1.3 集合的基本运算（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算（第1课时） 教学设计 一、教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.3节“集合的基本运算”。内容包括集合的并集与交集的概念、符号表示、运算性质以及Venn图表示。 二、内容解析 本节内容是在学生已经学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系的基础上，进一步深入研究集合的基本运算。通过类比实数的运算，引出集合的并集与交集的概念，并借助Venn图直观地表示集合之间的运算关系。并集与交集的运算性质是本节课的重点，通过具体的例子和练习，帮助学生理解和掌握这些性质。同时，通过Venn图和数轴等工具，培养学生的数形结合思想和数学抽象素养。 一、教学目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。 2.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算。 3.能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养。 二、目标解析 达成上述目标的标志是： 1.会通过类比实数间运算，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的并集与交集关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会研究数学新对象的基本方法。 2.对于具体的集合，能写出集合的并集与交集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集与其他集合的关系。 3.在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验。 学生优势：学生在小学、初中阶段的学习中已经接触过一些交集与并集的知识，结合学生已具备一定的诸如逻辑推理及数学运算等数学素养，学生学习起来还是比较轻松的。 学生劣势：学生学习目标模糊，数学“四基”薄弱，学习习惯和还未完全养成。思维还未完善（直观素养、抽象素养、逻辑推理等） 预备策略：借助Venn图理解集合的基本运算. 在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验。用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．教学难点： 理解交集与并集的概念，符号之间的区别与联系． 情景引入 同学们，大家好！今天咱们来聊聊一个大家再熟悉不过的话题——“兴趣爱好”。在咱们班里，每个同学都有自己的兴趣爱好，比如有的同学喜欢打篮球，有的同学喜欢画画，还有的同学喜欢阅读。那大家有没有想过，如果把咱们班同学的兴趣爱好分成几个不同的“集合”，又会发生什么呢？ 比如说，咱们班有一个“篮球爱好者集合”，里面包含了所有喜欢打篮球的同学；还有一个“绘画爱好者集合”，里面包含了所有喜欢画画的同学。那如果有一个同学既喜欢打篮球又喜欢画画，那他应该属于哪个集合呢？是只属于篮球爱好者集合，还是只属于绘画爱好者集合，还是两个集合都属于呢？ 再比如，咱们班还有一个“音乐爱好者集合”，里面包含了所有喜欢听音乐、唱歌或者弹乐器的同学。那如果咱们把“篮球爱好者集合”和“音乐爱好者集合”放在一起，又会得到一个什么样的新集合呢？这个新集合里的同学是不是既喜欢打篮球又喜欢音乐呢？ 其实，这些关于集合的问题，就是咱们今天要学习的集合的基本运算——并集和交集。通过学习并集和交集，咱们就能更好地理解和解决这些问题啦。那接下来，就让我们一起走进集合的基本运算的世界，去探索其中的奥秘吧！ （一）温故知新 回顾上节课知识： · 提问：什么是集合？集合的元素有哪些特性？（确定性、互异性、无序性） · 提问：如何表示一个集合？（列举法和描述法） · 引入新课：提问：两个集合之间可能存在哪些关系？（引出集合间的基本运算） （二）导入新知 1. 引例1：假设一个图书馆有两个分类的书架，A书架包含小说类书籍，B书架包含科幻类书籍。有一个读者想要阅读小说或科幻类的书籍，那么他可以查看A书架或B书架上的书。在这个例子中，A书架和B书架上的书籍并集就是该读者可能选择的书籍集合。 1. 引例2：假设有两个人，A喜欢音乐、电影和旅行，B喜欢电影、旅行和摄影。A和B共同喜欢的活动（交集）就是电影和旅行。在这个例子中，交集可以帮助我们找到A和B的共同点，从而增进他们的交流和理解。 1. 类比实数运算：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算。如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题。 通过上述生活中的实例，我们可以看到并集和交集在数学中的实际应用。并集表示两个集合中所有可能的元素，而交集表示两个集合中共同的元素。 在实际生活中，并集和交集的概念可以帮助我们更好地理解和解决各种问题，如选择书籍、安排活动、分析共同兴趣等。 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算．如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题． （2） 探究点1：并集的运算 1. 问题1：观察集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，C＝{1,2,3,4}。你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示：集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成。 2.并集的概念： —般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.（重复元素只看成一个元素）． 记作：A∪B. 读作：A并B. 其含义用符号表示为： 用Venn图表示如下： “或”的理解三层含义： 1. 注意点： A∪B仍是一个集合。 并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B。 对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性。 （3） 探究点2：交集的运算 问题2：观察下面的集合,你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ (1); (2),. 提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合C，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成． 2交集的概念： 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection set），记作：（读作：“A交B”） 即： Venn图1.3-3表示 这样，在上述问题（1）（2）中 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合． 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅. 通过思考进一步理解交集，教会学生解决和研究问题。 （4） 典例分析 例1设，，求 【解析】. 变式1：设A＝{1,2,4,8}，B＝{1,4,9}，求A∪B. 【解析】 　A∪B＝{1,2,4,8}∪{1,4,9}＝{1,2,4,8,9}． 跟踪练习1：设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} 【解析】　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}＝{x|1≤x<4}． 例2设集合，集合，求. 【解析】. 如图1.3-2，还可以利用数轴直观表示例2中求并集的过程. 反思感悟　并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 变式2： 设集合A＝{x|0≤x<4}，集合B＝{x|1≤x<5}，求A∪B. 【解析】 　A∪B＝{x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5}＝{x|0≤x<5}． 跟踪练习2：已知集合A＝{－1,0,1}，则满足A∪B＝{－1,0,1，2,3}的集合B可能是(　　) A．{－1,2} B．{－1,0,1,3} C．{－1,0,1} D．{0,2,3} 【解析】　{－1,0,1}∪{0,2,3}＝{－1,0,1,2,3}，故D符合题意． 思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？ 观察下面的集合A,B与集合C之间有什么关系？ （1） ， （2）A={x|x是立德中学今年在校的女同学}, B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}, C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学} (3)A={x|x是参加百米赛跑的同学}, B={x|x是参加跳高的同学}, C={x|x是既报名参加百米赛跑，又参加跳高的同学} 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集. 记作：A∩B. 读作：A交B 其含义用符号表示为： 接着教师要求学生用Venn图表示交集运算. 【设计意图】通过思考进一步理解交集，教会学生解决和研究问题。 例3立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 【解析】就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学. 变式3： 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【解析】图中阴影部分表示的集合是， 因为，， 所以.故选：B 反思感悟　交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法． (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 例4设平面内直线上点集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 【解析】平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点､平行或重合. （1）直线，相交于一点P可表示为； （2）直线，平行可表示为； （3）直线，重合可表示为. 变式4： 设平面内直线a上点的集合为A，直线b上点的集合为B，试用集合的运算表示a，b的位置关系． ①直线a，b只有一个公共点P可表示为________； ②直线a，b没有公共点可表示为________； ③直线a，b有无数个公共点可表示为________． 【答案】　①A∩B＝{点P}　②A∩B＝∅　③A∩B＝A＝B 【解析】　①a，b只有一个公共点P，即a，b相交于点P，可表示为A∩B＝{点P}． ②a，b没有公共点，即a，b平行，可表示为A∩B＝∅. ③a，b有无数个公共点，即a，b重合，可表示为A∩B＝A＝B. 解题技巧：（求两个集合的并集、交集的常用方法） 1.定义法:对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果. 2.数形结合法：对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 1.设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合的并运算求解即可. 【详解】， 故选：D. 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集定义计算． 【详解】根据集合交集中元素的特征，可得， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 4.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 5.集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合的交集运算可知，即可根据并集运算求出． 【详解】因为，，，所以，故． 故选：D． 6.设集合A={a,4}，B={1，2，3}，AB={2}则=（    ） A．{2,3,4} B．{3} C．{1,2,3,4} D．{2,4} 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【解析】根据交集和并集的定义直接求解. 【详解】，， . 故选：C 7.（多选题）已知集合，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合并集的概念可得选项． 【详解】因为，，所以集合可能为A选项，，D选项， 而对于B选项，此时，不满足题意， 对于C选项，此时，不满足题意， 故选：AD． 【点睛】本题考查并集的概念与运算，属于基础题． 8.已知集合且，，则实数a的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据得到，且，得到关系式计算得到答案. 【详解】根据得到，且 集合 即 解得： 故选B 【点睛】本题考查了集合的包含关系，意在考查学生的计算能力. 9.已知集合，，若，则实数的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0或或 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由，转化为，分和 两种情况讨论求解. 【详解】已知集合，， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，则，解得，此时，符合题意； 综上：实数a的值是0或1或 故选：D 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分和两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于一般题. 10.（多选题）满足的集合B可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】由得B中至少含有元素2且 【详解】由得B中至少含有元素2且，∴或． 故选：AC 11.（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由题意结合交集的定义可得结果. 【详解】由交集的定义结合题意可得：. 故选：D. 12.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【解析】根据子集的定义、集合交集和并集的概念判断可得答案． 【详解】显然都属于集合，因此BA，A选项错误； 而，C、D选项均错． 故选：B． 13.（2008·浙江·高考真题）已知集合则= A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接利用并集的定义可得解. 【详解】 集合，所以. 故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题. 14.（2009·辽宁·高考真题）已知集合，或，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【详解】由并集的定义可得或. 故选A. 15.（2004·安徽·高考真题）若集合，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】试题分析：因为，所以；故选D． 考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1．知识清单： (1)并集的概念及运算． (2)交集的概念及运算． (3)根据集合间的运算求参数范围． (1) 2．方法归纳：观察法：对于用列举法给出的集合，直接根据并集、交集的定义求解。 (2) 图示法：借助Venn图直观表示集合的并集和交集。 (3) 数形结合法：对于用描述法给出的集合，特别是连续的数集，可借助数轴求解。 (4) 分类讨论：在求解参数范围时，考虑不同情况，如空集的情况。 3．常见误区： 在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况。 在求并集和交集时，容易忽略集合元素的互异性。 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 1.整理本节课的题型：总结并集和交集的求解方法和注意事项。 2.课本练习：课本P12的练习1~4题。 课本P14的习题1.3的1、2、3、5题。 练习 1. 设，，求，. 【解析】由交集定义知：；由并集定义知： 2. 设，，求，. 【解析】， ， 3. 设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，. 【解析】由交集定义知：是等腰直角三角形 由并集定义知：是等腰三角形或直角三角形 4. 设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求. 【解析】由并集定义知：是幸福农场的汽车或拖拉机 习题1.3 复习巩固 8. 已知集合， ，求A∩B，A∪B. 【解析】由题得：集合，而集合， 所以，. 9. 设是小于的正整数 ，.求. 【解析】，，， ，，，. 10. 学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）； （2）. 【解析】这项规定用集合表示： （1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学； （2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学. 板书设计 1. 求交、并集方法：定义法、数形结合法(数轴) 2. 根据交、并集的运算性质求参数的范围 ①交、并性质的转换 ②分类讨论 例1 例2 例3 例4 设计意图：通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 教学建议：教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 通过本节课的学习，学生应该能够理解并集和交集的概念，并能够运用这些概念解决实际问题。在教学过程中，通过具体的例子和练习，帮助学生掌握并集和交集的求解方法。同时，通过Venn图和数轴等工具，培养学生的数形结合思想和数学抽象素养。在后续的教学中，可以进一步引导学生探索集合的其他运算，如补集等，以加深对集合运算的理解和应用。 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】首先求出集合、，再根据并集的定义计算可得. 【详解】解：因为，，所以 故选：C. 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：D 4.已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】结合数轴，由并集的运算，即可得到结果. 【详解】 如图，利用数轴，得. 故选:C. 5.已知集合，，下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】根据集合与集合的包含关系与运算判断即可. 【详解】因为，但，所以ABC三个选项均不成立．D成立． 故选：ABC. 6.若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 7.设集合，，则． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据题意，得到集合的交集表示两直线交点构成的集合，联立直线方程，即可求出结果. 【详解】因为，， 由，得，所以． 故选C 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 8.已知集合，或，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【详解】由并集的定义可得或. 故选A. 9.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集、交集的概念及运算 【详解】∵集合 ∴ ∵集合 ∴， 故选A 10.（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由题意结合交集的定义可得结果. 【详解】由交集的定义结合题意可得：. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $$