2025年高二数学秋季开学摸底考（上海专用）

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修二全部内容 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若球的体积是，则球的表面积是 . 2．已知复数 是纯虚数，则 . 3．若，则的值等于 . 4．函数的值域是 ． 5．已知函数，，若函数在区间上递增，则实数的取值范围为 . 6．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 7．在中，，，，是的外心，若，其中，， 则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 8．如图，平面，正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 9．设点在内部，且，则 10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足 条件的几何体的序号）①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台. 11． 设全集，，，若， 则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ． 12．在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点， 则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 14．在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 15．已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 16．令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应， 且对任意向量、和任意实数、都有， 则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ） A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在三棱柱中，侧棱平面，， 点是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积. 18. 已知中，，，，点在边BC上且满足. （1）用，表示，并求；（2）若点为边AB中点，求与夹角的余弦值． 19．已知函数.（1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；（2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数 为偶函数，求最小的正数的值. 20． 将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 21．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量， 定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 （1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在α仿射坐标系中， 若且与的夹角为，求的值； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上， 分别为中点，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数学•全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若球的体积是，则球的表面积是 . 1．【详解】设该球的半径为，则球的体积为，解得， 因此，该球的表面积为.故答案为：. 2．已知复数 是纯虚数，则 . 2．1【分析】根据复数的概念列式即可求得的值.【详解】因为 是纯虚数，所以，解得.故答案为：. 3．若，则的值等于 . 3．【分析】利用两角差的正切公式可求出的值. 【详解】因为， ，故答案为： 【点睛】本题考查两角差的正切公式，考查了计算能力，属于基础题. 4．函数的值域是 ． 4.【详解】，因为，所以. 5．已知函数，，若函数在区间上递增，则实数的取值范围为 . 5．【分析】利用三角函数二倍角公式以及辅助角公式，化简三角函数解析式，根据整体思想和 正弦函数的单调区间，可得答案.【详解】函数 ，若函数在区间上递增，此时， 所以，得，则实数的取值范围为.故答案为：. 6．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 6．【分析】先利用正弦定理求出 再用余弦定理即可求出. 【详解】因为由正弦定理得：代入，解得： 由余弦定理得：，因为,所以 .故答案为：. 7．在中，，，，是的外心，若，其中，， 则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 7．/【分析】先利用余弦定理求出的长，因为是的外心，设外接圆的半径为， 所以，再利用正弦定理求出，由，，，知道动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形画图，由图可知菱形为，求出即可得. 【详解】在中，因为，，，所以由余弦定理：， 所以，又因为是的外心，设外接圆的半径为，所以， 由，所以，由正弦定理：， 所以，由，，， 所以动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形，如图所示： 由图知为 所对的圆心角与圆周角，所以有， 所以， 所以， 所以动点的轨迹所覆盖图形面积为：，故答案为：. 8．如图，平面，正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 8． 【详解】因为，平面，平面，所以平面，即点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，因为平面，平面， 所以 ，又⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，故的长即为到平面的距离，因为，，故，则.故答案为：. 9．设点在内部，且，则 9．【分析】先化简得到，设，判断出三点共线， 得出，进而由求出答案.【详解】由 可得，设，即，可知三点共线， 且反向共线，如下图所示：故，， 故答案为：. 10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足 条件的几何体的序号）①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台. 10．①②④【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形，故答案为：①②④. 11．设全集，，，若， 则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ． 11．【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆 及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象， 可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 【详解】设 ，由， 可知，即，即，因为，， ，所以，则可化为，解得，即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在 复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分；弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为.故答案为：. 12．在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点， 则的最小值为 . 12．/【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将 底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【详解】作，垂足为，连接，根据直棱柱性质可得， 平面，平面，则，显然 ，当在上，两个等号同时成立，于是使得取到 最小值的点落在线段上；如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图，过作，垂足为，交于， 则此位置的点为所求，根据题干数据，，，由， 故，于是，，设，则，由，解得， 故，故； 故答案为：.【点睛】立体几何折线段最值问题都会展开几何体为一个平面处理，待求表达式中含有， 联想到含的直角三角形的边长关系，是解题突破口. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 13．B【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误. 【详解】在中，因为，所以，所以 ，因为，所以，对于B，因为 ，所以，即，将上式两边同时除以， 得 所以，B正确；由可知，令，此时，则，，；令，此时，则，，；对于A，当时，，当时，，两者不相等，不为常数， A错误；对于C，当时，，当时，，两者不相等，不为常数，C错误；对于D，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，D错误.故选：B. 14．在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 14．D【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可.【详解】因为， 即，又时，三角形一定不是直角三角形， 则有，，若，则，为锐角， 但是不能判断的大小，故A，B错误；当时，则， 中必有一个钝角，故此时是钝角三角形，C错误，D正确，故选：D. 15．已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 15．B【分析】利用向量模的平方等于向量的数量积的运算，从而把原不等式转化为一元二次不等式恒成立，从而通过判别式小于或等于0来研究向量积所满足的条件，即可得出判断.【详解】由不等式平方得： ，整理得：， 当时，上式变为，满足不等式恒成立；当时，由于任意的 恒有上面一元二次不等式成立，则满足， ， ， ，故， 综上可得，故选：B. 16．令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应， 且对任意向量、和任意实数、都有， 则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ） A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素 16．C【分析】由题意可得对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值，且是唯一的，进而举例分析求解即可.【详解】由， 则，即对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值， 且是唯一的;若对于任意的，都有（为常数，且为正整数）， 满足对任意向量，都有，此时集合，只有1个元素； 设对于，对应，任取，则， 由于，则，此时集合有2个元素；设对于，对应， 任取，则，由于，则， 此时集合有3个元素；当集合中所含元素的个数有4个及以上时， 设，，且， 任取，则， 当，且时，对应的值并不是唯一的，可以取除以外的值， 因此，这种情况不满足题意.综上所述，中至多有三个元素.故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在三棱柱中，侧棱平面， ，点是的中点.（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可. 解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积. 【详解】（1）解法一：证明：连接与交于点，则是的中点， 连接，又是的中点……2分, 则有，平面，平面，……2分 所以平面.……2分 解法二：，则有，又平面，以为原点， 的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ……2分，设平面的一个法向量为， 有，令，则， 得……2分，于是，且平面， 故平面. （2） 解法一：取的中点，连接，直三棱柱中， 平面，平面，故，……2分 又为的中点，则有且，由，则有，……2分 又，平面，所以平面，……2分 平面，， .……2分 解法二：在（1）的基础上，， ……2分 设平面的一个法向量为，， 令则，得，……2分 于是点到平面的距离为，……2分 于是.……2分 18. 已知中，，，，点在边BC上且满足. （1）用，表示，并求；（2）若点为边AB中点，求与夹角的余弦值． 18.（1），；（2），夹角余弦值为. 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1），……2分 所以 ；……4分 （2） 易知，……2分 所以，   ……2分                又， ……2分 所以.……2分 19．已知函数.（1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；（2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数 为偶函数，求最小的正数的值. 19．（1）；（2）；（3）. 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为，则，即，得，即 ， 则 ，……2分 当时，，为增函数，此时， 即函数在上的单调递增区间是；……2分 （2） 若，，函数 ， 由，得，……2分 当，则 则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围；……2分 （3） 因为的一条对称轴方程为， 所以，……2分 则满足，平方得，得，得 得 ，则，则， 则，……2分，存在常数 ,使得函数为偶函数， 则，即 且 ， 因为， 所以当时， 取得最小值，此时最小的正数.……2分 20．将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 20．（1），；（2）；（3）2022或2023或1348. 【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调性，即可得到结果；（2）根据题意，结合正弦型函数的图像，即可得到结果；（3）根据题意，由换元法可得，转化为二次函数零点问题，即可求解. 【详解】（1），……2分 则由题意可得函数的解析式为， 令，， 则最小正周期为，单调递增区间为，；……2分 （2），则，……2分 若方程有两个不等的实根，结合函数图像可得；……4分 （3），设，则函数等价为，由， 得，有两个不等的实数根，……2分 当时，，此时在上恰有3个零点； ；……2分 当时，，……2分 此时在上恰有2个零点， 或，或2023；……2分 综上所述，的所有可能取值为2022或2023或1348. 21．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量， 定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 （1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在α仿射坐标系中， 若且与的夹角为，求的值； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上， 分别为中点，求的最大值． 21．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）借助仿射坐标系， 可得向量的线性表示，然后利用已知单位向量的模和夹角来求解即可；（2）同上利用向量的线性表示 求模长和夹角，即可求出基底向量的夹角；（3）建立坐标系，利用向量的坐标运算来求解数量积， 再利用正弦定理来表达边角关系，然后通过消元转化为函数求最大值即可. 【详解】（1）由题意得：，又因为分别为Ox、Oy同向的单位向量，, ……2分，所以；……2分 （2）由可得，，……2分 则 ，……2分，根据与的夹角为,可得： ，解得， 即，所以的值为；……2分 （3）依题意设，，且，，， 因为F为BC为中点，， 因为E为BD中点，同理可得，……2分 所以，由题意可知， ，，则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，，……2分 在中，由正弦定理， 设，则，且，所以，， ， ……2分，为锐角，且，因为，则， 故当时，取最大值， 则．……2分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数学·答案及评分参考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．1 3． 4. 5． 6． 7．/ 8． 9． 10．①②④ 11． 12．/ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13 14 15 16 B D B C 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 注：解答题给出步骤分值 17．如图，在三棱柱中，侧棱平面， ，点是的中点.（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可. 解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积. 【详解】（1）解法一：证明：连接与交于点，则是的中点， 连接，又是的中点……2分, 则有，平面，平面，……2分 所以平面.……2分 解法二：，则有，又平面，以为原点， 的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ……2分，设平面的一个法向量为， 有，令，则， 得……2分，于是，且平面， 故平面. （2） 解法一：取的中点，连接，直三棱柱中， 平面，平面，故，……2分 又为的中点，则有且，由，则有，……2分 又，平面，所以平面，……2分 平面，， .……2分 解法二：在（1）的基础上，， ……2分 设平面的一个法向量为，， 令则，得，……2分 于是点到平面的距离为，……2分 于是.……2分 18. 已知中，，，，点在边BC上且满足. （1）用，表示，并求；（2）若点为边AB中点，求与夹角的余弦值． 18.（1），；（2），夹角余弦值为. 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1），……2分 所以 ；……4分 （2） 易知，……2分 所以，   ……2分                又， ……2分 所以.……2分 19．已知函数.（1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；（2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数 为偶函数，求最小的正数的值. 19．（1）；（2）；（3）. 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为，则，即，得，即 ， 则 ，……2分 当时，，为增函数，此时， 即函数在上的单调递增区间是；……2分 （2） 若，，函数 ， 由，得，……2分 当，则 则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围；……2分 （3） 因为的一条对称轴方程为， 所以，……2分 则满足，平方得，得，得 得 ，则，则， 则，……2分，存在常数 ,使得函数为偶函数， 则，即 且 ， 因为， 所以当时， 取得最小值，此时最小的正数.……2分 20．将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 20．（1），；（2）；（3）2022或2023或1348. 【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调性，即可得到结果；（2）根据题意，结合正弦型函数的图像，即可得到结果；（3）根据题意，由换元法可得，转化为二次函数零点问题，即可求解. 【详解】（1），……2分 则由题意可得函数的解析式为， 令，， 则最小正周期为，单调递增区间为，；……2分 （2），则，……2分 若方程有两个不等的实根，结合函数图像可得；……4分 （3），设，则函数等价为，由， 得，有两个不等的实数根，……2分 当时，，此时在上恰有3个零点； ；……2分 当时，，……2分 此时在上恰有2个零点， 或，或2023；……2分 综上所述，的所有可能取值为2022或2023或1348. 21．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量， 定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 （1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在α仿射坐标系中， 若且与的夹角为，求的值； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上， 分别为中点，求的最大值． 21．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）借助仿射坐标系， 可得向量的线性表示，然后利用已知单位向量的模和夹角来求解即可；（2）同上利用向量的线性表示 求模长和夹角，即可求出基底向量的夹角；（3）建立坐标系，利用向量的坐标运算来求解数量积， 再利用正弦定理来表达边角关系，然后通过消元转化为函数求最大值即可. 【详解】（1）由题意得：，又因为分别为Ox、Oy同向的单位向量，, ……2分，所以；……2分 （2）由可得，，……2分 则 ，……2分，根据与的夹角为,可得： ，解得， 即，所以的值为；……2分 （3）依题意设，，且，，， 因为F为BC为中点，， 因为E为BD中点，同理可得，……2分 所以，由题意可知， ，，则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，，……2分 在中，由正弦定理， 设，则，且，所以，， ， ……2分，为锐角，且，因为，则， 故当时，取最大值， 则．……2分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修二全部内容 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若球的体积是，则球的表面积是 . 2．已知复数 是纯虚数，则 . 3．若，则的值等于 . 4．函数的值域是 ． 5．已知函数，，若函数在区间上递增，则实数的取值范围为 . 6．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 7．在中，，，，是的外心，若，其中，， 则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 8．如图，平面，正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 9． 设点在内部，且，则 10．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足 条件的几何体的序号）①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台. 11．设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ． 12．在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点， 则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 14．在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 15．已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 16．令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应， 且对任意向量、和任意实数、都有， 则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ） A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在三棱柱中，侧棱平面，， 点是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积. 18. 已知中，，，，点在边BC上且满足. （1）用，表示，并求；（2）若点为边AB中点，求与夹角的余弦值． 19． 已知函数.（1）若且的最大值为，求函数在上的 单调递增区间；（2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的 取值范围；（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数， 使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 20． 将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 21．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量， 定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 （1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在α仿射坐标系中， 若且与的夹角为，求的值； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上， 分别为中点，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页）1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4题，满分 18分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5题，满分 78分，第 17-19题每题 14分，第 20、 21题每题 18分.) 17．（14分） 18．（14分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分）