综合运算，能使用Venn图、数轴等工具表达集合的基本关系与基本运算。 3.提升数学抽象素养，通过类比实数运算，理解集合运算的定义和性质；培养逻辑推理能力，推导补集的性质；提高数学运算能力，求解补集及相关参数问题；增强数据分析能力，通过补集的性质列不等式组解决问题；培养数学建模能力，用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 教学重点：全集与补集的定义：理解全集的相对性，掌握补集的求法；集合的交、并、补综合运算：熟练运用Venn图、数轴等工具进行集合运算。 教学难点：Venn图解决一些与集合的运算有关的问题：如何准确地用Venn图表示集合关系并进行运算；涉及补集的参数问题求解：如何通过补集的性质列不等式组求解参数范围。 一、自主学习——温故知新 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 问题情境引入：垃圾分类中的集合智慧 同学们，大家都知道垃圾分类是我们生活中非常重要的一项环保行动。现在，我们来思考一个垃圾分类中的问题。 假设我们有一个小区，小区里有100户居民。为了更好地进行垃圾分类，小区物业决定对居民的垃圾进行分类收集。他们将垃圾分为三类：可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾。现在，我们来定义几个集合： · 集合U：小区内所有居民产生的垃圾。 · 集合A：小区内所有居民产生的可回收垃圾。 · 集合B：小区内所有居民产生的有害垃圾。 · 集合C：小区内所有居民产生的其他垃圾。 问题1：如果小区内所有居民都按照规定将垃圾正确分类，那么集合A、B、C与集合U之间有什么关系呢？ 引导学生思考：集合A、B、C是集合U的子集，且它们之间没有交集，即A∩B=∅，A∩C=∅，B∩C=∅。同时，集合A、B、C的并集等于集合U，即A∪B∪C=U。 问题2：现在，物业发现有些居民没有将有害垃圾正确分类，导致有害垃圾混入了其他垃圾中。那么，我们如何用集合的语言来描述这个问题呢？ 引导学生思考：集合B与集合C有交集，即B∩C≠∅。这就意味着有些垃圾既属于有害垃圾，又属于其他垃圾，这是不符合规定的。 问题3：为了纠正这个问题，物业决定对所有垃圾进行重新分类。那么，我们如何用集合的语言来描述这个重新分类的过程呢？ 引导学生思考：我们需要找到集合B与集合C的交集，即B∩C，然后将这些垃圾重新分类。同时，我们需要找到集合B的补集，即∁UB，也就是所有不属于有害垃圾的垃圾，将它们重新分类为可回收垃圾或其他垃圾。 通过这个垃圾分类的问题，我们可以看到集合的运算在实际生活中有着广泛的应用。今天，我们就来深入学习集合的基本运算，包括全集、补集以及集合的交、并、补综合运算。通过这些知识，我们不仅能够更好地解决垃圾分类问题，还能在其他许多实际问题中发挥重要作用。 设计意图： 1. 贴近生活：垃圾分类是学生生活中常见的问题，能够引起学生的兴趣和共鸣。 1. 统领全文：通过垃圾分类问题，引出集合的基本运算概念，包括子集、交集、并集、补集等，为后续学习奠定基础。 1. 实际应用：让学生感受到集合运算在实际生活中的重要性，增强学习的动力和目的性。 希望这个引入能够帮助学生更好地理解和掌握本节课的内容，同时激发他们的学习兴趣。 （一）温故知新 回顾上节课知识： 提问：什么是集合的子集、真子集和集合相等？如何判断集合之间的关系？ 提问：集合的Venn图表示方法是什么？它有什么作用？ 引入新课： 提问：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 提问：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集。 探究点1：全集的定义与理解： (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 探究点2：补集的定义与理解： 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 图形语言 【设计意图】通过具体实例，引导学生自主归纳补集的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解子集的概念，为后续学习打下基础。 【教学建议】教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到子集的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调子集的概念，引导学生注意符号的规范使用。 （2） 典例分析 例5. 设U={x|x是小于9的正整数}，,求,. 解:根据题意可知,,所以, 变式1:设是小于7的自然数,求. 【解析】 根据题意可知,,所以. 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形, 求. 解:根据三角形的分类可知 {x|x是锐角三角形或钝角三角形,{x|x是直角三角形}. 变式2:设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,   则___. 答案　{x|x是直角三角形} 解析:根据三角形的分类可知,是直角三角形或钝角三角形是直角三角形或锐角三角形,所以    1.设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则(　　) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【详解】试题分析：,故选B． 考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算． 2.设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 则，所以. 故选：D 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】，， 所以． 故选：D． 4.设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】由题意，则， 故， 故选：C 5.已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【解析】先利用交集的运算求得，再利用补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 又全集， 所以, 故选：C 6.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】先求出，再求其补集 【详解】因为，又全集， 所以. 故选：B 7.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 【答案】C 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意，由集合B可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可得m的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，， 若有三个元素，则有，即实数m的取值范围是[2，3） 8.已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为，根据集合的补集以及交集运算，即可求得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 而或，故， 故选：A 9.设全集为，则( ) A．    B．    C．     D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【详解】∵， ∴ 故选：C． 10.已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由得或．又，所以，故． 11.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：因为，,所以, ,，故答案为． 考点：集合的运算． 12.设全集为R，若，，则是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据题意，结合补集的意义，可得与，进而由并集的意义，计算可得答案． 【详解】，． 或． 故选B． 【点睛】本题考查补集、并集的计算，要注意的运算的顺序，先求补集，再求并集，是基础题． 13.（多选）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由题意可得，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以，故A错误； ，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，所以， 故选：. 14.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：因为，,所以, ,，故答案为． 考点：集合的运算． 15.（多选）集合，且，实数a的值为 （   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可. 【详解】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或. 综上，或或. 故选：ABC 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1．知识清单： (1)全集与补集及性质． (2)交、并、补集的综合运算． (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点．求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． (1)。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩∅=∅，A∪∅＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$